Les nombres complexes sont-ils indispensables en physique

[pm42]

Y'a t'il un rapport entre les 3 derniers messages et le sujet du fil ?
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[stefjm]

3 réponses possibles à 3 questions légitimes.

[ThM55]

Cela n'a sans doute pas un rapport direct, c'est une réponse à mes remarques concernant la physique classique. Je suis tout à fait d'accord que les nombres complexes sont utiles et commodes dans de nombreux contextes et ma remarque était sans doute un peu réductrice comme stefjm le prouve.

Cela semble toutefois prendre une tout autre dimension dans le cadre de la physique quantique, comme le montrent ces recherches rapportées dans PLS et Nature, mais à mon avis ce n'est pas si nouveau que cela en a l'air. Le cadre formel de la MQ, c'est les algèbres de Von Neuman des opérateurs bornés. Ces algèbres ont une propriété essentielle, la présence d'une involution qui dans le cadre de la physique quantique est apparentée aux opérations de conjugaison complexe. Il n'est pas si étonnant que les tentatives de créer un formalisme purement réel de la MQ se heurtent à des difficultés. Malheureusement l'essentiel de ces articles (les preuves mathématiques) sont dans des annexes que je n'ai pas réussi à extraire et dans des articles référencés auxquels je n'ai pas accès (sauf via Arxiv pour certains). Mais je ne suis pas pressé, je finirai progressivement à améliorer ma compréhension. Il est possible que ces questions soient élucidées dans le futur grâce à la théorie des catégories. Mais encore une fois, c'est juste mon "feeling", donc vous ne devez pas me croire et vous êtes autorisés à m'accuser des pires turpitudes méthodologiques si cela vous chante . (je m'en fiche).

[Sethy]

Sethy, ce que tu indiques est intéressant. A creuser/vérifier en tout cas.

Quelques éléments supplémentaires :

Il y a un lien entre cette théorie est les algèbres de Clifford (mais comme je ne connais pas ... j'anone).

Etudiant, le produit vectoriel m'était apparu comme un lapin sortant d'un chapeau (et en particulier cette espèce de pseudo-déterminant de cette pseudo matrice i,j,k, ....). Plus tard, j'ai appris qu'en plus ce produit vectoriel n'existait qu'à 2 dimensions + 1, celle du pseudo-vecteur.

Au contraire, l'algèbre géométrique propose de raisonner avec des surfaces orientées (ici capture de wiki) :



La généralisation aux degrés ultérieurs est triviale.

Je t'invite vraiment à "scroller" cette page wiki sur le sujet : https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_algebra , dont voici un extrait :

"In physics, geometric algebras have been revived as a "new" way to do classical mechanics and electromagnetism, together with more advanced topics such as quantum mechanics and gauge theory.[5] David Hestenes reinterpreted the Pauli and Dirac matrices as vectors in ordinary space and spacetime, respectively, and has been a primary contemporary advocate for the use of geometric algebra."

[stefjm]

Le produit vectoriel n'est défini qu'en dimension 0, 3 et 7.

[Sethy]

Le produit vectoriel n'est défini qu'en dimension 0, 3 et 7.

Merci pour la précision, mais qui ne change pas vraiment le fond du propos.

[Deedee81]

Salut,

J'ai fini de lire l'article. Ils disent bien qu'ils ont réalisé une démonstration générale valable pour toute théorie "réelle". En utilisant la technique "d'autotest" (que je ne connais pas).
Et ils disent que l'ensemble des résultats expérimentaux est convaincants, malgré quelques loopholes à combler, la MQ réelle devient difficile à soutenir.
Ils parlent aussi d'une possibilité (ils ne font que l'évoquer) soit de réfuter la MQ elle-même (ce serait ennuyant mais qui sait hein) soit de prouver qu'elle est vraiment spéciale et la seule valable (cela me semble un voeux pieux mais qui sait ! Il qualifie ça de "vertigineux" ).

Il reste à creuser l'article technique pour voir si effectivement leur démonstration a bien un caractère aussi général qu'espéré (c'est le cas du théorème de Bell et il suffit de lire sa démonstration pour le constater, c'est flagrant. Donc je ne serais pas surpris que ce soit assez simple aussi à vérifier ici... faut juste avoir un peu de temps pour le faire. En tout cas l'article est assez simple à première vue, je le donner ici : https://www.nature.com/articles/s41586-021-04160-4).

Il n'est pas si étonnant que les tentatives de créer un formalisme purement réel de la MQ se heurtent à des difficultés

C'est juste. Et je dois dire qu'il est assez difficile (pour moi) de comprendre ce que cela implique sur la "signification profonde du monde" si je peux dire.

Sethy, merci pour les infos. J'avais déjà vu des reformulations partielles utilisant l'algèbre de Cliford. Mais pour moi des machins comme les quaternions, qu'on aborde ça par la géométrie ou pas, c'est pas mieux que les complexes. Mais il n'est pas exclut que la "signification profonde" que j'évoque soit de ce coté là puisqu'on retrouve ça aussi avec la gravité par exemple, en particulier la reformulation spinorielle (Ashterkar en a lâchement profité pour avoir une formulation quantique de l'hamiltonien de la RG ne tombant pas dans les travers de Wheeler-DeWitt).

En tout cas, au-delà du simple constat assez extraordinaire du caractère indispensable des nombres complexes en physique, il y a certainement beaucoup de travail à suivre. Je ne serais pas surpris qu'on en entende beaucoup parler.

Et à titre personnel je pensais avoir une vue assez profonde du comment du pourquoi de la MQ. Et là je vois s'ouvrir un gouffre : c'est encore plus passionnant

Affaire à suivre (et content d'avoir créé un sujet qui a tant passionné, je ne m'y attendais pas )

EDIT voilà ce qui arrive quand on ouvre DEUX FOIS la même discussion dans deux onglets. On rate quelques messages (de Thm55, désolé). Idiot que je suis. Il y a donc un petit peu de redite.

[ThM55]

Le seul truc qui m'ennuie, c'est qu'ils font l' hypothèse d'un espace de Hilbert réel, c'est-à-dire euclidien, en voulant conserver les mêmes axiomes. C'est leur hypothèse principale mais cela me semble restrictif. J'ai commencé la lecture d'un de ces articles (celui de Kage, Mosca et Gisin), je poserai des questions concernant des exemples avec des qubits mais je ne sais pas si c'est mieux de le faire ici ou dans un autre fil.

[Deedee81]

Le seul truc qui m'ennuie, c'est qu'ils font l' hypothèse d'un espace de Hilbert réel, c'est-à-dire euclidien, en voulant conserver les mêmes axiomes. C'est leur hypothèse principale mais cela me semble restrictif.

Il y a peut-être moyen de faire autrement en effet. A creuser.

EDIT P.S. hier j'avais fait quelques recherches mais on ne trouve pas énormément de choses sur la formulation "réelle" de la MQ. Si tu as des infos utile venant de ces articles, n'hésite pas

[Médiat]

Certains physiciens voient plus loin :
Les octons (algèbre de dimension 8 sur C), dont les reviewer de "International Journal of Theoretical Physics" ont écrit : Grace aux octons, il est possible de formuler les équations de Maxwell-Proca et l’équation de Klein-Gordon de façon à la fois compacte et élégante.

Ces mêmes physiciens ont aussi construit les sédéons (algèbre de dimension 16 sur C) voir un article : "Reformulation of relativistic quantum mechanics equations with non-commutative sedeons" dans Journal of Applied Mathematics.

Tout cela pour dire que, si on considère que la physique met au point des "modèles" utiles à la compréhension de ce que nous percevons (et processons), alors il me semble que la question de l'utilisation ou non d'une algèbre particulière est liée à 2 questions : est-ce que cela marche et est-ce pratique (simple, facile).

[stefjm]

Cela semble toutefois prendre une tout autre dimension dans le cadre de la physique quantique, comme le montrent ces recherches rapportées dans PLS et Nature, mais à mon avis ce n'est pas si nouveau que cela en a l'air. Le cadre formel de la MQ, c'est les algèbres de Von Neuman des opérateurs bornés. Ces algèbres ont une propriété essentielle, la présence d'une involution qui dans le cadre de la physique quantique est apparentée aux opérations de conjugaison complexe. Il n'est pas si étonnant que les tentatives de créer un formalisme purement réel de la MQ se heurtent à des difficultés. Malheureusement l'essentiel de ces articles (les preuves mathématiques) sont dans des annexes que je n'ai pas réussi à extraire et dans des articles référencés auxquels je n'ai pas accès (sauf via Arxiv pour certains). Mais je ne suis pas pressé, je finirai progressivement à améliorer ma compréhension. Il est possible que ces questions soient élucidées dans le futur grâce à la théorie des catégories. Mais encore une fois, c'est juste mon "feeling", donc vous ne devez pas me croire et vous êtes autorisés à m'accuser des pires turpitudes méthodologiques si cela vous chante . (je m'en fiche).

J'aimerais bien qu'on arrive à mettre des mathématique élémentaires (en gros que je comprend ) sur cette "toute autre dimension".
En gros quelles sont les propriétés des complexes qui sont concernées.

[...]
Tout cela pour dire que, si on considère que la physique met au point des "modèles" utiles à la compréhension de ce que nous percevons (et processons), alors il me semble que la question de l'utilisation ou non d'une algèbre particulière est liée à 2 questions : est-ce que cela marche et est-ce pratique (simple, facile).

La réponse à ces deux questions pour les complexes est oui. Aussi bien pour la mécanique quantique que classique.
Ce que je trouve curieux est plutôt de chercher à se passer des complexes pour "prouver" leur non utilité vitale, du genre, en classique, c'est un truc de calcul, mais en quantique, c'est fondamental.
J'ai l'impression qu'il y a le même genre de résistance que pour l'utilisation des nombres négatifs qui ne sont que des artifices de calculs.

[Deedee81]

mais en quantique, c'est fondamental.

C'est le noeud du problème La question n'est pas tant "pourquoi tel modèle mathématique" que "quel est le monde physique que l'on décrit (avec ces modèles)"

Là on en revient à ma question : quelles conséquences pour la compréhension de la physique derrière les équations. Perso je n'y ait guère réfléchit et je suppose qu'il est encore un peu tôt pour trancher (vu que les travaux cité ici sont récents, même sur le "auto-test" que j'ai cité, j'ai fait une recherche, j'ai trouvé deux thèses et de rares documents, c'est vraiment tout récent).

[stefjm]

Je ne suis pas capable de dire à la lecture de l'article s'il n'y a vraiment aucune structure à base de réels qui reconstruit les complexes..
Dans le peu que je comprends, je vois une construction du corps des complexes à base matrice réelle.

dont les valeurs propres sont +-i, matrice qui élevé au carré donne -Identité.

Et la conclusion de l'article serait que cette construction formelle des complexes à base de réels ne donne pas la même conclusion que celle à base de complexe?


Je veux bien des explications...

[Deedee81]

Je veux bien des explications...

Amha ce n'est pas juste ça (sinon ça marcherait) mais n'ayant pas lu l'article (maque de temps) je veux bien des explications aussi.

[stefjm]

Je veux bien les explications de ceux qui ont trouvé l'article très intéressant.
D'avance merci.

[ArchoZaure]

Bonjour.

On trouve bien entendu des polynômes de toutes sortes en physique. Cela ne veut pas dire qu'on peut s'en passer (ou l'inverse). Je ne m'avancerai pas.
Ce qui est étonnant ici avec les complexes est que :
- les grandeurs physiques mesures sont toujours réelles (d'où le choix des opérateurs hermitiens pour les observables, les valeurs propres sont réelles)
- les mathématiques sont a priori un outil descriptif et de calcul, offrant beaucoup de liberté
Donc le fait qu'on ne puisse éviter les complexes (ou en effet la clôture algébrique) est pour moi une surprise. Reste à en comprendre la signification physique.

Je suis un peu étonné de cette remarque.
Ou plutôt je suis étonné qu'on puisse s'en étonner.
Bien sûr qu'on ne peut "mesurer" que des grandeurs physiques quantitativement (même 1 et 0 présence et absence est déjà une grandeur réelle).
Mesurer une grandeur physique complexe n'a donc rien d'extravagant : Cela signifierait simplement qu'on mesure les deux composantes RÉELLES du nombre complexe.
l'une est dite réelle et l'autre imaginaire, mais on a bien affaire lors de la mesure à deux GRANDEURS réelles sur le plan PHYSIQUE (au niveau mathématique je ne sais pas comment on considère la chose).
Le complexe n'est finalement qu'un type de nombre, en 2D.

Mais d'un autre côté il y a quand même un cas un peu particulier, du moins il me semble; celui de la mesure quantique.
Dans ce cas de figure, on mesure par exemple l'orientation d'un spin, et le résultat de la mesure est un réel... ou du moins c'est ce qui nous semble.
J'ai l'impression qu'on mesure en fait un nombre complexe sans le savoir.
Car si on DEVAIT mesurer uniquement une des deux valeurs du nombre complexe, on AURAIT une valeur et une infinité de possibilités pour la seconde valeur.
La valeur complexe est donc de base indéterminée... si on ne s'attache qu'à une des deux valeurs, et on peut donc invoquer le hasard.
Mais une fois la mesure effectuée, l'indétermination quantique disparait : Puisqu'on a mesuré la deuxième valeur.
La partie imaginaire de la mesure, cette deuxième valeur qu'on oublie de préciser, est donc dans ce cas de figure la relation entre l'orientation de l'appareil de mesure et l'orientation de l'objet mesuré.
En soit une orientation, qui permet à la valeur réelle de l'orientation du spin d'exister "réellement", n'existe pas par elle même.
Il faut la partie imaginaire, constituée de la relation entre l'orientation de l'appareil de mesure et l'objet mesuré (dont on ne se soucie pas et à tord peut-être) pour obtenir une seule valeur réelle.

Bon, ce n'est un petit un avis personnel sans prétention, exprimé maladroitement, mais peut-être que ça peut faire avancer le débat.

[ThM55]

Avant d'aller plus loin, je voudrais expliquer pourquoi ce sujet m'intrigue au plus haut point, et j'ai essayé de mettre en forme mes réflexions. Soyez tolérants pour mes élucubrations, c'est juste pour montrer ce que j'ai cru comprendre.

Indépendamment de la mécanique quantique et de ses prédictions, ce qui rend cet article très étonnant est à mon avis ceci.

Supposons que je trouve un texte qui décrit mathématiquement un dispositif expérimental et prédise ses résultats sous forme de probabilités ou de corrélations, avec une preuve mathématique dérivant d'axiomes, de règles de déduction et de théorèmes ou lemmes démontrés précédemment. Cela pourrait être quantique ou classique, peu importe. On peut toujours formaliser ce texte dans un langage mathématique qui utilisera des symboles représentant des objets mathématiques. Parmi ces symboles il y aura un nombre fini qui représentent des nombres complexes. Ils peuvent éventuellement apparaître dans des formules logiques quantifiées (je veux dire avec les symboles ou ), qui permettent de représenter des ensembles infinis ou d'isoler un élément parmi ces ensembles). Mais les symboles qui représentent des nombres complexes sont bien en nombre fini sinon le texte serait infini et sans utilité. Est-il toujours possible de remplacer chacun de ces symboles par un équivalent réel (par exemple un couple (partie réelle, partie imaginaire) ou (module, phase)), et en même temps de modifier les formules dans lesquelles ils apparaissent, de telle sorte que le texte résultant ne fasse appel qu'à des nombres réels et reste logiquement équivalent? Je pose là une question purement mathématique, rien à voir avec la physique a priori. Une telle transformation, au niveau du langage, est-elle toujours possible comme un mécanisme formel?

Un exemple, l'énoncé de Cauchy qui dit que si est un chemin fermé contenu dans un domaine simplement connexe de et si f est une fonction holomorphe dans ce domaine, alors . Sa traduction réelle est immédiate: on remplace f par le couple (u,v) de fonctions réelles qui vérifient les conditions de Cauchy-Riemann. C'est d'ailleurs de cette manière qu'on démontre le théorème. Ensuite on applique la formule de Green-Riemann aux formes et . C'est le plus simple mais si on veut une démonstration d'un seul tenant, on peut intégrer sur une triangulation que l'on raffine et prendre une limite, la convergence étant prouvée grâce à quelques inégalités qui viennent toutes du calcul intégral réel. L'essentiel est que dans tous les cas on travaille in fine en analyse réelle dans .

Évidemment, si on écrivait un traité sur l'analyse complexe de cette manière en termes réels, il serait illisible et incompréhensible, toute la beauté du sujet serait oblitérée.

Mais le titre de Pour la Science affirme que ces chercheurs auraient produit un énoncé où cette transformation formelle est impossible. Pour moi, c'est extrêmement choquant.

Quand on creuse un peu, on voit qu'ils disent en fait autre chose que ce que je viens de décrire: ils disent que les formulations en terme d'espaces de Hilbert réels qui ont été tentées pour reproduire les axiomes et résultats de la mécanique quantique ont échoué de manière inattendue sur une expérience de pensée. C'est tout de même très intéressant d'essayer de comprendre mieux pourquoi car cela indique qu'il y a autre chose en mécanique quantique.

Il faut peut-être essayer de prendre le problème dans l'autre sens: en partant de la formulation réelle, est-il possible de reconstruire la mécanique quantique par une opération de complexification? On sait qu'on peut complexifier un espace vectoriel réel et ses morphismes, c'est très classique, mais en le faisant on introduit une structure supplémentaire, une involution (la conjugaison), qui n'existe pas dans l'e.v. réel de départ et qui permet de produire de nouveaux énoncés. La complexification est ce qu'on appelle un foncteur en théorie des catégories. Ici, c'est sans doute plus compliqué, ce n'est pas simplement la complexification de l'espace de Hilbert réel, c'est aussi celle des règles pour les systèmes composites (produit tensoriel), les spectres d'opérateurs, etc.

[Deedee81]

Salut,

Je reviens sur cette discussion. J'ai relu un article sur le sujet et j'ai creusé un peu plus.

Tout d'abord, ce qu'on appelle "mécanique quantique réelle" est une mécanique quantique avec un espace de Hilbert réel
de même dimension (que l'espace de Hilbert complexe) et un produit scalaire canonique.
Ca réduit fortement l'espace de Hilbert et ça ne me surprend pas du tout que cela puisse être réfuté.

Après réflexion, je me dis aussi qu'on peut toujours éviter les complexes. Il suffit d'écrire la fonction d'onde
comme F = Fr + i*Fi (ou Fr et Fi sont des fonctions réelles). Cela découple alors l'équation de Schrödinger
en deux équations réelles. Le vecteur d'état est alors un vecteur de HxH (H espace de Hilbert réel de même dimension que "l'original")
mais avec un produit scalaire un peut particulier : Fr² - Fi²

Un tel produit scalaire ne correspond pas à ce qu'on penserait intuitivement mais c'est un espace d'état pas l'espace réel
et il est différent du monde "réel" (par exemple les espaces d'états ont un grand nombre de dimensions, même en physique classique)

Un autre point : une onde classique peut se représenter par un nombre complexe encodant l'amplitude et la phase, ce qui n'a rien d'étrange.
Et c'est d'ailleurs cette différence de "nature" entre amplitude et phase qui peut conduire à un produit scalaire non canonique.
Bien sûr, pour des ondes classiques on sait éviter facilement les complexes qui là qui ne sont (vraiment) qu'une facilité d'écriture.
Avec la fonction d'onde, c'est la même chose à ceci près que la phase est quelconque en chaque point, ça ne simplifie pas les choses (et voir ci-dessus).
Mais ce n'est clairement pas plus étrange que pour une onde classique.

Et donc .... je ne comprend pas ce foin et les affirmations comme
"Les nombres complexes sont incontournables en physique quantique. Qu'est-ce que cela dit sur la "réalité" de notre monde ?"
Cela sonne pour moi comme une grosse confusion entre réalité physique et représentation mathématique.
Et mon analyse rejoint celles données plus haut (comme ThM55 mais lui plus détaillé)

Qu'en pensez-vous ? Serais-je trop "cartésien" et pas assez "philosophe" ou serait-ce eux qui le sont trop ???

[stefjm]

je suis dans doute trop bête pour comprendre ces subtilités, mais pour moi, l'ensemble des mathématiques ne sont que des outils mathématiques (pour faire politiquement correct) ou des trucs de calculs (pour faire provoc) pour la description physique classique ou quantique.

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[Deedee81]

je suis dans doute trop bête pour comprendre ces subtilités, mais pour moi, l'ensemble des mathématiques ne sont que des outils mathématiques (pour faire politiquement correct) ou des trucs de calculs (pour faire provoc) pour la description physique classique ou quantique.

Au contraire, on se rejoint (tous) là
Je crois qu'on n'est pas sassez "philo" pour comprendre

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[Deedee81]

Bon, de toute façon je me rend compte que c'est totalement hors sujet, je nettoie.

Et il semble qu'on soit tous sur la même longueur d'onde (*) concernant ma question.
Mais au cas où quelqu'un d'autre aurait aussi un avis, je vais encore laisser ouvert.

EDIT (*) ce jeu de mot n'était pas volontaire

[Deedee81]

Même avec le filtre et même si ce n'est pas une critique, ça reste un commentaire sur la modération.
Mais je ne vais pas sanctionner.

Et je répond :
car le sujet n'est pas "le truc que tu ne comprends pas" et que j'ai effacé mais la question que j'ai posé plus haut (je suis quand même l'auteur du sujet).
De plus on ne se comprend pas (ou tu n'arrives pas à t'expliquer, j'en sais rien) et donc inutile de tourner en rond.

Ceci dit si c'est quelque chose que tu ne comprends pas, je comprend que ça puisse te chiffonner, tu peux toujours ouvrir un sujet là-dessus, je ne répondrai pas (puisque je ne sais pas répondre, en tout cas en l'état actuel) mais d'autres le pourront peut-être. Et ce ne sera pas un contournement de la modération puisque ce n'est pas un "sujet fermé pour ça".