Les nombres complexes sont-ils indispensables en physique

[Deedee81]

Salut,

Voilà un sujet qui va plaire à certains

Excellent article que je conseille (on trouve d'autres articles en accès libre sur le net, mais c'est celui-là que j'ai lu).
https://www.pourlascience.fr/sd/phys...onde-25514.php

Résumé en gros :

Les nombres complexes en physique doivent-ils être vu comme un simple outil de calcul simplifiant la vie ou est-ce plus profond que cela ?

On a longtemps cru qu'on pouvait (en principe) se passer des nombres complexes. Par exemple, lorsqu'on décrit une onde il est plus souvent pratique de la décrire par une fonction complexe. Mais on peut s'en passer en décrivant par exemple l'amplitude et la phase séparément. Et de fait en physique classique c'est toujours possible de s'en passer.

Certains ont essayé de formuler une mécanique quantique qui ne fait appel qu'aux nombres réels. A la base, ça parait évident, là aussi on peut juste séparer partie réelle et imaginaire dans la fonction d'onde. De fait à une particule, ça va. Mais dans le cas plus général, un état est décrit par un vecteur d'un espace de Hilbert complexe. Se débarrasser des complexes est plus difficiles (étant entendu que si on écrit tout complexe sous la forme a + ib, cela ne suffit pas => le "i" reste parfois indispensable).

Donc, une version "réelle" de la MQ a été élaborée (bon, pas facile d'avoir une ref, mais j'ai trouvé ça : https://physics.stackexchange.com/qu...omplex-numbers )

Elle donne les mêmes résultats que la MQ traditionnelle dans nombre de cas : avec une seule particule, deux particules intriquées, le calcul quantique, la crypto quantique, etc....
Donc on a longtemps cru que cette version était équivalente et non réfutable.
Mais ce n'était pas strictement prouvé !

C'est la question que Marc-olivier Renou s'est posé (avec des collègues). Et il a prouvé que non !!!!! L'expérience est la suivante.
Une source S1 émet deux particules intriquées A et B. Une source S2 émet deux (autres) particules intriquées C et D.
Un observateur effectue une mesure "spéciale" sur B et C appelée "mesure de Bell", cela conduit à l'intrication de A et D.

Ils ont prouvé (article technique disponible aussi via google schoolar par exemple) que les statistiques de mesures sur A et D (prédites par la MQ) ne peuvent pas être reproduite par une "MQ réelle". Et comme ce genre d'expérience est courant (dans les recherches sur l'internet quantique par exemple) cela réfute l'approche "réelle".

Il reste à comprendre le sens physique profond d'une telle présence incontournable des nombres complexes !!!!! Mais aussi ses conséquences sur la compréhension de la MQ. Comme quoi la MQ n'a pas fini de nous étonner
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[pm42]

Je confirme : l'article est très intéressant.

[MissJenny]

Il reste à comprendre le sens physique profond d'une telle présence incontournable des nombres complexes !!!!!

en mathématiques, le corps des complexes est introduit en tant que clôture algébrique du corps des réels. Fournir des racines aux polynômes à coefficients réels est en quelque sorte la "raison d'être" mathématique du corps des complexes. Est-ce que les polynômes jouent un rôle en physique? (ou même seulement les polynômes de degré 2).

[Deedee81]

en mathématiques, le corps des complexes est introduit en tant que clôture algébrique du corps des réels. Fournir des racines aux polynômes à coefficients réels est en quelque sorte la "raison d'être" mathématique du corps des complexes. Est-ce que les polynômes jouent un rôle en physique? (ou même seulement les polynômes de degré 2).

On trouve bien entendu des polynômes de toutes sortes en physique. Cela ne veut pas dire qu'on peut s'en passer (ou l'inverse). Je ne m'avancerai pas.
Ce qui est étonnant ici avec les complexes est que :
- les grandeurs physiques mesures sont toujours réelles (d'où le choix des opérateurs hermitiens pour les observables, les valeurs propres sont réelles)
- les mathématiques sont a priori un outil descriptif et de calcul, offrant beaucoup de liberté
Donc le fait qu'on ne puisse éviter les complexes (ou en effet la clôture algébrique) est pour moi une surprise. Reste à en comprendre la signification physique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jiherve]

Bonjour
j'ai lu l'article et c'est très intriguant car la conclusion que l'on peut en tirer c'est que les nombres imaginaires ont peut être une existence réelle!
JR

[Antonium]

Bonjour,

j'aimerais ajouter qu'au delà des nombres complexes, l'analyse complexe joue un rôle majeur en physique. Cela vient de la notion de "complexe-dérivable" ou holomorphie, qui est plus restrictive que la dérivabilité des parties réelles et imaginaires, vu qu'on a en plus les equations de Cauchy-Riemann.

Il y a beaucoup de liens avec la physique, mais un qui est particulièrement intéressant est celui avec la causalité. En effet considérons une onde émise à par un certain évènement. En prenant une transformée de Fourier dans la variable temporelle on a
,
et la condition de causalité pour est équivalente à la condition que est une fonction holomorphe de la variable dans le demi-plan complexe supérieur. On s'en convainc facilement en évaluant l'intégrale à l'aide d'un contour en forme de demi cercle dont le diamètre est sur l'axe réel et qui se ferme dans le demi-plan supérieur, puis en utilisant le théorème de Cauchy.

Jusqu'ici c'est purement classique, mais cela devient encore plus important en mécanique quantique, et particulièrement en théorie quantique des champs dont les tentatives pour trouver des formulations mathématiques rigoureuses font souvent appel à des axiomes d'holomorphie sur les observables (typiquement l'analyticité de la matrice S qui est similaire à la variable A dans l'exemple simpliste illustré plus haut).

Ainsi pour la physique classique on peut se dire que c'est juste une reformulation, alors qu'en physique quantique l'analyse complexe semble être un acteur principal de la formulation mathématique rigoureuse de la théorie.

[Deedee81]

les nombres imaginaires ont peut être une existence réelle!

D'où le titre (un peu tape à l'oeil de PLS) : le monde est-il imaginaire ?

Ainsi pour la physique classique on peut se dire que c'est juste une reformulation, alors qu'en physique quantique l'analyse complexe semble être un acteur principal de la formulation mathématique rigoureuse de la théorie.

C'est très juste ainsi que tout ce qui est propagateur : se limiter aux propagateurs réels serait une erreur. Je vois mal comment éviter le propagateur de Feynman.

Il y a encore en tout cas et mine de rien pas mal de chose à comprendre. Formulation mathématique : très bien, en pratique c'est tout ce dont on a besoin, mais pourquoi cette formulation (question légitime, ne fut-ce que pour améliorer, aller-au-delà (*)) : là, y a beaucoup de chose que manifestement on ne sait pas encore.

(*) je pense même à la formulation axiomatique de la TQC, incomplète ou certaines difficultés avec les formulations perturbatives. Enfin, bon, je ne suis pas sûr que ce soit lié à ce problème de compréhension, mais c'est tout à fait possible.

[ThM55]

J'ai lu cet article et j'ai commencé à lire une des références mais cela ne m'a pas vraiment convaincu, bien que je le trouve intéressant. En effet ce qu'ils font c'est réfuter une version particulière de la "mécanique quantique réelle". Qui nous dit qu'une autre version dans laquelle les corrélations en question sont respectées est impossible? Voilà un sujet intéressant en tout cas.

[mtheory]

https://www.futura-sciences.com/scie...mplexes-96312/

[mtheory]

https://www.futura-sciences.com/scie...mplexes-96312/

sont en retard à PLS

[ThM55]

En ce qui concerne l'usage des nombres complexes en physique, on peut remarquer une différence essentielle entre la physique classique et la physique quantique.

En physique classique, par exemple dans l'analyse des circuits en courant alternatif, on fait une analyse au moyen de nombres complexes, et à la fin on repasse aux nombres réels en prenant la partie réelle du résultat (ou sa partie imaginaire débarrassée du coefficient i). En mécanique des fluides, on représente les flots plans irrotationnels incompressibles par des fonctions complexe (un potentiel dont la vitesse est le gradient), mais c'est juste un artifice de calcul. A la fin la vitesse est juste un vecteur réel.

En physique quantique, c'est différent: on prend la norme du résultat. Je ne connais pas d'exemple de cela en physique classique. Le formalisme mathématique fondé sur les opérateurs sur un espace de Hilbert et les algèbres d'opérateurs utilise de manière essentielle une notion de convergence qui est une convergence en norme. Sans cette convergence, pas de développement dans une base, pas de définition d'un domaine dense pour les opérateurs non bornés, pas de théorie spectrale pour ceux-ci, etc. C'est donc fondamental. Ce qui est tout à fait remarquable est que la norme en question n'est pas du tout quelconque, elle vérifie l'inégalité du parallélogramme et provient d'un produit interne hermitien. Je trouve stupéfiant que la nature soit ainsi faite qu'elle exploite ce produit hermitien et pas seulement la norme qui en résulte. On dirait que la nature connaissait les résultats de l'analyse fonctionnelle (découverts quelques années avant la mécanique quantique) et les a exploités de manière maximale. Je pense que c'est en ce sens qu'il faut comprendre le rôle des nombres complexes en physique quantique.

On pourrait sans doute reformuler le tout de manière purement réelle en séparant les parties imaginaire, mais ce que cet article montre est que au moins dans une de ces formulations, on a perdu quelque chose en ce qui concerne des états intriqués un peu compliqués. Je n'arrive pas à croire toutefois qu'une formulation réelle prenant tout cela en compte soit impossible mais si elle existe elle doit être sans doute assez difficile à manier. Après tout on peut refaire l'analyse complexe de manière purement réelle mais de nombreux énoncés et preuves deviendraient sans doute très opaques.

[mtheory]

Je n'arrive pas à croire toutefois qu'une formulation réelle prenant tout cela en compte soit impossible mais si elle existe elle doit être sans doute assez difficile à manier. .

On ne peut pas exclure non plus que nous n'avons pas une bonne théorie quantique.

[Deedee81]

sont en retard à PLS

Ah d'accord, merci

[pm42]

En effet ce qu'ils font c'est réfuter une version particulière de la "mécanique quantique réelle"

Je veux bien des précisions parce qu'ils disent "Ensuite, pour s’assurer que les statistiques observées ne pouvaient être décrites par aucun système quantique réel, nous nous sommes appuyés sur un concept puissant connu sous le nom d’« autotest »".

Donc quelles sont les autres versions qui pourraient fonctionner ?

[mtheory]

sont en retard à PLS

A strictement parler, non là c'est l'article des auteurs de la découverte, l'année dernière ils avaient fait un article en même temps que nous si je me souviens bien.

[MissJenny]

à vous lire, je me dis que ça n'est pas l'aspect clôture algébrique qui est important ici, mais plutôt les propriétés de l'analyse complexe. C'est d'ailleurs fascinant qu'en créant un unique nombre (i) destiné à résoudre une unique équation (X^2 + 1 = 0) on obtienne toutes ces propriétés des nombres complexes.

[Deedee81]

Donc quelles sont les autres versions qui pourraient fonctionner ?

Comme il me reste un bout à lire je n'ai pas voulu rebondir sur ce point. Ils disaient en effet que la question était bien de savoir i TOUTE version "réelle" est réfutée (tout comme TOUTE version a variable cachée locale a été réfutée par le théorème de Bell et les expériences).

A strictement parler, non là c'est l'article des auteurs de la découverte, l'année dernière ils avaient fait un article en même temps que nous si je me souviens bien.

De toute façon, il ne faut pas s'étonner que des actus soient plus "rapides" que les articles de magazines.
Ah tiens : il y a exactement la même anecdote dans l'article et l'actu concernant Schrödinger et son attitude devant les nombres complexes.

EDIT croisement avec MissJenny, qui me fait penser aux résultats absolument fascinant de l'analyse complexe. Or il se fait que plusieurs aspects importants des phénomènes quantiques se lisent directement sur le plan complexe. Et il y a un lien fascinant aussi entre causalité et analycité. Mais j'ignore si c'est lié à la problématique ici.

[stefjm]

Voilà un sujet qui va plaire à certains

Rien que les transformations intégrales classiques (Fourier, Laplace, Hilbert) n'auraient pas un grand intérêt sans les complexes.


Et je ne connais pas beaucoup de physiciens prêts à abandonner les relations de Kramers-Kronig.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Relati...Kramers-Kronig
https://en.wikipedia.org/wiki/Kramer...onig_relations

EDIT croisement avec MissJenny, qui me fait penser aux résultats absolument fascinant de l'analyse complexe. Or il se fait que plusieurs aspects importants des phénomènes quantiques se lisent directement sur le plan complexe. Et il y a un lien fascinant aussi entre causalité et analycité. Mais j'ignore si c'est lié à la problématique ici.

Yes!
Par le papa mathématiciens des distributions, Laurent Schwartz !
http://sites.mathdoc.fr/OCLS/pdf/OCL...__34__13_0.pdf

[Sethy]

Qu'on soit clair, ici je ne vais faire qu'anoner ce que j'ai entendu (propos tenu par ingénieur civil physicien "I.R." belge).

Ce qu'il disait, c'est que l'algébre géométrique permettait une réécriture très propre de la mécanique quantique.

Il citait très souvent les travaux de David Hestenès (https://fr.wikipedia.org/wiki/David_Hestenes) concernant ce domaine (https://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3...ue_(structure) ).

Un des apports (le seul ?) qui m'est accessible concerne le produit vectoriel, je cite un extrait de la page wiki qui précède :

"Le produit extérieur a ∧ b n'est ni un scalaire, ni un vecteur : c'est un bivecteur, qui sera identifié plus tard comme le dual du vecteur issu du produit vectoriel. La différence entre les deux opérations étant que le bivecteur fourni par le produit extérieur est intrinsèque au plan des deux vecteurs, tandis que le produit vectoriel est noté comme un pseudovecteur perpendiculaire à ce plan.

Le produit extérieur de deux vecteurs peut être vu comme une aire orientée.".

Et le physicien (ingénieur) qui nous parlait d'Hestenès expliquait qu'on pouvair réécrire, dans le cadre de l'algèbre géométique, la mécanique quantique sans les complexes. Si je me souviens bien, il évoquait aussi le fait que les 4 équations de Maxwell s'y réduisait à une seule.

Ici, les premières pages d'un livre publié par les presses de Cambridge : https://assets.cambridge.org/052148/...21480221ws.pdf

[ThM55]

L'article de Nature est en accès libre mais je n'ai pas encore eu le temps de le finir. Mon hypothèse est qu'ils falsifient une version particulière de théorie quantique "réelle", celle qui se fonde sur un espace de Hilbert réel (il y a deux références à ce sujet, 11 et 12; il faudrait aussi les étudier). Il est possible que cette formulation ne soit pas complètement équivalente à la théorie quantique usuelle parce qu'un espace de Hilbert réel est quelque chose de plus restrictif que l'espace de Hilbert complexe. Je ne dis pas que c'est certain mais c'est mon feeling actuellement.

C'est pourquoi je ne suis pas (du moins pas encore) convaincu par le titre accrocheur disant que "les nombres complexes sont indispensables". Néanmoins il est intéressant d'apprendre qu'une formulation au moyen d'un espace de Hilbert réel est insuffisante, c'est une belle découverte.

[pm42]

Donc tu critique "au feeling" sans avoir lu ?

[Deedee81]

Et je ne connais pas beaucoup de physiciens prêts à abandonner [....]

Attention, la question n'est pas de savoir si on doit abandonner les complexes mais si cela était possible au moins en principe. Et il semble que non.

Mais je suis d'accord que c'est franchement surprenant. C'est pour ça que j'ai indiqué l'article.

Sethy, ce que tu indiques est intéressant. A creuser/vérifier en tout cas.

c'est une belle découverte.

En tout cas c'est une affaire à suivre. Comme je le disais, elle a au moins le mérite de montrer qu'on a encore pas mal de choses à comprendre.

[pm42]

Mais je suis d'accord que c'est franchement surprenant.

Oui, cela fait penser à la déraisonnable efficacité des mathématiques d'Eugène Wigner.

[ThM55]

Donc tu critique "au feeling" sans avoir lu ?

Je ne critique pas.

[ThM55]

Pour info, pour ceux qui veulent approfondir, la référence de Phys.Rev.letters sur la simulation par un espace de Hilbert réel (référence 4 dans l'article de Nature) est accessible dans Arxiv: https://arxiv.org/abs/0810.1923 .

[ThM55]

Et leur référence 12 aussi: https://arxiv.org/abs/quant-ph/0104088 .
Il faut toutefois remarquer que les pre-prints sur Arxiv ne sont pas toujours mis à jour après publication. Des auteurs très diligents devraient le faire, mais ils n'ont peut-être pas toujours le temps. Si vous avez accès aux journaux via une institution c'est toujours mieux.

[ThM55]

Encore un article. Il décrit le self-testing de circuits quantiques: https://arxiv.org/abs/quant-ph/0512111 . Ca fait déjà beaucoup de trucs à lire avant de commencer à comprendre ce problème...

[stefjm]

En ce qui concerne l'usage des nombres complexes en physique, on peut remarquer une différence essentielle entre la physique classique et la physique quantique.

En physique classique, par exemple dans l'analyse des circuits en courant alternatif, on fait une analyse au moyen de nombres complexes, et à la fin on repasse aux nombres réels en prenant la partie réelle du résultat (ou sa partie imaginaire débarrassée du coefficient i). En mécanique des fluides, on représente les flots plans irrotationnels incompressibles par des fonctions complexe (un potentiel dont la vitesse est le gradient), mais c'est juste un artifice de calcul. A la fin la vitesse est juste un vecteur réel.

On n'est pas toujours obliger de revenir en réel. On peut très bien rester en complexe dans pas mal de cas.
Les fonction sin et cos sont bien chiantes à s'annuler périodiquement alors que la fonction e^(i.t) a le bon gout de ne jamais s’annuler, ce qui est bien pratique pour les fonctions de transfert.
Les systèmes linéaires sont caractérisés par leurs pôles et zéros dans le plan complexe. C'est bien bien chiant de s'en passer et si on le fait, il y a de bonne chance qu'on réinvente une structure isomorphe aux complexes (genre matrice ou quotient de polynômes avec (1+X^2)).

Les systèmes physiques classiques ont le bon gouts d'avoir des pôles complexes conjugués, ce qui permet de revenir facilement dans les réels en annulant la partie imaginaire.
Exemple : un oscillateur harmonique classique de fonction de transfert p/(p^2+1) a ses deux pôles en +-i et donc une réponse réelle en cosinus, somme de deux réponses complexes.
https://www.wolframalpha.com/input?i...%29%2Cp%2Ct%29
https://www.wolframalpha.com/input?i...2F2%2Cp%2Ct%29

Si on considère seulement un pôle 1/(p+i), on a l'oscillateur quantique.
https://www.wolframalpha.com/input?i...%29%2Cp%2Ct%29

En physique quantique, c'est différent: on prend la norme du résultat. Je ne connais pas d'exemple de cela en physique classique.

En électricité ou en mécanique, régime sinusoïdal, la norme de la puissance complexe est la puissance apparente, produit U.I (Force.Vitesse).
La partie réelle est la puissance moyenne, dite active et la partie imaginaire la puissance réactive, correspondant à l'énergie échangée alternativement à valeur moyenne nulle.

[stefjm]

à vous lire, je me dis que ça n'est pas l'aspect clôture algébrique qui est important ici, mais plutôt les propriétés de l'analyse complexe. C'est d'ailleurs fascinant qu'en créant un unique nombre (i) destiné à résoudre une unique équation (X^2 + 1 = 0) on obtienne toutes ces propriétés des nombres complexes.

Comme quoi, les identités remarquables ont du bon!
Racines carrée de -1


Racines cubique de 1


et plus généralement les racines de l'unité.

[stefjm]

en mathématiques, le corps des complexes est introduit en tant que clôture algébrique du corps des réels. Fournir des racines aux polynômes à coefficients réels est en quelque sorte la "raison d'être" mathématique du corps des complexes. Est-ce que les polynômes jouent un rôle en physique? (ou même seulement les polynômes de degré 2).

Clairement oui pour les systèmes linéaires où il est très sympa de transformer les équations différentielles en fonction de transfert de la variable complexe p en utilisant la transformée de Laplace.

Exemple d'un oscillateur classique
de réponse impulsionnelle
se transforme en
où les deux pôles +-i caractérisent la pulsation de cet oscillateur (et le fait que cela en soit un).

Et sans surprise, on peut ramener tout système physique linéaire d'ordre n à une combinaison linéaire de réponse de système d'ordre 1 (sur C) ou d'ordre 1 et 2 (sur R).