Diagrammes et superposition(s) des particules virtuelles

[Husserliana]

Bonsoir à tous !

Une fois n'est pas coutume, quelques questions lapidaires (et peut-être très naïves !) :
1) D'abord, peut-on affirmer qu'une particule virtuelle, dans un diagramme de Feynman, ne cesse jamais d'être dans un état superposé ? Tandis qu'une particule réelle, étant par définition observée, finira toujours par se voir "confiner" dans un état propre ?
2) Dès lors, le propagateur spécifiant l'amplitude de transition d’une particule virtuelle, ne peut-il être considéré comme la somme de plusieurs amplitudes de probabilité, chacune associée à une ligne possible de l'espace-temps ? Ou encore, comme une combinaison linéaire de plusieurs valeurs (d'énergie et/ou d'impulsion) ? C'est-à-dire au fond, comme une intégrale fonctionnelle "à la Feynman" (somme des chemins), ou bien encore comme une fonction d'onde ? Il me semble qu'on peut dériver l'intégrale de chemin du propagateur. Et l'on sait par ailleurs, qu'il est possible de retrouver la fonction d'onde depuis ladite intégrale *. Ma question ; est-ce que cette relative équivalence (au moins quant aux résultats) entre les concepts de propagateur, de fonction d'onde et d'intégrale de chemins, vaut toujours, dans le cas où ce qui est paramétré est une particule virtuelle ?
3) Je sais que la méthode du calcul perturbatif exige de sommer sur tous les diagrammes (du moins ceux liés au processus considéré), et par conséquent d'intégrer tous les propagateurs, toutes les amplitudes de transition, aussi bien celles des processus virtuels que des réels. C'est encore et toujours l'application du principe de superposition. Seulement si je ne dis pas de bêtise (autrement dit si vous répondez par l'affirmative à mes deux questions précédentes ), il s'agit là d'une superposition de superposition, puisque les particules, réelles ou virtuelles, présentes dans chaque diagramme, sont elles-mêmes déjà dans un état superposé ! Les lignes, les vertex présents dans tel ou tel diagrammes, devraient eux-mêmes être compris comme des superpositions de plusieurs chemins potentielles, à tout le moins, de plusieurs amplitudes de probabilités.

Merci à tous !


* Question subsidiaire. Lisant un article de Dieter Zeh, j’ai cru comprendre qu'il y avait davantage qu'un rapport de dérivation, et que l'intégrale des chemins était précisément une manière commode de formaliser la propagation d'une fonction d'onde, une description de "comment" la fonction d'onde se déplace dans l'espace et le temps. Cela va-t-il de soi, ou bien s’agit d'une interprétation personnelle, propre à Zeh ?
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[Deedee81]

Salut,

1) D'abord, peut-on affirmer qu'une particule virtuelle, dans un diagramme de Feynman, ne cesse jamais d'être dans un état superposé ? Tandis qu'une particule réelle, étant par définition observée, finira toujours par se voir "confiner" dans un état propre ?

Oui, sur le principe.
Et oui sur le calcul (*).
Par contre dans la réalité c'est toujours un peu plus compliqué que ça. Les états des particules "entrantes et sortantes" n'étant jamais définis avec une précision infinie (par exemple, il y a une dispersion en impulsion/direction/énergie).

(*) Plusieurs choses choses :
- tout d'abord on idéalise les états entrant et sortant (particules libres... ce qui n'est jamais strictement le cas, et cet idéal peut cause des soucis : on définit la matrice de collision comme une transformation unitaire pour passer des états in aux états out, or pour des espaces d'états avec une infinité de liberté une telle matrice n'existe pas même non unitaire !!!! Alors on ajoute un "coefficient inconnu" absorbé dans la renormalisation. Et c'est ouf : ça marche !!!!).
- On fait quand même certains "sommes" sur les états in et out. Par exemple quand on étudie les collisions de particules non polarisées on fait la somme des états outs (pour toutes les polarisations) et la moyenne des états in (enfin, les sommes et moyennes d'amplitude des diagrammes pour être exact).
- Et les particules virtuelles dans les diagrammes ont tout le spectre possible d'énergie-impulsion (aux lois de conservation près). UN SEUL diagramme est déjà une superposition et cela se traduit par une somme ou plutôt par une intégrale (de diagramme de Feynman). Et bien sûr on fait la somme des tous les diagrammes (enfin, on se limite car il y en a une infinité).

Et donc :

2) Dès lors, le propagateur spécifiant l'amplitude de transition d’une particule virtuelle, ne peut-il être considéré comme la somme de plusieurs amplitudes de probabilité, chacune associée à une ligne possible de l'espace-temps ?

oui.

Ou encore, comme une combinaison linéaire de plusieurs valeurs (d'énergie et/ou d'impulsion) ?

Ce n'est pas juste une combinaison linéaire (suffit de voir la règle de construction des intégrales que j'ai évoqué). Mais c'est ça, on a des dq dans l'intégrale sur les quadri-impulsion des particules "internes" (virtuelles) et des delta de Dirac venant des lois de conservation.

C'est-à-dire au fond, comme une intégrale fonctionnelle "à la Feynman" (somme des chemins), ou bien encore comme une fonction d'onde ?
[...]

Ce n'est pas une intégrale de chemin (même si l'idée est proche, c'est clair). Mais je n'ai pas joué assez avec les intégrales de chemin pour en dire beaucoup plus.

Par exemple les diagrammes sont "abstraits" dans la mesure où les vertex ou les directions et longueurs des lignes n'ont pas de réalité (pas de position dans l'espace-temps), on a par contre une somme sur les quadri-impulsion ce qui ressemble à une intégrale de chemin (mais ce n'est pas une somme sur les chemins, déjà faut voir la tronche des intégrales de chemin : on a une mesure fonctionnelle loin d'être triviale (**), alors qu'ici la mesure d'intégration est assez simple).

Attention, fonction d'onde est un peu impropre. Les états quantiques en théorie des champs sont souvent plus compliqués (on utilise d'ailleurs plutôt les notations de Dirac). Une fonction ayant un nombre donné d'argument ce qui est impossible ici (nombre variable de particules) et pire, la fonction d'onde est souvent donnée en base position ce qui n'est pas possible avec les photons (à cause de la relativité, mais on peut travailler toutefois dans la base impulsion). Bon mais même si Landau se permet de d'appeler "fonction d"onde" l'onde électromagnétique, on va pas trop râler

Et ton (3) est juste, c'est exactement ce que je disais ci-dessus

(**) c'est d'ailleurs ce point qui posait soucis au début. La définition initiale de Feynman était "physicienne" : un peu floue mathématiquement. Il y a eut un gros travail des mathématiciens pour formaliser/préciser bref rendre rigoureux. Et c'est pas simple du tout.
EDIT ,l'article wikipedia bypass les difficultés (quand on sait que ça marche, ma foi ).? L'article ici :
https://www.lpthe.jussieu.fr/~talon/...Chemin2011.pdf
voir ça lus en profondeur. Page 12 par exemple :

Comment définir une mesure dans l’espace des fonctions continues telles que x(0) = 0 en dimension infinie ? On effectue un produit cartésien finie (sur le temps) et aucune contrainte sur l’espace (donc dimension infinie), on parle de mesure cylindrique sur l’espace des chemins. On intègre le potentiel en considérant le terme cinétique comme une mesure sur l’espace produit cartésien des fonctions. Un des théorèmes de la théorie de la mesure annonce que tous les chemins dérivables, sont de mesure nulle. Ce qui est intuitif si l’on pense à la trajectoire de la particule sous forme discrétisée.

* Question subsidiaire. Lisant un article de Dieter Zeh, j’ai cru comprendre qu'il y avait davantage qu'un rapport de dérivation, et que l'intégrale des chemins était précisément une manière commode de formaliser la propagation d'une fonction d'onde, une description de "comment" la fonction d'onde se déplace dans l'espace et le temps. Cela va-t-il de soi, ou bien s’agit d'une interprétation personnelle, propre à Zeh ?

En fait j'ai pas vraiment compris. Il me semble qu'il dit que la signification physique de l'intégrale de chemin est assez profonde (c'est ça ???). Si oui, je suis d'accord (*). On retrouve son usage même en gravité quantique. Et on utilise les intégrales de chemin dans la quantification des champs de jauge non abélien (avec la quantification canonique c'est casse gueule). (*) mais ça reste un avis personnel car, comme je l'ai dit, j'ai peu joué avec. Je trouve les calculs avec les intégrales de chemin franchement imbuvables (sauf les cas élémentaires comme ceux utilisés sans le dire (! ) dans le cours de MQ de Feynman).

EDITbis j'espère que c'est clair. N'hésite par pour compléter / préciser les questions. Que ce soit moi qui puisse y répondre.... ou pas.

[Deedee81]

Par exemple les diagrammes sont "abstraits" dans la mesure où les vertex ou les directions et longueurs des lignes n'ont pas de réalité (pas de position dans l'espace-temps), on a par contre une somme sur les quadri-impulsion ce qui ressemble à une intégrale de chemin (mais ce n'est pas une somme sur les chemins, déjà faut voir la tronche des intégrales de chemin : on a une mesure fonctionnelle loin d'être triviale (**), alors qu'ici la mesure d'intégration est assez simple).

Pour être précis : une intégrale de chemin est la somme des amplitudes sur tous les chemins dans l'espace-temps

Tandis qu'ici la somme résulte de la décomposition des amplitudes vide-vide (produits ordonnés dans le temps des interactions) via le théorème de Wick. La décomposition est très différente des intégrale de chemins.

[Husserliana]

Merci infiniment Deedee, pour ces réponses et ces (substantielles !) précisions concernant le calcul dans le contexte des diagrammes, la mesure d'intégration, etc...

Simplement pour être au clair : le cadre relativiste nous empêche-t-il de prendre pour variable d'intégration la position ou la direction ? Pour le dire autrement : ne peut-on pas sommer, en plus des quadri-moments, des longueurs et des directions ? Et ainsi conserver l'idée d'une superposition de "chemins"d'espace-temps, pour une particule virtuelle ou réelle...? Et ce, même si la somme résulte d'une autre genre de décomposition que celle à l'œuvre dans l'intégrale des chemins... ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Husserliana]

Concernant Zeh, il s'en explique dans la première page de cet article (entre autres exemples) https://arxiv.org/abs/0804.3348

Il me semble que cela rejoint ton explication, ou d'autres que tu as pu proposer (dans différentes discussions)

[Deedee81]

Simplement pour être au clair : le cadre relativiste nous empêche-t-il de prendre pour variable d'intégration la position ou la direction ?

Il n'y a pas de "position" dans la variable d'intégration (donc difficile d'y passer). Mais rien n'empêche de choisir un référentiel donné et de séparer l'impulsion (et donc la direction) de l'énergie. Même si c'est un peu se compliquer la vie.

Je ne vois pas trop comment passer aux positions (d'autant que c'est impossible pour les photons pour des raisons purement techniques). On peut utiliser les intégrales de chemin, bien sûr, mais c'est pas juste "partir des intégrales des diagrammes et changer la variable", c'est une approche très différente.

Je ne connais pas le doc que tu as indiqué mais ça mérite de regarder de plus près (j'aime beaucoup les travaux de Zeh).

[Husserliana]

D'accord ! Mais sans davantage se compliquer la vie en "cassant" les quadri-impulsions pour dissocier directions (impulsions) et énergies ; ce qui me tracasse surtout, c'est de ne pas savoir si ceci :
"Dès lors, le propagateur spécifiant l'amplitude de transition d’une particule virtuelle, ne peut-il être considéré comme la somme de plusieurs amplitudes de probabilité, chacune associée à une ligne possible de l'espace-temps ?"
A quoi tu répondais par l'affirmative, n'est pas finalement mis en cause par le fait qu'on ne puisse, en QFT, travailler dans la base position (si j'ai bien compris !). En clair, peut-on encore parler de chemins, ou même d'amplitudes de transitions (évidemment superposées pour donner l'intégrale) ?

[Deedee81]

Salut,

D'accord ! Mais sans davantage se compliquer la vie en "cassant" les quadri-impulsions pour dissocier directions (impulsions) et énergies ; ce qui me tracasse surtout, c'est de ne pas savoir si ceci :
"Dès lors, le propagateur spécifiant l'amplitude de transition d’une particule virtuelle, ne peut-il être considéré comme la somme de plusieurs amplitudes de probabilité, chacune associée à une ligne possible de l'espace-temps ?"
A quoi tu répondais par l'affirmative, n'est pas finalement mis en cause par le fait qu'on ne puisse, en QFT, travailler dans la base position (si j'ai bien compris !). En clair, peut-on encore parler de chemins, ou même d'amplitudes de transitions (évidemment superposées pour donner l'intégrale) ?

Oui si j'ai bien compris ton propos. Ici on a juste deux manières (très différentes) de décomposer les amplitudes : celle de la méthode des perturbations basées sur le théorie de Wick, et la méthode sur les chemins. La première (diagrammes de Feynman), ce n'est pas des lignes d'espace-temps (*), celle des chemins si.

D'ailleurs l'usage que j'ai potassé pour les intégrales de chemin était pour les états liés (ou la théorie des collisions n'est pas utilisable, c'est un peu caca boudin ce genre situations, sauf peut-être le positronium pas trop compliqué).

(*) Et il faut juste ne pas trop donner de sens aux "lignes" dans un diagramme de Feynman (je parlais de "abstrait" ci-dessus). Ce sont juste des représentations diagrammatiques des termes du développement avec le théorème de Wick, ni plus ni moins. Il faut donc être fort prudent dans l'interprétation physique (et faut dire que dans ce domaine, peu s'y on essayé... ce que je trouve un peu dommage mais bon)

[Deedee81]

Complément : rien ne dit qu'il n'y a pas un moyen (mathématique) de passer d'une formulation à l'autre (j'en doute (*) mais qui sait) permettant de mieux interpréter. Mais je n'en serais pas capable. Je ne maîtrise pas assez le volet intégrale de chemin.

Va falloir potasser à fond le lien ci-dessus (et la partie théorie des perturbations si on ne la connait pas) ou .... attendre qu'un expert passe (il y en a quelques uns sur le forum qui doivent le maîtriser mais faut qu'ils passent ici).

(*) sinon traiter les cas liés deviendrait simple (enfin presque) (et quand on voit les deux tomes de "photons et atomes" de Cohen-Tanoudji qui n'utilise pas les intégrales de chemin mais la formulation en jauge de Coulomb et une tonne de techniques spéciales, on ne peut que douter). Mais ce n'est pas une preuve car une telle transformation pourrait exister mais inutilisable en pratique car trop complexe par exemple. Affaire à suivre.

[Husserliana]

Je vois. Une partie de mes confusions provient du fait que le concept de "propagateur" est mobilisé aussi bien pour l'intégrale des chemins dans un contexte non relativiste, que pour les diagrammes en TQC. Alors le sens change peut-être du tout au tout, d'un contexte à l'autre

Dans tous les cas, je ne pensais pas cette transformation si difficile (le passage d'une "formulation" à une autre), encore que les réticences dont témoigne mon manuel de théorie des champs à exprimer ses calculs dans le formalisme de l'intégrale des chemins plutôt que dans l'orthodoxe... pourrait me mettre la puce à l'oreille !). Mais pour le problème tout local que je soulevais-- à savoir, peut-on penser que les lignes externes et internes des diagrammes sont en en fait équivalentes à ces "tubes d'espace-temps" qu'on dessine pour représenter les intégrales de chemins ; que nous avons affaire, non à des trajectoires bien déterminées, mais à des combinaisons linéaires de plusieurs trajectoires dans l'espace-temps ? -- il ne me semblait pas que l'on dusse recourir à de telles transformations. Il me semblait que l'on pouvait rester dans le contexte des diagrammes et du formalisme orthodoxe, et simplement dessiner ces diagrammes dans un espace de coordonnées (position space), plutôt que d'impulsion (momentum space) -- meme si c'est moins conventionnel ! Dans ces conditions, les vertex devraient correspondre à des positions qui sont intégrées, et littéralement, nous sommerions des chemins*... enfin, il me semble


Quoiqu'il en soit ; encore merci Deedee. Cette question aura rendu plus saillante encore mes lacunes (c'est toujours présomptueux de s'attaquer à la TQC quand les bases formelles manquent... mais comme tu l'as deviné, c'est la question de l'interprétation physique qui m'intéresse avant tout. Reste que pour m'aventurer dans ses parages, une compréhension rigoureuse de ses mathématiques paraît indispensable) J'ai donc du boulot en perspective ! Mais satisfait, par les réponses que tu as donné à mes trois points (bon, le second est toujours problématique, mais les nuances que tu apportes sont précieuses), et les directions suggérées.

*je crois du reste avoir parcouru un texte de Witten où il était partiellement question de cela, penser les propagateurs comme des sommes de plusieurs chemins, dès lors que l'on travaille dans l'espace de coordonnées. Le texte dans son ensemble était évidemment bien trop difficile pour moi mais... il y avait ce passage !

[Deedee81]

Salut,

L'essentiel du questionnement qui reste est, me semble-t-il, interprétatif. Et je dois dire que je n'oserais pas m'avancer sur ce terrain (je maîtrise assez bien cet aspect en MQ.... mais pas du tout en TQC !)
Sinon oui, tu as raison, il fait maîtriser la théorie (mathématique) avant de l'interpréter : forcément, on est trop loin du monde de la vie de tout les jours.

Mais si tu progressais toi-même sur ce terrain, n'hésite pas à nous en faire part. Personnellement je trouve ça fort intéressant et on trouve fort peu de chose dans la littérature.