La supersymétrie dans les aimants

[Antonium]

Bonjour,

J'ai souvent pensé que les modèles possédant des symétries fermioniques (des supersymétries donc) étaient très loin de la physique du monde réel, et étaient donc surtout utiles pour comprendre analytiquement certains aspects de la mécanique quantique (théories quantique des champs) que l'on ne saurait étudier autrement (typiquement tout ce qui est lié aux interactions fortes).

Or, je viens d'apprendre qu'un des premiers modèles que l'on étudie lorsqu'on commence la mécanique quantique, à savoir un électron dans un champ magnétique, est en fait supersymétrique !

J'ai lu ça dans le livre de Shifman, chapitre 4 : https://www.worldscientific.com/worl...81#t=aboutBook.
En cherchant un peu on trouve aussi plein d'articles sur le sujet, par exemple : https://physics.lnu.edu.ua/jps/1996/1/pdf/39_41.pdf ou encore https://iopscience.iop.org/article/1...7/19/2/006/pdf

Pour ceux qui n'ont pas accès au livre, voici un petit résumé :

Considérons un électron se déplaçant le plan (x,y) en présence d'un champ magnétique le long de l'axe z , où m est la masse de l'électron, e sa charge électrique, et W(x) une fonction arbitraire qui dépend seulement de la position de long de l'axe x. Si on s'intéresse à la projection du mouvement le long de x, alors l'Hamiltonien s'écrit
,
où est le potentiel vecteur, sont les matrices de Pauli, et est la matrice identité 2x2.

On peut ensuite vérifier que les opérateurs

commutent avec l'hamiltonien (ce sont des symétries) et satisfont l'algèbre supersymétrique
,
avec le symbole de Kronecker. Autrement dit, ce simple modèle d'un électron dans un champ magnétique est supersymétrique !

C'est un résultat que je trouve remarquable, je suis étonné qu'il ne soit pas plus mis en avant dans les textes de mécanique quantique (du moins ceux que j'ai lu) au vu de sa simplicité.
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[ThM55]

Oui, cette relation d'anticommutation, combinée avec la commutation du hamiltonien définit ce qu'on appelle un modèle de mécanique quantique supersymétrique. Le cas en question dépend tout de même d'un champ magnétique particulier (il ne dépend que de x). Ce ne sera pas possible dans le cas le plus général. Dans le cas à une dimension, si on a un potentiel pour lequel on connaît au moins un état lié (par exemple la fonction d'onde de l'état fondamental), on peut toujours construire un potentiel qui présente une supersymétrie. Beaucoup de cas ont été étudiés, à une certaine époque c'était une vraie industrie. Cela permet de résoudre le problème des états stationnaires de manière purement algébrique.

Voici une référence qui explique cela en détail mais de manière élémentaire: https://www.worldscientific.com/worl...87#t=aboutBook . Il illustre la méthode sur l'exemple d'une particule de Dirac dans un champ coulombien, problème qui n'est pas si facile à traiter, mais que la méthode en question permet de simplifier. C'est aussi un joli sujet à étudier si vous aimez les fonctions spéciales (hypergéométriques, elliptiques, etc).