Racine complexes non conjuguées d'EDO en physique

[stefjm]

Bonjour,
A la suite du conseil de Deedee81, j'ouvre une nouvelle discussion sur un thème qui m'intrigue.
https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post7188798

Un système physique linéaire peut se caractériser par une (ou des) équation(s) différentielle(s) ordinaire(s) (EDO). Les racines de l'équation caractéristique de cette EDO (ou de la matrice) caractérisent alors ce système physique.

Pour un système physique classique (non quantique), ces racines sont :
- réelles
- complexes conjuguées

Jamais complexe sans le conjugué en face.


Ce qui revient aussi à dire que les coefficients de l'EDO de départ sont réels.

Auriez-vous des contre-exemples? Un système physique classique dont la racine serait -i, sans la présence de i?
Par exemple :


Cordialement
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[stefjm]

Bonjour,

Au vu du petit four précédent, connaissez-vous des systèmes physiques au sens le plus large possible, dont l'équation caractéristique a pour solution un complexe sans son conjugué en face?

Par exemple -i ou -1-i ?


Cordialement

[ThM55]

Il faut que la grandeur soit complexe, puisque l'équation est à coefficients complexes. Je propose un exemple:

Soit un oscillateur avec une force de rappel -kx:

.

J'introduis la grandeur complexe z par:



Elle vérifie l'équation différentielle



Cela te convient?

[stefjm]

Bonjour,

Il faut que la grandeur soit complexe, puisque l'équation est à coefficients complexes. Je propose un exemple:
Soit un oscillateur avec une force de rappel -kx:
.

d'équation caractéristique

de solutions complexes conjuguées
Donc ce système physique ne convient pas puisqu'il respecte la condition : racines réelles ou racines complexes conjuguées.

EDO qu'on peut factoriser sous la forme
.

A partir de là, on voit bien pourquoi la fonction z proposé vérifie l'équation de départ.

J'introduis la grandeur complexe z par:

Elle vérifie l'équation différentielle

Il me semble que cela marche aussi avec la fonction conjuguée

Je ne comprends pas trop l'intérêt de cette formulation par rapport à la solution de l'EDO :
J'arrive à voir un plan de phase, mais pas trop le phénomène physique et je veux bien des explications complémentaires.

Cela te convient?

Oui, si l'EDO, toute seule sans son conjugué,
.
correspond à un système physique ?

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Le passage à la variable z est juste une reformulation de l'oscillateur, un bête changement de variable. La variable complexe z a deux degrés de liberté qui correspondent à la position et à la vitesse. Il ne faut pas chercher plus loin, c'est trivial.

[gts2]

Oui, si l'EDO, toute seule sans son conjugué, correspond à un système physique ?

Mouvement d'une particule de masse m, de charge q dans un champ magnétique B selon z (pas le même z !).
L'équation est celle de la vitesse z=v_x + i v_y, avec ω=qB/m.

[stefjm]

Merci à tous les deux pour ces deux réponses presque synchrones, bien complémentaires et qui m'éclairent bien.
Dans les deux cas, on obtient une exponentielle d'argument imaginaire pure, un cercle dans le plan complexe, caractérisé par la racine complexe.

Exemple de ThM55 : cercle dans le plan de phase x,v
Exemple de gts2 : cercle dans le plan Vx,Vy

Dans ces deux exemples, la racine conjuguée permet de revenir dans le corps des réels.
Cette racine conjuguées est effectivement escamotée tant qu'on travaille en complexes.

Une racine imaginaire correspond à la conservation de l'énergie dans le système avec échange.
ThM55 : potentiel - cinétique
gts2 : cinétique Vx - cinétique Vy

Si on ajoute un terme réel à la racine, on rentre (terme réel positif) ou on sort (terme réel négatif) de l'énergie au système.

Mille merci encore une fois à tous les deux.