onjour,
je rencontre quelques difficultés pour un exercice de Mécanique quantique (provenant du cohen),voici l'énoncé.
4. Rotation d'une molécule polyatomique
On considère un système constitué de N particules différentes, de positions
R1, ..., Rm, ..., RN , d'implusions P1, ..., Pm, ..., PN . On pose :
J =L1+L2....+Lm+...LN
avec :
Lm = Rm × Pm
a. Montrer que l'opérateur J satisfait les relations de commutation qui définissent un moment cinétique ; en déduire que, si V et V' désignent deux
vecteurs ordinaires de l'espace à trois dimensions, on a :
[J · V , J · V'] = i*hbarre*(V × V') · J
J'ai résolu la première partie de la question et montré que J satisfait bien aux relations de commutations d'un moment cinétique.
Pour la seconde partie la seule méthode que je vois permettant d'utiliser ses relations est de tout développer en écrivant
J · V=JxVx+JyVy+JzVz .
J · V'=JxV'x+JyV'y+JzV'z
Je me suis occupé en premier des cas [JiVi,JiV'i] (i l'indice pouvant prendre la valeur de x,y ou z) et vérifier que les commutateurs étaient nuls (Il suffit de développer les commutateurs et d'utiliser le fait que [Ji,Vi]=0 [Ji,V'i]=0(Car la composante d'un vecteur par rapport à un axe est invariante par rotation autour de ce même axe) et [Vi,V'i]=[Vi,V'j]=[Vi,Vj]=0 Car les vecteurs sont indépendants.
Il reste donc 6 commutateurs à calculer (Je vais détailler le calcul pour 2 afin que vous voyez comment j'ai fais et que vous me dites d'il y' a une erreur).
Soit [JxVx,JiV'i] i pouvant prendre la valeur de y ou z
On développe le commuateur
[JxVx,JiV'i]=[JxVx,Ji]V'i+Ji[JxVx,V'i]
[JxVx,Ji]=Jx[Vx,Ji]+[Jx,Ji]Vx
[JxVx,V'i]=[Jx,V'i]Vx
Donc
[JxVx,JiV'i]=(Jy[Vy,Ji]+[Jy,Ji]Vy)V'i+Ji[Jy,V'i]Vy (1)
Je rappelle les relations de commutations auxquelles obéissent le moment cinétique
[Jx,Jy]=ihbarreJz
[Jy,Jz]=ihbarreJx
[Jz,Jx]=ihbarreJy
De même d'après le complément BVI p739 du cohen tanoudji on a pour n'importe quel observable vectoriel V
[Vx,Jy]=ihbarreVz
[Vy,Jz]=ihbarreVx
[Vz,Jx]=ihbarreVy
Donc en prenant i=y dans (1), on a
[JxVx,JyV'y]=ihbarre(JxVzV'y+JzVxV'y+JyV'z Vx)
et i=z
[JxVx,JzV'z]=-ihbarre(JxVyV'z+JyVxV'z+JzV'yV x) (2)
Les autres commutateurs s'obtiennent en remplacant l'indice x par y ou z dans (1) et en réitérant le raisonnement.
Ainsi en additionnant tous ces commutateurs
j'obtiens[J · V , J · V']=ihbarre(Jx(Vy'Vz-VyV'z)+Jy(VxV'z-VzV'x)+Jz(V'xVy-V'yVx))=-ihbarreJ ·(V × V') =-ihbarre(V × V') ·J (Car j'ai vérifié que Jx commute avec la composante selon x de V × V' et pareil pour les autres composantes).
J'ai donc un signe moins par rapport à la relation de l'énoncé et après moult vérifications je n'arrive pas à savoir pourquoi, si vous avez une idée merci d'avance !
De plus s'il y avait une erreur on pourrait le voir dès la relation (2) car le terme -JxVyV'z y apparait.
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