Question Géodésique - Physique

[Lulu1511]

Bonjour à tous,

J’espère que vous allez bien,

J’ai une question au sujet des géodésiques.

Nous savons qu’un Géodésique d’après son équation permettant de calculer son mouvement :

Pièce jointe 492817

Avec, pour résultat, une variation nul de son mouvement :

Pièce jointe 492816

Ce qui veut donc dire que, dans l’espace cette objet, ira droit avec aucune variation de son temps propre, de son mouvement et de sa vitesse.

En viens ma question : Cela veut donc-t-il dire que cette objet, allant tout droit, peut être attirer par un corps plus massif que ce dernier ?

Je suppose que oui, mais j’aimerais tout de même en avoir le cœur net en me concertant avec vous, pour que vous puissiez me donner une explication et une confirmation.

Excusez-moi par avance si cette question peut vous paraître bête ou si des choses son inexactes dans ce message.

Bien cordialement,

PERRIN Lucas
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[mach3]

Les géodésiques sont les lignes d'univers que suivent des particules tests (=de masse suffisamment faible pour avoir un impact négligeable sur la géométrie) ne subissant aucune accélération propre (=pas de force qui s'applique hormis des forces fictives dites d'entrainement ou d'inertie (*)). Dit autrement, il s'agit de mouvements de "chute libre", donc "attirés"(**) par les masses (entre-autre) à l'origine de la géométrie de l'espace-temps.

Pour une géodésique, la dérivée covariante de la 4-vitesse dans la direction de la 4-vitesse est nulle.
La 4-vitesse, c'est un vecteur tangent à une ligne d'univers dont la norme vaut 1 (ou c, cela dépend de conventions peu importantes ici)
La dérivée covariante d'un champ de vecteur u dans la direction d'un vecteur v, c'est :
- prendre le vecteur du champ u au point O qu'on considère, appelons le u0
- faire glisser u0 parallèlement à lui-même le long du vecteur kv (avec k un réel)
- faire la différence entre le vecteur u situé point A tel que OA=kv et le vecteur u0 qu'on a déplacé de O vers A
- diviser cette différence par k
- faire tendre k vers 0
La dérivée covariante de la 4-vitesse, c'est donc faire glisser un petit bout de ligne d'univers sur lui-même pour voir s'il se superpose à lui-même ou pas. S'il se superpose parfaitement, alors c'est "droit", c'est géodésique. Si ça ne se superpose pas, alors l'écart indique l'accélération propre, ce qui mesure un accéléromètre.

Quand on définit une base pour les espaces vectoriels tangents (qui contiennent les vecteurs), et donc des composantes pour ces vecteurs (v mu), on peut alors formuler la dérivée covariante en terme de relation entre les composantes et les dérivées de ces composantes par rapport au temps propre.
Interviennent alors les symboles de Christoffel (les Gamma alpha mu nu) qui sont des termes correctifs qui apparaissent systématiquement quand il y a courbure (et occasionnellement quand il n'y en a pas, en fonction du système de coordonnées choisi).
La dérivée covariante des composantes d'un vecteur, c'est la dérivée "normale" de ces composantes + des termes correctifs qui sont le produit des symboles de Christoffel avec les composantes.
Quand la dérivée covariante est nulle, alors il y a relation directe entre la dérivée normale des composantes et les termes correctifs, c'est la première formule que tu as mise en pièce jointe.

Je conseille la lecture de Gravitation de Misner Thorne et Wheeler si tu lis l'anglais, ils détaillent et expliquent très bien tout cela.

m@ch3

*: en RG, la force de gravitation est fictive, tout comme la force centrifuge ou celle de Coriolis
**: comme la gravitation n'est plus une "vraie force" dans ce contexte, "attirer" peut prêter à confusion

[Lulu1511]

Bonjour à toi,

J’espère que tu vas bien mach3. Merci beaucoup pour ta réponse même si j’avoue avoir écorcher quelque passage mais au final j’ai un peu près compris. J’aurai jamais cru tomber sur des personnes comme vous. Toi et Deedee81 vous êtes super intelligent. J’ai juste une requête un peu particulière à te demander. Tou d’abord quelle est ta profession ? Puis ma requête est la suivante : J’aimerais en apprendre plus sur la physique et donc sur des sujets que tu as abordé. En plus de ton livre aurait tu des choses pour me faire progresser ou tout simplement que l’on discute sur ce forum. Merci en tout cas. Je ne sais point si ce sujet est fait parti de ta profession mais tu as un grand savoir a ce que je vois (Deedee81 aussi est super). Même si je n’ai que 13 ans j’aimerais en apprendre beaucooooup plus sur ce domaine et donc pourrait tu m’aider ? Pour finir comment tu t’appelle et ou as tu appris tout cela ? Je suis ébahit, je suis très respectueux !

Bien cordialement,

PERRIN Lucas

[mach3]

Je ne vais pas répondre ici aux questions personnelles (c'est hors-sujet, j'y repondrais éventuellement en mp), mais juste préciser que mon métier n'a rien à voir avec la relativité générale. Je suis juste un passionné qui l'apprend en autodidacte (j'ai vu un peu de relativité restreinte en 2e année de fac mais ça s'arrête là).

En plus du livre, je conseille la serie de vidéos de science4all sur la relativité (c'est de la vulga poussée, parfois c'est même technique), les vidéos des cours d'université de Richard Taillet (il y a une série sur la RR, une sur la RG et même une sur la cosmologie) bien que jes trouve un peu trop axés "coordonnées" et pas assez géométriques.
En écrit, il y a aussi le cours de Gourgoulon qui est pas mal je crois, mais je l'ai parcouru qu'en diagonal.
Gravitation, déjà conseillé, a le mérite d'introduire pas mal de notions mathématiques (tout ce qui concerne les tenseurs et qui est assez spécifique de la RG), mais il faut tout de même deja maîtriser les fonctions de base (trigo, exponentielle, logarithmes), les fonctions de plusieurs variables, les dérivées, les intégrales.

N'hésite pas à demander plus de précisions dans ce fil si besoin. N'hésite pas aussi à faire une recherche sur le forum, le sujet a déjà été abordé.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]