L'Hamiltonien relatif à l'éléctromagnétisme.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

On sait que l'électromagnétisme est une théorie de Yang Mills pour le groupe de gauge .
Comment trouver le Lagrangien et le Hamiltonien relativement à cette théorie, et comment trouver le gap de masse de cet Hamiltonien ?

Merci d'avance.

-
-----

[ThM55]

L'invariance de jauge seule ne permet pas de trouver le lagrangien, seulement celui du terme de couplage avec un courant. Tout ce qu'on sait c'est qu'il est préférable d'utiliser une grandeur invariante de jauge, la plus évidente est , et le fait qu'on aimerait bien retrouver les équations de Maxwell en variant l'action montre que fait l'affaire.

Le gap de masse est évidemment zéro puisque tout est linéaire (le groupe U(1) est commutatif). En fait il n'existe pas, la question ne se pose pas dans le cas abélien. Un état à une particule peut avoir une énergie arbitrairement petite, il suffit de choisir une fréquence suffisamment petite et il n'y a pas d'auto-interaction qui pourrait modifier cela.

[Anonyme007]

Merci pour ces précisions ThM55.

Tout ce qu'on sait c'est qu'il est préférable d'utiliser une grandeur invariante de jauge, la plus évidente est , et le fait qu'on aimerait bien retrouver les équations de Maxwell en variant l'action montre que fait l'affaire.

Et comment les physiciens théoriciens ont-il pu trouver à priori que le Lagrangien de toute théorie de Yang Mills non abélienne pour un groupe de Lie ( groupe de gauge ), se met sous la forme, , pour la courbure de la connexion , qui est, ? J'ai compris un peu pour le cas du Lagrangien de la théorie de électromagnétisme, suite à tes explications ci-dessus, mis il me reste à comprendre celui de toute théorie de Yang Mills non abélienne en général.

Merci d'avance.

[Anonyme007]

L'invariance de jauge seule ne permet pas de trouver le lagrangien, seulement celui du terme de couplage avec un courant. Tout ce qu'on sait c'est qu'il est préférable d'utiliser une grandeur invariante de jauge, la plus évidente est , et le fait qu'on aimerait bien retrouver les équations de Maxwell en variant l'action montre que fait l'affaire.

Le gap de masse est évidemment zéro puisque tout est linéaire (le groupe U(1) est commutatif). En fait il n'existe pas, la question ne se pose pas dans le cas abélien. Un état à une particule peut avoir une énergie arbitrairement petite, il suffit de choisir une fréquence suffisamment petite et il n'y a pas d'auto-interaction qui pourrait modifier cela.

Une autre question si vous pouvez me permettre,
Comment calculer le Hamiltonien associé au Lagrangien de la théorie de l'électromagnétisme ?

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Et comment les physiciens théoriciens ont-il pu trouver à priori que le Lagrangien de toute théorie de Yang Mills non abélienne pour un groupe de Lie ( groupe de gauge ), se met sous la forme, , pour la courbure de la connexion , qui est, ?

Je pense être capable de répondre seul à cette question suite à une lecture d'un cours que j'ai lu tout à l'heure :
Soit un groupe de Lie.
Soit .
Alors, l’action, sur la connexion, , est, , et l’action, sur la courbure est, , et le Lagrangien est invariant par l’action, . D'où, est bel et bien le Lagrangien de toute théorie de Yang Mills non abélienne pour un groupe de Lie ( groupe de gauge ).
Est ce que c’est ça ?

Merci d’avance.

[ThM55]

Oui c'est bien ça. Le truc est de choisir une dérivée covariante. La dérivée ordinaire n'est pas invariante sous les transformations de jauge locale, on lui ajoute un terme proportionnel au champ de jauge, qui est un champ vectoriel à valeur dans l'algèbre de Lie du groupe, et elle le devient. Ensuite on écrit la courbure de cette dérivée en en prenant le commutateur, on a l'analogue du tenseur de champ éléctromagnétique. Dans le cas non abélien cela introduit un commutateur non nul des variables du champ de jauge et les équations deviennent non linéaires, il y a une auto-interaction entre les bosons de jauge, ce qui n'a pas lieu dans le cas abélien. Je trouve plus abordable la présentation dans l'algèbre de Lie.

Ce que je voulais dire est que pour écrire l'équation du champ, l'invariance de jauge ne la détermine pas univoquement, il faut faire un choix, par exemple arriver à un lagrangien quadratique dans les dérivées du potentiel. Mais ce sont alors d'autres considérations qui interviennent, comme par exemple que le hamiltonien ait un spectre borné vers le bas.

[Anonyme007]

Merci ThM55 pour toutes ces précisions.

Le gap de masse est évidemment zéro puisque tout est linéaire (le groupe U(1) est commutatif). En fait il n'existe pas, la question ne se pose pas dans le cas abélien. Un état à une particule peut avoir une énergie arbitrairement petite, il suffit de choisir une fréquence suffisamment petite et il n'y a pas d'auto-interaction qui pourrait modifier cela.

Difficile pour moi de comprendre par le calcul pourquoi le gap de masse est zéro. Peux tu s'il te plaît me dire comment on calcule le Hamiltonien associé au Lagrangien ,, et comment en déduire le gap de masse ?

Merci d'avance.

[ThM55]

Bonjour. Calculer le hamiltonien à partir du lagrangien (plus exactement leur densité) est un exercice simple et standard qui se trouve dans tous les traités. Je n'ai pas le courage d'entrer ici toutes les formules en Latex en faisant attention de ne pas mélanger les indices et de balancer proprement les covariants et les contravariants. Je n'ai vraiment pas le temps de peaufiner tout ça. Je dirai donc simplement: on écrit la densité lagrangienne en fonction du potentiel, on localise les terme avec la dérivée par rapport au temps, on exprime le champ conjugué et on fait la transformation de Lengendre.

J'indiquerai aussi pourquoi le mass gap n'existe pas, en fait c'est complètement trivial. Les équations de Maxwell s'appliquent telles quelles au champ quantique. Si je choisis la jauge de Lorenz, ces équations impliquent l'équation des ondes pour le quadri-potentiel: . Ces équations sont linéaires. Cela permet de les résoudre exactement. Le truc classique est de trouver d'abord une solution "onde plane" de vecteur d'onde :



Les C sont des constantes. En substituant dans l'équation on voit qu'on doit avoir .

Ensuite on peut superposer une infinité de ces ondes, ce qui exprime la solution générale exacte comme une transformée de Fourier avec la condition pour chaque vecteur d'onde (ce qui revient à intégrer en fait sur le cône de lumière). Mais je n'ai pas besoin de ça pour prouver que le mass gap est nul.

Revenons à l'onde plane. Quelle est sa densité d'énergie? Sans faire le moindre calcul, on voit qu'il s'agira d'une forme quadratique des dérivées spatiales des composantes de potentiels (car le champ électrique est essentielle le gradient de -A0, le champ magnétique est le rotationnel des A_i ). Chaque dérivée fait tomber un . La densité d'énergie sera donc proportionnelle à une forme quadratique du vecteur d'onde k. Mais celui-ci n'est soumis qu'à une condition, il doit être de genre nul (sur le cône de lumière dans le minkowski des énergie-impulsion). Il peut donc être d'amplitude aussi petite que l'on veut. Il n'y a donc pas de mass gap: il y a des solutions d'énergie totale aussi petites que l'on veut (formellement, tu me donnes un epsilon aussi petit que tu veux, je te renvoie une solution d'énergie plus petite que cet epsilon).

Il en va tout autrement si le groupe de jauge est non-abélien. Dans ce cas le tenseur de courbure analogue à F dépend du commutateur en plus des dérivées, et ce commutateur n'est pas nul, en plus il est quadratique. Les équations ne sont donc plus linéaires! On n'a plus les solutions exactes! Il y a toutefois des gens qui ont étudié ces équations au niveau classique (non quantique) et je crois qu'on peut dire qu'on a résolu le problème de Yang-Mill classique de façon exhaustive pour une classe très étendue de solutions, les solutions dites "auto-duales". Mais au niveau quantique c'est infiniment plus compliqué car la non-linéarité fait intervenir une interaction entre les bosons de jauge qui sont les quanta du champ. Les équations quantiques sont impossible à résoudre de façon exacte. Deux photons lancés l'un contre se traversent sans interaction (dans le cas où on néglige l'existence des électrons et positrons). Par pour les bosons de jauge. C'est renormalisable, donc en principe il y a une solution mais elle n'est pas connue, sans doute pas calculable analytiquement et on pense qu'il doit y avoir un "mass gap", ce qui signifie que la solution d'énergie la plus basse possible qui est strictement positive. Celle juste en dessous est le vide, dont l'existence est postulée dans l'axiomatique de Wightman.

Un mot sur la résolubilité des équations. C'est une situation commune en physique théorique. Les équations résolubles analytiquement sont l'exception. C'est déjà le cas en mécanique classique: le problème à deux corps de Kepler a des solutions exactes mais dès qu'on a trois corps il faut recourir à des approximations. On connaît un certain nombre de problème résolubles (on dit "intégrables") mais c'est l'exception parmi une infinité de cas non résoluble. Ce qui permet de résoudre les équations de Maxwell dans le vide, c'est leur linéarité qui permet de superposer des solutions (en faire des combinaisons linéaires). Il suffit juste de faire attention à la convergence quand on en somme une infinité, un problème classique d'analyse fonctionnelle bien maîtrisé par les mathématiciens depuis plus d'un siècle.

[ThM55]

Si vous voulez approfondir, je donne ici un lien vers la page Web de Mark Srednicki, auteur d'un excellent traité de théorie quantique des champs. Il a la générosité de donner accès à un brouillon pré-publication de son livre en PDF. C'est donc parfaitement légal, à condition de ne pas le redistribuer mais de faire le lien vers sa page web, comme je le fais ci-dessous:

https://web.physics.ucsb.edu/~mark/qft.html

Le hamiltonien est donné par son équation (55.24) page 328. Dans le vide, les termes et J sont nuls, et si on ignore la contribution à l'énergie du vide (qui n'a rien à voir avec le mass gap), on ne garde que le premier terme. C'est une superposition de termes quadratiques proportionnels à , qui est la composantes temps du quadri-vecteur d'onde que j'ai nommé k. Ce terme peut être fait aussi petit qu'on veut. En fait ce qu'il faut faire c'est calculer une moyenne de ce H dans chaque état quantique. On peut le rendre aussi petit qu'on veut.

Il n'examine pas ce problème dans le cas de Yang-Mills, il faut trouver une autre référence. Mais il faut savoir que le problème de la théorie quantique des champs de jauge non abéliens est extrêmement touffu et difficile. Ce n'est pas un sujet qu'on peut "populariser" facilement, du moins personnellement je ne m'en sens pas capable (je dois d'ailleurs admettre que je suis complètement dépassé par tout ce qui s'est fait plus récemment en QCD par exemple).

[ThM55]

Pour dire les choses encore plus simplement: le quantum du champ électromagnétique est le photon de masse nulle et on peut en trouver d'énergie arbitrairement petite () .

[Deedee81]

Salut,

et on peut en trouver d'énergie arbitrairement petite

Ce qui conduit d'ailleurs aux divergences infra-rouges, très typiques du bremsstrahlung et qu'on rencontre aussi fréquemment dans les diagrammes de Feynman. On l'évite en donnant une masse fictive minuscule aux photons et à la fin on la fait tendre vers zéro (donc pas de masse gap) et en supposant une limite de résolution aux détecteurs.

[Anonyme007]

Merci ThM55.