Complexes, racine nième

[inviteb64a2f8e]

Bonsoir à tous !

Voilà je fais des exos dans un livre corrigé en vue de mon DS Samedi mais voilà je suis tombé sur un corrigé que je ne comprends pas trop. Je vous serais donc reconnaissant de m'éclairer un petit peu. Voilà :

Enoncé :

Soit une racine nième de l'unité différente de 1.
Calculer :

Corrigé :

Si , alors on aurait

=> Ok, ils ont distingué le cas car il pose problème ensuite. Jusque là ça va.

Ici, on calcule .
On obtient donc

=> Alors là ça ne va plus. Déjà, comment avoir l'idée de calculer ? D'où vient ce et qu'apporte-t-il ? De plus et surtout, comment passent-ils de à et enfin à ?


Voilà, c'est sûrement tout bête mais là je vois pas trop.

Merci à tous !

ZimbAbwé.
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[invite97a92052]

Hello,

Alors, l'idée, c'est une astuce qui consiste a faire en sorte d'apparaître 2 sommes qui se "téléscopent", c'est à dire dont certains termes vont s'annuler. C'est futé, mais quand tu as l'habitude de faire de gros gros calculs, tu le verras mieux.

Pour démontrer les égalités, il faut faire apparaître les termes qui s'annulent : tu développes ton (1-w)*la somme, tu obtiens 2 sommes, puis tu fais un glissement d'indice pour ne faire plus qu'une seule somme.

Il faut aussi utiliser le fait que si w est une racine n-ème de l'unité différente de 1, alors :
1 + w+ w^2 + .. + w^(n-1) = 0


Voilà, et sinon, si tu n'avais pas vu cette astuce, tu peux aussi remarquer que ta somme est en fait la valeur de la fonction calculée en w, ou :
, ce qui se voit facilement, car (k+1)X^k est la dérivée de X^(k+1)

(j'écris "facilement", mais il faut quand même poser les calculs hein )

[inviteb64a2f8e]

Hello,

Tout d'abord, merci beaucoup pour ta réponse !

Oui c'est vrai que ça doit sembler quasi évident pour vous de multiplier la somme par mais bon pour ma part je ne suis qu'en première année de prépa donc je ne suis pas encore très familier de ces p'tites astuces ^^

En plus, j'avais oublié de prendre en compte que donc c'est sûr que ça aidait pas...

En tout cas, merci beaucoup j'ai compris grâce à toi et, qui sait, ça pourra peut-être me reservir pour une khôlle ou un DS

Merci encore !

ZimbAbwé.