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Les nombres complexes dans la physique



  1. #1
    DarK MaLaK

    Les nombres complexes dans la physique


    ------

    Bonjour, depuis quelques mois déjà, je me pose une question, à propos des nombres complexes en physique. J'ai remarqué qu'ils étaient très utilisés pour décrire des phénomènes réels, comme en électricité ou en électromagnétisme. J'ai bien vu, comme me l'ont dit mes professeurs, que c'est un outil qui simplifie de manière significative les calculs.

    Cependant, je me demande pourquoi les nombres complexes peuvent être utilisés en physique. Comment se fait-il, par exemple, que l'on puisse parfois tout calculer avec les nombres complexes et dire que le résultat est la partie réelle ? J'ai toujours vu les nombres complexes comme des nombres basés sur l'imagination et donc purement mathématiques. Mon questionnement est donc peut-être dû à une méconnaissance de leur véritable nature.

    Donc ce que je voudrais savoir, c'est : comment se fait-il que l'on puisse utiliser des nombres complexes dans des équations qui décrivent la réalité (comme les équations de Maxwell pour les ondes)?

    Merci d'avance pour vos réponses.

    -----

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  3. #2
    invite34596000666

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Hmm
    Y a pas de nombres complexes dans les équations de Maxwell… Si tu fais référence au Exp(i*(omega*t-k*r)) des champs, c'est comme tu l'as dit toi même : ça facilite la vie d'utiliser des exponentiels complexes pour les phénomènes oscillants mais ce sont des sinus en réalité
    Dernière modification par invite34596000666 ; 28/02/2009 à 15h02.

  4. #3
    DarK MaLaK

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Pour les ondes planes progressives monochromatiques, on transforme les équations de Maxwell pour y faire apparaître le nombre i. Et quand on termine les calculs, avec la formule d'Euler, on réécrit le résultat mais on enlève la partie imaginaire i*sin(x). Comment se fait-il qu'on ait le droit de le faire ? Que fait-on de la partie imaginaire ?

  5. #4
    LPFR

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Bonjour et bienvenu au forum.
    Vous avez raison de vous poser la question.
    Je vous suggère de lire cet exemple qui concerne l'utilisation des grandeurs complexes en électricité. Il est valable pour tous les autres domaines de la physique où on utilise des grandeurs complexes.
    Au revoir.

  6. #5
    invite34596000666

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par DarK MaLaK Voir le message
    Pour les ondes planes progressives monochromatiques, on transforme les équations de Maxwell pour y faire apparaître le nombre i. Et quand on termine les calculs, avec la formule d'Euler, on réécrit le résultat mais on enlève la partie imaginaire i*sin(x). Comment se fait-il qu'on ait le droit de le faire ? Que fait-on de la partie imaginaire ?
    Tu l'as dit dit toi-même : dans ce cas, ce n'est qu'une commodité de calcul. Tu peux faire tout avec des champs électrique et magnétique réels en sin(omega*t-k*r).
    C'est un « truc » usuel avec n'importe quel phénomène oscillant.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Coincoin

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Salut,
    En quoi les nombres réels sont-ils plus réels que les nombres complexes (mis à part le nom bien sûr) ?
    Encore une victoire de Canard !

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  10. #7
    mariposa

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par DarK MaLaK Voir le message
    Bonjour, depuis quelques mois déjà, je me pose une question, à propos des nombres complexes en physique. J'ai remarqué qu'ils étaient très utilisés pour décrire des phénomènes réels, comme en électricité ou en électromagnétisme. J'ai bien vu, comme me l'ont dit mes professeurs, que c'est un outil qui simplifie de manière significative les calculs.

    Cependant, je me demande pourquoi les nombres complexes peuvent être utilisés en physique. Comment se fait-il, par exemple, que l'on puisse parfois tout calculer avec les nombres complexes et dire que le résultat est la partie réelle ? J'ai toujours vu les nombres complexes comme des nombres basés sur l'imagination et donc purement mathématiques. Mon questionnement est donc peut-être dû à une méconnaissance de leur véritable nature.

    Donc ce que je voudrais savoir, c'est : comment se fait-il que l'on puisse utiliser des nombres complexes dans des équations qui décrivent la réalité (comme les équations de Maxwell pour les ondes)?

    Merci d'avance pour vos réponses.
    Le corps des nombres complexes peut s'identifier au plan euclidien. Ce qui veut dire qu'un problème de géométrie peut se traduire en un problème algébrique.

    Les nombres complexes possèdent l'addition à laquelle correspond l'addition des vecteurs. de même les nombres complexes possèdent une règle de multiplication qui correspond à l'addition des angles.

    De même un signal périodique sont une périodique T est "équivalente" à une trajectoire fermée sur le plan euclidien. ce qui renvoie à la représentation des signaux par des nombres complexes.

    On fait la même chose avec le corps des quaternions qui sont des nombres complexes de nombre complexes. Ces derniers s'identifient à la sphère. On peut ainsi transposer un problème géométrique de la sphère dans une version algébrique.

  11. #8
    humanino

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Bonjour,

    la reponse attendue n'est-elle pas simplement "parce que les equations sont lineaires" ?
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

  12. #9
    DarK MaLaK

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    L'ensemble des nombres complexes est un espace vectoriel semblable à R² mais avec ses opérations propres ?

  13. #10
    mariposa

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par humanino Voir le message
    Bonjour,

    la reponse attendue n'est-elle pas simplement "parce que les equations sont lineaires" ?
    Bonjour,

    je ne pense pas. Si tu as une équation non linéaire du style:

    dA/dt + A = A2 = F(t)

    Le terme en A2 va générer des harmoniques qui sont des élévations de puissance:

    A =|A| exp(i.teta) entraine

    A2 = |A|2. exp(2.i.teta)

    Plus généralement si F(t) est une somme de signaux périodiques de différentes fréquences le terme en A2 va se comporter comme des combinaisons de fréquence que les nombres complexes gèrent par l'opération de multiplication.

  14. #11
    invité576543
    Invité

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par humanino
    la reponse attendue n'est-elle pas simplement "parce que les equations sont lineaires" ?
    Bien possible, alors je développe...

    Citation Envoyé par DarK MaLaK Voir le message
    Comment se fait-il qu'on ait le droit de le faire ? Que fait-on de la partie imaginaire ?
    Ce n'est pas une question de "droit". C'est une méthode pour trouver d'un seul coup deux solutions à une équation.

    La partie réelle est une solution, et la partie imaginaire une autre solution.

    Le cas de base est l'équation d²x/dt² = -x.

    cos(t) et sin(t) sont toutes deux solutions. En travaillant dans les complexes, on a comme solution particulière eit, dont la partie réelle et la partie imaginaire sont les deux solutions réelles citées.

    Ensuite, l'équation étant linéaire, l'ensemble des solutions est composé des combinaisons linéaires de deux solutions indépendantes. Or on les a sous la main, les solutions sont donc , avec a et b deux réels quelconques. Or cela peut aussi être obtenu comme la partie réelle (ou la partie imaginaire) de zeit avec z un complexe quelconque. Comme l'une ou l'autre des parties réelle ou imaginaire donne toutes les solutions, on en prend une (mais l'autre aurait tout aussi bien fait l'affaire).

    Si on cherche un peu plus loin ce qu'il se passe, il faut regarder les équations différentielles réelles linéaires en général. La méthode de résolution passe par trouver les racines d'un polynôme (X²+1 dans le cas précédent). L'intérêt de C est que tout polynôme peut être entièrement factorisé en termes de degré 1, ce qui permet de résoudre complètement l'équation différentielle.

    Ainsi très souvent (pas toujours), le passage dans C vient d'équations différentielles linéaires, très courantes en physique, et du fait que C est la fermeture algébrique de R, c'est à dire le plus petit corps contenant R et où tous les polynômes à coefficients réels ont toutes leurs racines.

    Cordialement,
    Dernière modification par invité576543 ; 28/02/2009 à 17h48.

  15. #12
    DarK MaLaK

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Merci à tous pour vos réponses qui m'ont éclairé et plus particulièrement à Michel (mmy) pour son dernier exemple. Je vais continuer à apprendre mes cours et si j'ai de nouveau des problèmes avec les complexes, je m'adresserai à vous !

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  17. #13
    planck

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    du fait que C est la fermeture algébrique de R, c'est à dire le plus petit corps contenant R et où tous les polynômes à coefficients réels ont toutes leurs racines.
    Tout, tout petit point de détail, il me semble que définir la clôture algébrique comme "le plus petit corps ..." n'est pas très heureux, ça laisse croire qu'il existe des corps plus gros que ayant les mêmes propriétés; or, si je ne m'abuse, une (la) clôture algébrique est unique à isomorphisme près (Steinitz).
    Enfin, c'est vraiment parce que j'étais d'humeur pinailleuse ce soir

    Bien cordialement

  18. #14
    humanino

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par planck Voir le message
    Tout, tout petit point de détail, il me semble que définir la clôture algébrique comme "le plus petit corps ..." n'est pas très heureux, ça laisse croire qu'il existe des corps plus gros que ayant les mêmes propriétés; or, si je ne m'abuse, une (la) clôture algébrique est unique à isomorphisme près (Steinitz).
    Qu'en est-il du corps des quaternions ? Et de toutes les extensions de corps imaginables que l'on peut construire de C ?
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

  19. #15
    planck

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par humanino Voir le message
    Qu'en est-il du corps des quaternions ? Et de toutes les extensions de corps imaginables que l'on peut construire de C ?
    À ma connaissance, la notion d'extension de corps n'est développée que dans le cadre des corps commutatifs (la notion d'élément algébrique intervient dans le chapitre sur les corps commutatifs dans Bourbaki, idem sur http://www.les-mathematiques.net/b/b/a/node2.php3).
    En l'occurrence il est bien connu que les quaternions ne sont pas commutatifs!

    Après, il est peut être possible de développer une théorie semblable sur les corps non commutatifs, mais je n'en ai en tout cas jamais entendu parler...

    Du coup je sais même pas si on peut dire que les quaternions sont une extension de corps de (même si bien évidemment ils le contiennent!)

  20. #16
    invité576543
    Invité

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par planck Voir le message
    Du coup je sais même pas si on peut dire que les quaternions sont une extension de corps de (même si bien évidemment ils le contiennent!)
    Le seul fait que le corps des quaternions contient C justifie la phrase que j'ai choisie, non? En la relisant soigneusement, mot à mot, je ne vois pas où il y a matière à pinailler, donc je contre-pinaille.

    Cordialement,

  21. #17
    planck

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Bah, ce qui me faisait un peu tiquer, c'est le "c'est-à-dire le plus petit corps..."
    En lisant, j'ai l'impression que tu prends cela comme une définition. Or, tu aurais dit "c'est-à-dire le plus grand corps contenant vérifiant...", ça aurait aussi été vrai, puisque la clôture algébrique est unique (à isomorphisme près). Je trouvais juste que ta manière de s'exprimer laissait penser à une définition, mais elle m'apparaît plus comme une propriété. Je viens de vérifier, dans Bourbaki (c'est vrai que quand j'ai des doutes, j'aime bien aller voir ce qu'ils racontent), ils définissent une clôture algébrique d'un corps K comme une extension (quelconque) de K algébrique et algébriquement close. Puis on prouve (Steinitz) qu'elle est unique à K-isomorphisme près, donc en ce sens là, on est d'accord que ça va être la plus petite extension.... mais aussi la plus grande... Enfin, il me semble, je peux me tromper (même si je vois pas où ce serait le cas en l'occurrence).

    C'était juste ça, et encore une fois, oui c'est du pinaillage complet

  22. #18
    invite21348749873
    Invité

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Bonjour
    je me suis bien entendu déja fait ctte réflexion mille fois comme vous.
    Des nombres "imaginaires " qui décrivent la réalité, c'est presque de la sorcellerie, non?
    en fait la ficelle, si on peut dire est assez grosse.
    Tous les phénomènes périodiques sinusoïdaux peuvent etre décrits comme le mouvement de la projection d'un point qui se déplace sur un cercle, à la vitesse angulaire oméga, pulsation de la grandeur étudiée.
    La position du point M sur ce cercle peut etre définie par le vecteur OM et ce vecteur peut etre associé à deux nombres, ses composantes a et b.
    Et ces composantes associées au nombre complexe a+jb ( j racine de-1)
    En manipulant des nombres complexes, on décrit des positions sur des cercles.
    En fait on ne se sert que d'une moitié de ces fameux nombres pour revenir au"réel".
    En electricité ou les grandeurs sinusoïdales sont si importantes , l'emploi des complexes est quasi inévitable.
    Mais on pourrait tre bien s'en passer, au prix de tres longs calculs.

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  24. #19
    invité576543
    Invité

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par planck Voir le message
    Bah, ce qui me faisait un peu tiquer, c'est le "c'est-à-dire le plus petit corps..."
    (...) Or, tu aurais dit "c'est-à-dire le plus grand corps contenant vérifiant...", ça aurait aussi été vrai
    Non, suffit de relire la phrase.

    En lisant, j'ai l'impression que tu prends cela comme une définition.
    Faut prendre les choses dans le contextes, ce n'est pas le forum "mathématiques supérieures". Mon but était de faire passer l'idée, pas d'écrire un bouquin de maths.

    Cordialement,

  25. #20
    mtheory

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par DarK MaLaK Voir le message

    Cependant, je me demande pourquoi les nombres complexes peuvent être utilisés en physique. Comment se fait-il, par exemple, que l'on puisse parfois tout calculer avec les nombres complexes et dire que le résultat est la partie réelle ? J'ai toujours vu les nombres complexes comme des nombres basés sur l'imagination et donc purement mathématiques. Mon questionnement est donc peut-être dû à une méconnaissance de leur véritable nature..
    Bonjour,

    Je te conseille la lecture de

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    Descriptions du produit
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    Voici un véritable tour de force. Cet ouvrage constitue la présentation la plus éclairante à ce jour de tous les outils dont se sert la science pour élucider le monde. Roger Penrose retrace ainsi la découverte de tout ce dont la physique moderne ne peut se passer : les nombres réels et complexes, les logarithmes, les exponentielles, le calcul intégral, l'algèbre linaire, etc. Mais il ne s'arrête pas à ce voyage au pays des nombres. Il discute toutes les théories de la physique moderne et donne sa vision de questions fondamentales comme l'origine de la flèche du temps, la seconde loi de la thermodynamique ou la mesure en physique quantique ; il s'explique enfin avec la théorie des cordes, dont il montre les limites. Peu de livres, partant du plus simple pour élever le lecteur à de rares hauteurs, donnent avec autant de souffle confiance dans le pouvoir explicatif de la science. De quoi donner envie au débutant de se lancer dans les arcanes de la physique ; de quoi alimenter la réflexion des spécialistes : la future bible de la physique du XXIe siècle !

    Biographie de l'auteur
    Sir Roger Penrose est professeur à l'Université de Cambridge. Il est célèbre notamment pour sa théorie des twisteurs et ses contributions à la relativité générale et à la cosmologie. Il a notamment publié L'Esprit, l'ordinateur et les lois de la physique, Les Ombres de l'esprit, La Nature de l'espace et du temps (avec S. Hawking) et Les Deux Infinis et l'esprit humain.
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  26. #21
    invité576543
    Invité

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par Arcole Voir le message
    Mais on pourrait tre bien s'en passer, au prix de tres longs calculs.
    La liste de ce dont on pourrait très bien se passer, au prix de très longs calculs, est très grande. Pourtant, on ne s'en passe pas, et ce qu'il faut expliquer c'est pourquoi on préfère ne pas s'en passer!

    Des nombres "imaginaires " qui décrivent la réalité,
    Personnellement, je pense qu'aucun concept mathématique ne décrit la réalité, pas plus les complexes que les réels, espaces vectoriels, variétés, équations différentielles, et tout le toutim.

    Je les mets tous dans le même sac : des modèles mathématiques permettant de faire de la déduction en appliquant des méthodes de calcul, dont le rapport avec la "réalité" ne va pas plus loin que l'efficacité déductive.

    Je pense que le "sentiment de sorcellerie" vient d'ailleurs. La notion de réel par exemple colle bien avec l'intuition, avec la modélisation cérébrale innée et non rationalisée qui nous vient de notre nature humaine. Alors que les complexes ne rentrent pas dans ce cadre; d'où le besoin de traduire en image, comme un plan ou la projection d'un cercle.

    Cette grille d'analyse rend compte de pas mal d'autres "difficultés" récurrentes dans les discussions "grand public" en physique, sur ce forum ou ailleurs, comme la difficulté avec les espaces non euclidiens, avec la non additivité des vitesses ou la relativité de la simultanéité en RR, ou la superposition quantique. Dans tous les cas, c'est l'intuition qui est "troublée", sans que les outils mathématiques y soient pour quoi que ce soit.

    Cordialement,

  27. #22
    DarK MaLaK

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par Arcole Voir le message
    Bonjour
    je me suis bien entendu déja fait ctte réflexion mille fois comme vous.
    Des nombres "imaginaires " qui décrivent la réalité, c'est presque de la sorcellerie, non?
    en fait la ficelle, si on peut dire est assez grosse.
    Tous les phénomènes périodiques sinusoïdaux peuvent etre décrits comme le mouvement de la projection d'un point qui se déplace sur un cercle, à la vitesse angulaire oméga, pulsation de la grandeur étudiée.
    La position du point M sur ce cercle peut etre définie par le vecteur OM et ce vecteur peut etre associé à deux nombres, ses composantes a et b.
    Et ces composantes associées au nombre complexe a+jb ( j racine de-1)
    En manipulant des nombres complexes, on décrit des positions sur des cercles.
    En fait on ne se sert que d'une moitié de ces fameux nombres pour revenir au"réel".
    En electricité ou les grandeurs sinusoïdales sont si importantes , l'emploi des complexes est quasi inévitable.
    Mais on pourrait tre bien s'en passer, au prix de tres longs calculs.
    On peut représenter les phénomènes périodiques sinusoïdaux par un vecteur partant du centre d'un cercle. Or cette représentation est également employée pour les nombres complexes. De là on peut conclure que les nombres complexes peuvent représenter ces phénomènes?

    De plus, on dit que j²=-1, mais pourquoi dire que j=racine de -1 plutôt que j=-racine de -1 ?

    Une autre question me vient à l'esprit : en cours nous avons utilisé la transformée de Laplace pour simplifier certains calculs. En utilisant p comme variable, on trouve par exemple que l'impédance d'une bobine est Lp. Ensuite, on dit que pour les régimes harmoniques p=jw (oméga) et donc on trouve jLw. Mais si on n'était pas dans ce type de régime, la formule pour l'impédance d'une bobine ne serait plus valable?

  28. #23
    mariposa

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par DarK MaLaK Voir le message
    On peut représenter les phénomènes périodiques sinusoïdaux par un vecteur partant du centre d'un cercle. Or cette représentation est également employée pour les nombres complexes. De là on peut conclure que les nombres complexes peuvent représenter ces phénomènes?
    Il semble que tu n'ai pas lu mon post #6

    Je redis la même chose avec quelques différences.

    Un phénomène périodique s'écrit:

    A(t) = A.cos (w.t + phi)

    dans l'ensemble des signaux périodiques à w fixé un signal est déterminé par deux nombres: l'amplitude et la phase.

    On peut faire correspondre a ce signal un point de coordonnées (a,b) de l'espace euclidien par les relations:

    tang phi = b/a

    A = Racine (a2 + b2)

    A partir de ce point de coordonnée (a,b) on peut construire un nombre complexe a +j.b qui obéit à la structure mathématique de corps (cad que l'on définit 2 lois de compositions que l'on appelle addition et multiplication).

    Le résultat de tout çà est que l'on peut associer a un signal (A,phi) un nombre complexe.

    L'addition des signaux est en correspondance avec l'addition des nombres complexes.

    La translation temporelle d'un signal (déphasage) est en correspondance avec la multiplication des nombres complexes.

    De plus, on dit que j²=-1, mais pourquoi dire que j=racine de -1 plutôt que j=-racine de -1 ?
    C'est justement la géométrie qui permet de comprendre cela d'une manière évidente.

    Tu passes du nombre complexe 1 cad point de coordonnée (1,0) au nombre complexe j cad point de coordonnée (0,1).

    cela correspond à la fois à la multiplication des nombres complexes car:1.j = J et à une rotation de PI/2.

    Maintenant si l'on fait une rotation de PI on passe du point (1,0) au point (-1,0) et donc en nombre complexe on aura:

    1.j.j = -1 (Produit de 2 rotations de Pi/2 c'est 2 multiplications par j)

    D'où la conclusion que:

    j = Racine de (-1).

    En physique l'intérêt des nombres complexes est de mettre en rapport ("bijection") la géométrie (ici le plan euclidien) et l'algèbre (ici l'algèbre des nombres complexes).

  29. #24
    invité576543
    Invité

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par DarK MaLaK Voir le message
    De plus, on dit que j²=-1, mais pourquoi dire que j=racine de -1 plutôt que j=-racine de -1 ?
    Bonne question, posée de temps en temps. Réponse : parce que cela revient strictement à la même chose.

    On ne devrait pas dire "i (ou j) est la racine de -1", mais "i est une racine de -1". Une racine, n'importe laquelle, le choix ne change strictement rien, la seule chose importante est qu'on ne mélange pas les deux choix.

    Cordialement,

  30. Publicité
  31. #25
    mariposa

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Bonne question, posée de temps en temps. Réponse : parce que cela revient strictement à la même chose.

    On ne devrait pas dire "i (ou j) est la racine de -1", mais "i est une racine de -1". Une racine, n'importe laquelle, le choix ne change strictement rien, la seule chose importante est qu'on ne mélange pas les deux choix.

    Cordialement,
    Bonjour Michel

    Les 2 racines ne sont pas équivalentes.

    J représente une rotation dans le sens trigonométrique de PI/2.

    -j représente une rotation de -Pi/2.

    Cela est bien sûr incontournable mathématiquement mais important physiquement:

    l'impédance d'une self c'est R + j.L.w ce qui signifie que le courant est en retard (relativement au mouvement trigonométrique) par rapport à la tension.

  32. #26
    invité576543
    Invité

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Les 2 racines ne sont pas équivalentes.
    Tu aura bien du mal à le montrer! Mathématiquement, le changement i en son inverse est un automorphisme de C, ce qui est la même chose que dire qu'elles sont équivalentes.

    J représente une rotation dans le sens trigonométrique de PI/2.
    Le sens trigonométrique est un choix (une convention), de même qu'associer le signe + aux rotations dans le sens trigonométrique. Toutes les possibilités sont équivalentes.

    Qui plus est on ne peut pas définir le sens trigonométrique en se limitant aux concepts du plan.

    En pratique on le fait en 3D, en choisissant un trièdre direct et en l'utilisant pour définir le sens de rotation "positif" dans un plan.

    Une manière amusante de voir cela consiste à imaginer une classe avec une vitre au milieu, des élèves de chaque côté de la vitre, et le professeur dessinant les figures géométriques sur la vitre comme sur un tableau. La difficulté pour définir le sens trigonométrique devient évidente!

    Qu'on puisse définir un trièdre direct sans difficulté (choix d'orientation 3D) vient du fait que les mouvements physiques sont limités aux rotations de l'espace : aucun moyen de changer l'orientation d'un objet. C'est bien pratique!

    Une fois de plus ce qui compte, c'est la cohérence. A savoir définir un trièdre direct, définir un sens trigonométrique (i.e., pour quelqu'un regardant le plan, passage en 3D) et finalement la relation entre i (la racine choisie) et le sens trigonométrique. Et se tenir à ces conventions de manière à ce qu'on puisse communiquer sur le sujet.

    Cela est bien sûr incontournable mathématiquement


    Cordialement,
    Dernière modification par invité576543 ; 01/03/2009 à 13h32.

  33. #27
    mariposa

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Tu aura bien du mal à le montrer! Mathématiquement, le changement i en son inverse est un automorphisme de C, ce qui est la même chose que dire qu'elles sont équivalentes.



    Le sens trigonométrique est un choix (une convention), de même qu'associer le signe + aux rotations dans le sens trigonométrique. Toutes les possibilités sont équivalentes.

    Qui plus est on ne peut pas définir le sens trigonométrique en se limitant aux concepts du plan.

    En pratique on le fait en 3D, en choisissant un trièdre direct et en l'utilisant pour définir le sens de rotation "positif" dans un plan.

    Une manière amusante de voir cela consiste à imaginer une classe avec une vitre au milieu, des élèves de chaque côté de la vitre, et le professeur dessinant les figures géométriques sur la vitre comme sur un tableau. La difficulté pour définir le sens trigonométrique devient évidente!

    Qu'on puisse définir un trièdre direct sans difficulté (choix d'orientation 3D) vient du fait que les mouvements physiques sont limités aux rotations de l'espace : aucun moyen de changer l'orientation d'un objet. C'est bien pratique!

    Une fois de plus ce qui compte, c'est la cohérence. A savoir définir un trièdre direct, définir un sens trigonométrique (i.e., pour quelqu'un regardant le plan, passage en 3D) et finalement la relation entre i (la racine choisie) et le sens trigonométrique. Et se tenir à ces conventions de manière à ce qu'on puisse communiquer sur le sujet.



    Cordialement,

    Il me semble que l'on ne parle pas de la même chose.

    Certes Le sens trigonométrique est arbitraire. On le définit comme le sens contraire des aiguilles d'une montre. Le problème n'est pas là.

    Sur ce quoi j'insiste est que les 2 racines de (-1) soient j et -j représentent 2 rotations d'angles opposés '(et donc différentes).

    D'ailleurs j.(-j) = 1 l'opération identité pour la multiplication des nombres complexes.

    J'en profite pour un faire un commentaire. En identifiant nombres complexes à la géométrie euclidienne plane cela permet d'identifier par généralisation d'identifier les quaternions à la sphère et au-delà pour des espaces de dimensions quelconques d'introduire les algèbres de Clifford, tout cela en perspectives d'utiliser ceci en physique. Par contre je ne prononcerais pas sur le point de vue des mathématiciens.

  34. #28
    invité576543
    Invité

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Sur ce quoi j'insiste est que les 2 racines de (-1) soient j et -j représentent 2 rotations d'angles opposés '(et donc différentes).
    Tu as raison d'insister sur le fait qu'elles sont distinctes. C'est évidemment essentiel, de même que distinguer deux sens de rotation opposés est essentiel.

    Mais que ce soit i et -i ou -i et i est absolument impossible à distinguer. Ce qui est défini correctement c'est l'ensemble de deux racines distinctes et que l'une est l'opposé de l'autre, c'est tout (et cela suffit).

    De l'autre côté, je me permet d'insister sur la non distinguabilité entre les conventions. C'est en fait une jauge discrète des théories de la physique, et il est utile de vérifier que changer i en -i (et les conventions binaires qui vont avec) ne change rien aux solutions trouvées.

    Je ne connais pas d'exception à cela. Dans une discussion ancienne similaire, quelqu'un avait cité l'équation de Schrödinger, mais l'analyse plus poussée a montré que l'ensemble des solutions de l'équation est bien invariant par le changement de i en son inverse, même si l'équation elle-même n'est pas invariante.

    Cordialement,

  35. #29
    DarK MaLaK

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Merci pour ces nouvelles précisions. Et merci également à mtheory : je vais acheter cet ouvrage dès la semaine prochaine !

  36. #30
    invite21348749873
    Invité

    Re : Les nombres complexes dans la physique

    Je pense que vous avez compris ce que je voulais dire...
    Le fait que les mathématiques puissent avoir un pouvoir prédictif en ce qui concerne les évenements de la nature m'a toujours émerveillé et le mot " sorcellerie" est à peine exagéré.
    Que le réell soit compréhensible et prédictible est un mystère pour moi.
    Concernant les nombres complexes échppant à l'intuition, admettez qu'un nombre dont le carré est négatif puisse nous donner du fil à retordre, quand il s'agit de se le représenter.
    Je suis d'accord avec vous pour constater que notre "programmation" spatio- temporelle est choquée par les postulats de la RR et s'accomode bien mieux d'Euclide et de Newton.
    Il doit y avoir une explication biologique à celà.

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