Hélicité des photons dans le lagrangien du champ électromagnétique

[Christian Arnaud]

Amis de la quantique, bonjour

Dans le lagrangien électromagnétique , comme décrit ici http://https://fr.wikipedia.org/wiki...agn%C3%A9tique paragraphe “Mécanique quantique” , on introduit le nombre de photons et leur hélicité ( le spin )( désolé mais mon niveau de Latex ne me permet pas de recopier la formule.
Est-ce à dire qu’on pense que l’énergie d’un photon circulaire droit est différente de celle d’un photon circulaire gauche ? et de cette manière on ne fait figurer que des photons au spin non superposé, non ?
D’où mon souhait de trouver le détail des calculs qui partent de ce Lagrangien et aboutissent, je suppose, à E=h.nu
Quelqu’un a -t-il un lien vers cette démonstration ?

Merci de vos réponses
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[Christian Arnaud]

Désolé , il y a un pb avec le lien ; c'est "Energie electromagnétique" dans wiki

[Deedee81]

Salut,

Bon, d'abord, en effet le lien ne marche pas. C'est celui-ci ? https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...ique_quantique

Bon,on introduit les hélicités uniquement parce qu'il y en a plusieurs, c'est aussi bête que ça. On choisi comme base de l'espace de Hilbert la base hélicité qui est souvent la plus pratique. Et donc on a deux termes pour les deux vecteurs de base (les deux hélicités).

Cela ne signifie pas que les énergie des deux états d'hélicité sont différents (il faudrait des coefficients différents en face des deux états or ici ce n'est pas le cas, c'est le même facteur).

Cela ne signifie pas non plus qu'on n'a que des états d'hélicité propre, il peut parfaitement y avoir des états superposés d'hélicité. C'est juste le lagrangien qui est décomposé sur cette base (comme lorsqu'on décompose un vecteur quelconque sur les vecteurs de base).

Enfin, il n'est pas directement possible de démontrer que E=h.nu à partir de ce lagrangien puisqu'il est déjà un "lagrangien quantique", on le lit d'ailleurs directement dessus : omega_k * aa+, bon ils ont choisi des unités avec hbar = 1 mais c'est bien là)

La démonstration de toute façon nécessite quand même de faire une hypothèse : celle des relations de commutation.
On procède comme suite (voir tout bon bouquin de théorie quantique des champs ou d'électrodynamique : Cohen Tanoudji, Itzykson et Zuber, Landau) :
- on décrit le champ électromagnétique en effectuant une transformée de Fourrier, ce qui donne des sommes (des intégrales) des ondes sinusoïdales, on parle des modes normaux :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Mode_normal
- on montre que les modes normaux forment des couples de variables conjuguées au sens de la mécanique analytique (là, on peut le faire à partir de lagrangien)
- ce qui précède permet de montrer que la commutation est [a,a+]=1 et conduit naturellement dans le lagrangien au terme en h.nu.

Cet article à l'air pas mal :
https://www.researchgate.net/profile...magnetique.pdf
(bon comme tu peux voir c'est sacrément costaud)

Bon, c'est que le départ car en réalité si on veut une formulation relativiste c'est pas deux états d'hélicité qu'on a mais.... quatre (ajouter le longitudinal et le scalaire) et cela conduit a des difficultés (ces états supplémentaire ne sont pas physique). Moi j'aime bien la méthode de métrique indéfinie de Gupta-Bleuler.

[Christian Arnaud]

Salut,

Bon, d'abord, en effet le lien ne marche pas. C'est celui-ci ? https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...ique_quantique

Bon,on introduit les hélicités uniquement parce qu'il y en a plusieurs, c'est aussi bête que ça. On choisi comme base de l'espace de Hilbert la base hélicité qui est souvent la plus pratique. Et donc on a deux termes pour les deux vecteurs de base (les deux hélicités).

Cela ne signifie pas que les énergie des deux états d'hélicité sont différents (il faudrait des coefficients différents en face des deux états or ici ce n'est pas le cas, c'est le même facteur).

Cela ne signifie pas non plus qu'on n'a que des états d'hélicité propre, il peut parfaitement y avoir des états superposés d'hélicité. C'est juste le lagrangien qui est décomposé sur cette base (comme lorsqu'on décompose un vecteur quelconque sur les vecteurs de base).

Enfin, il n'est pas directement possible de démontrer que E=h.nu à partir de ce lagrangien puisqu'il est déjà un "lagrangien quantique", on le lit d'ailleurs directement dessus : omega_k * aa+, bon ils ont choisi des unités avec hbar = 1 mais c'est bien là)

La démonstration de toute façon nécessite quand même de faire une hypothèse : celle des relations de commutation.
On procède comme suite (voir tout bon bouquin de théorie quantique des champs ou d'électrodynamique : Cohen Tanoudji, Itzykson et Zuber, Landau) :
- on décrit le champ électromagnétique en effectuant une transformée de Fourrier, ce qui donne des sommes (des intégrales) des ondes sinusoïdales, on parle des modes normaux :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Mode_normal
- on montre que les modes normaux forment des couples de variables conjuguées au sens de la mécanique analytique (là, on peut le faire à partir de lagrangien)
- ce qui précède permet de montrer que la commutation est [a,a+]=1 et conduit naturellement dans le lagrangien au terme en h.nu.

Cet article à l'air pas mal :
https://www.researchgate.net/profile...magnetique.pdf
(bon comme tu peux voir c'est sacrément costaud)

Bon, c'est que le départ car en réalité si on veut une formulation relativiste c'est pas deux états d'hélicité qu'on a mais.... quatre (ajouter le longitudinal et le scalaire) et cela conduit a des difficultés (ces états supplémentaire ne sont pas physique). Moi j'aime bien la méthode de métrique indéfinie de Gupta-Bleuler.

bonjour Deedee et merci pour cette réponse, très claire comme dab

Oui, pour la décomposition sur la base hélicité, j'aurais pu m'en douter , mais pour le reste j'aurais pas deviné

Quant au dernier lien , en effet il va falloir que je le relise plusieurs fois ....

Bon, j'ai mes réponses , on peut fermer le sujet Encore merci , Deedee

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