dérivée maximale

[invite04fcd5a3]

salut

j'aimerais savoir une chose, a part quelques rares exceptions (equation de korteweg de vries,navier-stockes, et d'autres) les equations de la physique ont en leur sein au maximum des dérivées secondes, par rapport au temps ou a l'espace, pourquoi?
est-ce un choix d'ordre pratique, une préférence en se disant qu'au maximun on a des dérivées secondes dans les lois de la physique?
ou bien encore, en se basant sur certaines formule précedentes on n'a de choix d'aboutir lors de la formulation d'un problème sur au plus encore des equa diff de derivées maximale de deuxieme ordre?

j'aimerais vraiment qu'on m'eclaire d'une façon convaincante sur cette question qui me turlupine..


mtheory, homotopie,mariposa,lesvesque, vlad,et les autres...que pouvez vous répondre s'il vous plait?



merci beaucoup pour vos contributions
-----

[invitee1f11e55]

Je suis loin d'être un pro mais en ce qui concerne la méca classique, le théorème fondamental donne la relation entre l'accélération et la somme des forces. L'accélération étant la dérivée seconde d'une position, il est normal d'aboutir à une équa diff du second degré.

Plus généralement, la forme des solutions des équa diff du second degré permet de modéliser à la fois des phénomènes oscillatoires que des phénomènes exponentielles.

[invite6f25a1fe]

Tu dis qu'en général on obtient des équations différentielle d'ordre 2. Tout dépend ce que tu étudi. Par exemple, il suffit d'étudier le jerk pour obtenir des équations différentielles d'ordre 3 (ca doit être pas mal utilisé dans tout ce qui est transport, surtout transport ferroviaire).
Sinon, j'aurais tendance à dire que tout dépend de la complexité de ton modèle. Par exemple, si tu cherche l'équation d'onde d'une corde, tu va commencer par négliger l'absorption et la raideur, et tu obtiendra l'équation standard d'équation d'onde : une équa diff du second ordre. Par contre, si tu pousse un peu ton modèle et que tu décide de prendre en compte la raideur de la corde par exemple, alors là tu te retrouve avec une équation d'onde qui est une équation différentielle, mais du quatrième ordre.

[invite88ef51f0]

Salut,
Effectivement, dans la plupart des cas, on a des termes d'ordre faible, car on se limite aux premiers termes non-nuls. Par exemple, dans les équations du second ordre, les dérivées premières s'annulent pour des raisons de symétrie en général, et on doit donc considérer les termes du second ordre.

Le fait que les lois fondamentales apparaissent comme étant limitées à ces termes est sans doute en lien avec le fait que la Nature est "simple". Une preuve de l'efficacité des maths en quelque sorte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

J'aurais tendance à répondre que c'est pour une question de causalité dans les problèmes où la dérivée ne dépasse pas 2.

En effet, avoir des dérivées d'ordre supérieur à 2 signifie bloquer l'accélération à l'origine en méca newtonienne par exemple, ce qui est bof vu la tête du principe fondamental de la dynamique.

En théorie quantique des champs, c'est relié à la renormalisabilité, qui impose que la dimension des termes ne doit pas dépasser L^-4 sachant qu'un champ a une dimension L^-1 et de même pour

[invite6de5f0ac]

Bonsoir,

J'aurais tendance à être d'accord avec Coincoin (une fois de plus, même si ce n'est pas tout à fait vrai dans le détail).

Si on postule que "la Nature est bien faite", et bien gaffe aux soulignés et à la majuscule, on se réfère d'une certaine manière au principe anthropique: si notre compréhension de la Nature était aussi fausse que ça, nous ne serions même pas là pour en parler.

Mais c'est une autre discussion. En gros, la Nature étant postulée aussi flemmarde que vous et moi, ne peut avoir comme état stable qu'un optimum stable. Et quoi de plus stable qu'une cuvette de potentiel, où toutes les dérivées secondes s'annulent? L'annulation des dérivées premières seulement ouvre la voie à des choses inconfortables comme des fronces.

Alors que, avec une application de Pham limitée au deuxième ordre, on reste bien au chaud dans un puits de potentiel, sans raison d'en bouger sauf apport d'énergie extérieure: pourquoi s'en priver?

Cela dit, je suis bien d'accord qu'il n'est pas certain du tout que les états "asymptotiquement stables" en ce sens soient les plus "naturels", par exemple on pourrait avoir des orbites structurellement stables entièrement constituées d'états individuellement instables... Ça s'appelle la théorie du chaos. Bon courage...

-- françois

[invitefa5fd80c]

Salut

Je vais me limiter au cas classique.

Les variables de la physique (positions, vitesses, etc...) évoluent dans le temps de façon continue et différentiable. On peut supposer qu'elles sont différentiables à tous les ordres de grandeurs.

Considérée comme une fonction du temps t, la position r(t) d'une particule peut alors être exprimée comme une série de Taylor autour d'un temps t=t₀. Les coefficients sont essentiellement les dérivées successives de r(t) par rapport au temps, évaluées en t=t₀.

Maintenant, si, dans un environnement physique donné, on prend une particule et qu'on la place en une position x₀ au temps t₀, est-ce que l'on a une situation unique ? Non car expérimentalement on sait que certaines particules demeureront au repos et d'autres se déplaceront avec diverses vitesses. En un deuxième temps, si on place la particule en une position x₀ avec une vitesse v₀ au temps t₀, toujours dans le même environnement, est-ce que l'on a une situation unique? Expérimentalement on sait que oui: en d'autres termes, la fonction r(t) est alors spécifiée de façon unique. Par ci-haut, ceci veut donc dire que l'on connaît les dérivées de r(t) à tous les ordres: on peut donc exprimer les dérivées d'ordre supérieur ou égal à deux comme fonction de r(t) et dr(t)/dt. Donc en particulier, on peut exprimer la dérivée seconde de r(t) par rapport à t comme une fonction de r(t) et dr(t)/dt. Connaissant cette dérivée seconde en tout temps, on peut alors en déduire les dérivées d'ordre supérieur. Ce qui veut dire que, pour une position r₀ et une vitesse v₀ données, on peut spécifier complètement le mouvement de la particule, dans l'environnement spécifié, par une équation de la forme :

d²r/dt² = f (r,dr/dt)

Est-ce que c'est ce genre de réponse que tu cherches, ou est-ce par trop simpliste ?

[invite6de5f0ac]

Bonsoir,

Est-ce que c'est ce genre de réponse que tu cherches, ou est-ce par trop simpliste ?

Sans vouloir m'immiscer (encoe que je viens d'apprendre le verbe "appondre", très rigolo à conjuguer) je crois que c'est l'explication que champunitaire attendait.

Mais une chose me titille dans ta réponse:

En un deuxième temps, si on place la particule en une position x₀ avec une vitesse v₀ au temps t₀, toujours dans le même environnement, est-ce que l'on a une situation unique? Expérimentalement on sait que oui: en d'autres termes, la fonction r(t) est alors spécifiée de façon unique.

Expérimentalement, OK. Mais ce ne sont que les conditions d'unique intégrabilité d'un équa-diff: il existera toujours un domaine (normalement de mesure nulle) où on ne peut rien dire.

Oui, je sais, c'est un peu d'onanisme entre la Physique Théorique et ses modèles mathématiques. Mais après tout, il y a quand même des revues entières pour ça (je pense spontanément au J.Math.Phys. mais il y en a plein d'autres).

-- françois

[invitefa5fd80c]

Expérimentalement, OK. Mais ce ne sont que les conditions d'unique intégrabilité d'un équa-diff: il existera toujours un domaine (normalement de mesure nulle) où on ne peut rien dire.

Salut François,

Je ne saisis pas bien ton point. Pourrais-tu me donner un exemple ? Ça semble intéressant.

A+

[invite88ef51f0]

PopolAuQuébec, tu ne fais que repousser le problème (ce qui est déjà un grand pas) : pourquoi peut-on se limiter à r et v pour décrire le mouvement ?
D'un point de vue newtonien, c'est relié au fait que la loi de Newton F=ma est simple. Ca pourrait être (à moins que quelqu'un me montre que le terme du 4e ordre ne respecte pas une symétrie essentielle...).
D'un point de vue de la mécanique analytique, c'est relié au fait qu'on a le principe de moindre action (l'action doit être extrémale, ce qui conduit à une équation du premier ordre) et que le lagrangien s'exprime seulement en fonction de r et v (donc un ordre de plus, on retombe sur du second ordre). Encore une fois, si la physique n'était pas "simple", on pourrait avoir un principe beaucoup plus tordu que celui de moindre action et/ou un lagrangien avec pleins de termes d'ordre supérieur.

Bref, comme se fait-il que deux observables seulement permettent de faire de la mécanique ?

[invitefa5fd80c]

PopolAuQuébec, tu ne fais que repousser le problème (ce qui est déjà un grand pas) : pourquoi peut-on se limiter à r et v pour décrire le mouvement ?
[...]
Bref, comme se fait-il que deux observables seulement permettent de faire de la mécanique ?

Salut Coincoin,

Je ne suis pas certain de bien saisir le sens de ta question.

Est-ce que tu veux parler d'une raison "a priori" (c'est-à-dire relevant de la raison pure, donc de la métaphysique) ou bien est-ce que tu veux parler de propriétés physiques bien établies expérimentalement que l'on pourrait considérer comme étant les plus fondamentales et dont l'on pourrait déduire que la donnée de la position et la vitesse à un instant initial donné spécifie entièrement le comportement ultérieur d'une particule dans un environnement donné ?

En ce qui concerne la métaphysique, à mon sens, rien n'oblige "a priori" un monde, à partir du moment où il existe, à être ceci ou cela. Nous ne pouvons que constater qu'il est ceci ou cela.

[invite88ef51f0]

Ma question porte autant sur l'aspect physique que métaphysique. Je m'interroge, et je cherche un début de réponse. Si la réponse est physique, tant mieux, ça veut dire que les choses s'expliquent toutes seules. Si la réponse n'est qu'une piste métaphysique, c'est un bon début.

En ce qui concerne la métaphysique, à mon sens, rien n'oblige "a priori" un monde, à partir du moment où il existe, à être ceci ou cela. Nous ne pouvons que constater qu'il est ceci ou cela.

Oui, mais c'est frustrant ! L'homme a toujours cherché à relier différents phénomènes et à en comprendre les raisons. Buter sur un "la Nature est faite ainsi" peut donner l'impression qu'en réalité quelque chose nous échappe. Et malheureusement, on se rend compte que la pertinence des maths pour décrire le monde (et par conséquent le fait que très peu de grandeurs permettent de spécifier les phénomènes) n'est qu'un fait constaté. Intellectuellement frustrant...

[invitefa5fd80c]

Oui, mais c'est frustrant ! L'homme a toujours cherché à relier différents phénomènes et à en comprendre les raisons. Buter sur un "la Nature est faite ainsi" peut donner l'impression qu'en réalité quelque chose nous échappe. Et malheureusement, on se rend compte que la pertinence des maths pour décrire le monde (et par conséquent le fait que très peu de grandeurs permettent de spécifier les phénomènes) n'est qu'un fait constaté. Intellectuellement frustrant...

Tout à fait d'accord pour dire que c'est frustrant. Et c'est cette frustration qui nous pousse à chercher...et ultimement à trouver, en autant qu'il y ait quelque chose à trouver bien sûr

Bien souvent, c'est la façon dont on voyage qui est le plus important, et non la destination.

[invite04fcd5a3]

resalut

juste pour dire a coincoin et popol d'en rester aux faits scientifiques et ne pas devier vers la philosophie ou pire la poésie


ceci dit ce qui me semble le plus rigoureux c'est donc le fait qu'en partant d'un lagrangien (ou apparaissent q et q point) et en utilisant le principe de moindre action on aboutit a au plus du q point point et a des derivées secondes par rapport a q .
c'est donc a cause de ça..

[invite88ef51f0]

juste pour dire a coincoin et popol d'en rester aux faits scientifiques et ne pas devier vers la philosophie ou pire la poésie

C'est juste que quand on sait pas répondre physique, on va chercher au-delà. Et la métaphysique, étymologiquement, c'est ce qui vient après la physique.

Mais j'aimerais bien trouver une raison physique de virer les termes suivants...

[invitefa5fd80c]

C'est juste que quand on sait pas répondre physique, on va chercher au-delà. Et la métaphysique, étymologiquement, c'est ce qui vient après la physique.

Mais j'aimerais bien trouver une raison physique de virer les termes suivants...

En fait, les dérivées d'ordre supérieur à deux ne sont pas virées: elles sont toutes requises pour calculer la trajectoire à partir de son développement en série de Taylor. Mais étant donné que la donnée de r et de dr/dt détermine entièrement d²r/dt², les dérivées d'ordre supérieur sont alors elle-mêmes entièrement déterminées.

La question est donc de savoir pourquoi la valeur de d²r/dt² est entièrement spécifiée par r et dr/dt.

Je pense que l'EDQ nous permet d'avoir un début de réponse: les interactions se font par transferts d'impulsion en quantités discrètes. Si on transpose un tel processus discret au niveau macroscopique et que l'on prenne le principe d'inertie tel quel, alors la trajectoire est une suite de segments de droite parcourus chacun à une vitesse uniforme. La loi qui relie les différents segments de droite porte alors sur les changements de vitesse d'un segment à l'autre, c'est-à-dire l'accélération.