Problème fonction second ordre

[ramien1]

J'ai mis mon problème dans les sujets physique mais c'est plus de la SI. Voilà en fait j'ai expérimentalement relevé les positions d'une balançoire qui oscille et tracé l'évolution de l'angle au sommet de la balançoire au cours du temps. J'ai tracé la courbe qui est celle d'un système du second ordre et j'ai tenté de déterminer le coefficient d'amortissement ainsi que la pulsation propre de mon système. J'ai calculé mon coefficient d'amortissement avec le dépassement 1 et la pulsation avec la période du système. Cependant voilà je trouve une fonction mathématique qui ne colle absolument pas avec ma courbe expérimentale, pourtant les valeurs sont bonnes (j'ai vérifié de nombreuses fois), et le modèle pour la fonction:
푠(푡) = 퐾 ∙ 퐸0 ∙ 푢(푡) ∙ (1 − 푒^^(−휔0∙휉∙푡)∙ (cos (휔0.t∙ √(1 − 휉^2) +휉/(√(1 − 휉^2)). sin (휔0 ∙ √(1 − 휉^2) ∙ 푡)), est celui pour un système du second ordre. Est ce que la balançoire a des propriété qui font qu'elle ne se soumet pas à ce type de fonction? Je pense c'est en rapport avec le coefficient d'amortissement qui me paraît trop haut mais mon calcul avec le premier dépassement me semble tout à fait juste
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[gts2]

Bonjour,

Si on pouvait avoir des valeurs, un graphe ... et une fonction moins sybilline que l'actuelle.

[stefjm]

L'équation différentielle n'est linéaire que pour de petits angles par rapport à l'équilibre pour lesquels on peut assimiler .

[ramien1]

Voilà le graphe que j'obtiens pour une telle oscillation, le graphe est expérimentale et je dois trouver une modèle mathématique associé

WhatsApp Image 2022-11-04 at 21.49.17.jpg

Donc une équation du second ordre non linéaire n'a pas de modèle mathématique associé que l'on puisse déterminer graphiquement ?(mes questions peuvent paraître bête mais je n'ai pas encore vu ces chapitres de physique et de maths)
voilà d'ailleurs le modèle mathématique qui était censé marché:
Capture d’écran 2022-11-05 140143.png

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Pour ce qui est la non linéarité, voir les graphes :
Sans titre.png
(en rouge réel, en bleu approximation linéaire)

On voit que l'allure est la même, mais
- la pulsation n'est pas la même
- la pulsation n'est pas une constante
- la courbe n'est pas exactement une sinusoïde

Si vous étudiez sur un "bout" de courbe au début, vous devriez pouvoir utiliser votre fonction mais avec des valeurs différentes, si vous le faites à la fin (là où l'approximation convient) cela devrait marcher.

Y''+a Y' + b sin(Y)=0 n'a pas de solution analytique.

Pour finir, vos valeurs numériques (en particulier le facteur d'amortissement de 0,08) sont incohérentes avec votre courbe, on obtient plutôt cela :
Sans titre2.png

[ramien1]

Oui pour le facteur d'amortissement il est faux, cependant avec les méthodes de calcul qu'on m'a donné, c'est ce résultat que je trouve (j'ai utilisé la relation du premier dépassement puis pour vraiment vérifié l'abaque, je retombe toujours sur les mêmes valeurs de 0,08 alors que le bon devrait être au moins dix fois inférieur)

[ramien1]

En fait déjà si j'arrivais à trouver le bon facteur d'amortissement ça m'avancerait beaucoup parceque là ma courbe est à des années lumière du graphe expérimental (ci dessous la formule du premier dépassement qui donne le facteur d'amortissement):

[gts2]

Au vu de l'allure de la fonction et de la précision (période d'échantillonnage), le mesure du dépassement ne peut conduire qu'à une valeur très approchée de m, \xi.

Quelle valeur trouvez-vous pour D et comment l'obtenez-vous précisément ?

[ramien1]

Bah le dépassement 1 je le détermine graphiquement à 0,35, c'est le premier dépassement par rapport à la valeur finale s(t) lorsque t tend vers l'infini, ici le premier pic est à 0,8 et s infini à 0,45 donc le dépassement c'est 0,8-0,45=0,35. Mais donc à priori la formule est pas bonne. (Le gros problème que j'ai avec ces formules c'est que je ne les comprends pas et je les applique bêtement car on a pas vu ces notions en maths donc là j'ai juste une formule et je peux pas improviser, j'ai que ça)

[gts2]

Je ne pense que cela soit un problème de formule mais de mesure : comment est obtenue la courbe ? Période d'échantillonnage par ex.

[ramien1]

Quelle courbe? Ma courbe expérimentale je l'ai obtenue par pointage vidéo d'une vidéo de balançoire que j'ai tourné, sur les deux premiers tiers de la courbe j'ai pointé 1800points sur une minute (le rest je pointais que au sommet des pics parceque j'avais plus le temps). Après effectivement y'a peut être des imprécisions à ce niveau là notamment par le fait que ma caméra était légèrement décalée par rapport à l'axe de la balançoire

[ramien1]

ah oui en fait ça doit être ça le problème, juste des imprécisions puisque de toute façon en regardant ma courbe c'est pas logique que le dépassement soit que de 0,35 alors que la valeur finale est de 0,45; on devrait plutot être à un dépassement de 0,44...

[ramien1]

Et juste une dernière question, quel est votre logiciel de modélisation de courbes de fonction?

[stefjm]

ah oui en fait ça doit être ça le problème, juste des imprécisions puisque de toute façon en regardant ma courbe c'est pas logique que le dépassement soit que de 0,35 alors que la valeur finale est de 0,45; on devrait plutot être à un dépassement de 0,44...

Oui, on peut affiner cela en prenant plusieurs pseudopériodes.

[gts2]

Quel est votre logiciel de modélisation de courbes de fonction?

Il n'y a pas de modélisation, c'est juste une résolution d'équation différentielle puis tracé fait avec Mathematica.

[stefjm]

En ligne, il y a Alpha (Mathematica derrière)
https://www.wolframalpha.com/input?i...y%27%2By%3D0.1

[gts2]

ah oui en fait ça doit être ça le problème, juste des imprécisions ...

Une méthode pour régler les imprécisions est de prendre plusieurs points ce qui lisse les fluctuations (cf. @stejm)
Ceci étant avec en gros 50 points par période, je en comprends pas que vos maxi ne soient pas plus précis.

[ramien1]

En fait la vidéo que j'avais prise pour faire le pointage vidéo n'était pas parfaitement alignée avec la balançoire ce qui fait que les positions que j'ai obtenues ne sont pas symétrique par rapport à l'axe normal au sol au centre de la balançoire