Usage en physique de la notion mathématique de géodésique

[invite6754323456711]

Bonjour,

Une géodésique de genre temps permet de définir le temps propre ?

Une géodésique de genre lumière permet d'introduire le postulat de la relativité les particules de masse nulle sont décrits par des courbes de la variété espace-temps dont les vecteurs tangents sont des vecteurs du cône isotrope (genre lumière) de la métrique g ?

Une géodésique de genre espace permet de définir la longueur propre ?

La simultanéité étant pourtant relative deux évènements séparés par un intervalle espace-temps de genre espace peuvent être joint par une et une seule géodésique de genre espace qui permet de définir la longueur propre ?

Patrick
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[invite6754323456711]

Bonjour,

Une géodésique de genre temps permet de définir le temps propre ?

Je ne vais pas réussir à chasser de mon inconscient cette confusion entre ligne d'univers et géodésique.

La question est plutôt la géodésique de genre temps permet-elle de généraliser le concept d'inertie ?


Idem

Une ligne d'univers permet d'introduire le postulat de la relativité : les particules de masse nulle sont décrits par des courbes de la variété espace-temps dont les vecteurs tangents sont des vecteurs du cône isotrope (genre lumière) de la métrique g ?


Au moins concernant le genre espace il n'y a plus de confusion possible pour cause la notion de ligne d'univers de s'applique pas.


La simultanéité étant pourtant relative deux évènements séparés par un intervalle espace-temps de genre espace peuvent être joint par une et une seule géodésique de genre espace qui permet de définir la longueur propre ?

Patrick

[invite6754323456711]

Idem

Une ligne d'univers permet d'introduire le postulat de la relativité : les particules de masse nulle sont décrits par des courbes de la variété espace-temps dont les vecteurs tangents sont des vecteurs du cône isotrope (genre lumière) de la métrique g ?

Même la le concept de ligne d'univers appliqué au photon peut être ambigu.

Peut on dire que ligne d'univers est un concept physique et géodésique un concept mathématique ?

Patrick

[invité576543]

La question est plutôt la géodésique de genre temps permet-elle de généraliser le concept d'inertie ?

Amha, Oui

Une ligne d'univers permet d'introduire le postulat de la relativité : les particules de masse nulle sont décrits par des courbes de la variété espace-temps dont les vecteurs tangents sont des vecteurs du cône isotrope (genre lumière) de la métrique g ?

Oui, en remplaçant "particules" par "trajectoire des particules", et en ayant en tête que les seules "particules" de masse nulle sont modélisables uniquement en méca quantique, et donc la notion de trajectoire est à prendre avec un grain de sel.

PS: Je ne vois pas cela comme le "postulat de la relativité", mais ça c'est affaire de goût ou de convention...

La simultanéité étant pourtant relative deux évènements séparés par un intervalle espace-temps de genre espace peuvent être joint par une et une seule géodésique de genre espace qui permet de définir la longueur propre ?

En RR oui. Je pense qu'en RG le 'une et une seule' est remplacé par 'au moins une', et que rien n'empêche qu'elles soient de longueurs différentes.

Peut on dire que ligne d'univers est un concept physique et géodésique un concept mathématique ?

Ca me paraît une bonne manière de présenter les choses.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6754323456711]

Bonjour,

Ce qui est "en propre" n'est pas relatif, par définition. Donc, je ne peux qu'être d'accord avec ce que tu écris, mais la différence recherchée entre spatial et temporel doit se situer ailleurs.
Il vaudra probablement mieux que je revienne sur ce sujet à une autre occasion, sur un autre fil.

Pour ne pas polluer par un hors sujet l'autre fil, j'ai repris ta question ici car c'est il me semble plus un problème d'interprétation.

Ma perception est que le temps propre et la longueur propre font sens en physique. La notion physique fondamentale est celle de temps ou de longueur propre plutôt que de distance.

Vouloir établir un lien entre le temps et espace est me semble t-il qu'un besoin purement mathématique pour passer d'un référentiel à un autre, mais cette relation ne correspond pas à un "être/concept" physique comme peut l'être le temps propre.

Patrick

[Les Terres Bleues]

c'est il me semble plus un problème d'interprétation.

Ma perception est que le temps propre et la longueur propre font sens en physique. La notion physique fondamentale est celle de temps ou de longueur propre plutôt que de distance.

Vouloir établir un lien entre le temps et espace est me semble t-il qu'un besoin purement mathématique pour passer d'un référentiel à un autre, mais cette relation ne correspond pas à un "être/concept" physique comme peut l'être le temps propre.

Bonjour,

On est en plein dans la question, et il me semble qu'il y a bien davantage qu'un problème d'interprétation, parce que ce que tu écris me paraît correspondre exactement à l'articulation habituellement admise entre mathématiques et physique.

Et en fait, c'est ça qui me dérange le plus. J'accepte toujours très mal l'introduction à la base théorique-même d'un univers où tout est relatif l'attribution d'un sens physique aux notions telles que la masse ou l'énergie au repos, le temps ou la longueur propres, les géodésiques de longueur nulle etc.

C'est plus fort que moi, je n'arrive pas à m'y faire. Mais je ne suis pas réfractaire aux tentatives d'explication que l'on peut me proposer.

Cordiales salutations.

[invite6754323456711]

J'accepte toujours très mal l'introduction à la base théorique-même d'un univers où tout est relatif

Bien justement tous n'est pas relatif dans la théorie de la relativité.

Par exemple la 4-vitesse d'une particule matérielle a été définie sans référence à un observateur ou un référentiel. Il s'agit d'une quantité absolue qui ne dépend que de la particule considérée.

Patrick

[Les Terres Bleues]

Bien justement tous n'est pas relatif dans la théorie de la relativité.

Par exemple la 4-vitesse d'une particule matérielle a été définie sans référence à un observateur ou un référentiel. Il s'agit d'une quantité absolue qui ne dépend que de la particule considérée.

Sans nécessairement partager ma difficulté, tu peux donc aisément comprendre que cela puisse me poser un "problème de fond".

Je vais essayer d'insérer une citation de Luxorion sur la quadri pour confirmer que j'ai (que je pense avoir) compris l'approche de la question,

De la même manière, en relativité restreinte on peut définir le vecteur quadri-vitesse d’un mobile. L’origine du repère est O tandis que l’origine de la trajectoire courbe est fixée arbitrairement par . La trajectoire du mobile a pour coordonnées spatio-temporelle 4 équations fonctions du temps propre t appelé “vieillissement” :

x ⁰ x¹ = X¹(t), y ⁰ x² = X²(t), z ⁰ x³ = X³(t), ct ⁰ x⁰ =X⁰ (t)

qui se décomposent en autant de coordonnées {xab}. L’intervalle d’espace-temps s’écrit alors :

ds² = c²dt² - ( dx² + dy² + dz² )

Connaissant l’origine O, le vecteur quadri-vitesse s’écrit :

U = dOE/dt

De même qu’en géométrie Newtonienne la vitesse V est tangente à la trajectoire du mobile, en relativité la quadri-vitesse est tangente à la ligne d’univers du mobile.

Les composantes du quadrivecteur dans cet espace vectoriel s’écrivent alors de façon contractée :

U = dx /dt avec = 1, 2, 3

La quadri-accélération G étant la dérivée de la quadri-vitesse U, autrement dit la dérivée seconde de l’intervalle d’espace-temps ds, on peut écrire de façon concise :

= dU /dt = d²x /dt²

C’est de cette manière qu’en dérivant le produit scalaire des vecteurs (U,U) par rapport à t on obtient la quantité vectorielle :

(U, ) = 0

Assurément ce résultat est correct, conforme au principe variationnel, car le fait que le champ c soit “statique” (au repos) ne change en rien le résultat, ce qui étonna Einstein; les conséquences de sa théorie dépassaient largement le cadre de la mécanique de Newton.

L’intérêt de ces définitions est de pouvoir s’adapter aux petites vitesses et de pouvoir interpréter les composantes de ^k dans le cadre de la cinématique Newtonienne. Autre avantage, intrinsèquement les composantes U et dépendent du repère choisi tandis que les vecteurs U et sont invariants.

et juste souligner que c'est précisément le caractère intrinsèque de certaines notions (ici, le temps propre) qui me laisse perplexe.

Cordiales salutations.

[invité576543]

Ma perception est que le temps propre et la longueur propre font sens en physique. La notion physique fondamentale est celle de temps ou de longueur propre plutôt que de distance.

Dans mes délires para-physiques personnels, je vois le temps propre comme une notion physique, mais pas la longueur propre.

La longueur propre a un gros défaut : elle demande une notion de simultanéité, et la simultanéité n'est pas très claire comme concept physique. C'était visible dans une discussion ancienne portant sur ce qu'il se passe lors d'une accélération de deux masses jointes par un fil.

Ensuite, il est facile de faire apparaître une notion de distance sans avoir besoin de longueur propre : suffit de prendre la différence entre deux vecteurs temps ou deux vecteurs de norme nulle.

J'ai l'intuition qu'on peut construire l'espace-temps avec seulement les vecteurs temps. Par exemple, la structure tri-dimensionnelle de l'espace peut se voir comme dérivant de la structure tri-dimensionnelle des vecteurs temps à partir d'un point, ou même de la structure tridimensionnelle des vecteurs de norme nulle.

Vouloir établir un lien entre le temps et espace est me semble t-il qu'un besoin purement mathématique pour passer d'un référentiel à un autre

Certainement pas. L'espace apparaît en liaison avec le temps dès qu'on a deux particules de q-vitesses non parallèles (la q-vitesse est un vecteur temps!). Cela n'a rien à voir avec les référentiels ou les changements de référentiels, qui ne sont que des outils mathématiques. Ce qui est en jeu est la relativité de la simultanéité.

Cordialement,

[Les Terres Bleues]

Donc, je ne peux qu'être d'accord avec ce que tu écris, mais la différence recherchée entre spatial et temporel doit se situer ailleurs.

Pour prolonger un peu la réflexion, ce que je cherchais à mettre en avant, c'est le fait qu'à travers l'invariant quadridimensionnel, on "valide" une métrique dans laquelle l'intervalle temporel est obligatoirement du signe opposé à celui de l'intervalle spatial.

Or, et cela a été déjà dit à plusieurs reprises, ce qui est du temps pour l'un est de l'espace pour un autre, et réciproquement. Du strict point de vue de la mesure de l'intervalle donc, il n'y a pas de différence entre les deux. Durée et longueur peuvent être interverties sans problème, et ne dépendre que de l'observateur.

Par contre, la spécificité du temps, c'est sa flèche, et elle exige le signe opposé à celui des dimensions spatiales. La conséquence en est une dissymétrie qui toutefois reste masquée dans le cas d'une signature appariée (-+, +- ou ++--, --++ etc.) mais qui apparaît clairement dans les autres cas de figure et notamment celui très concret de l'espace-temps à trois dimensions spatiales pour une seule temporelle.

Cordiales salutations.

[invité576543]

Or, et cela a été déjà dit à plusieurs reprises, ce qui est du temps pour l'un est de l'espace pour un autre, et réciproquement.

Cela a été écrit, certes. Et par une "autorité", je l'accorde.

Mais perso, je n'ai pas compris cette phrase, et je n'arrive pas du tout à l'accorder à la RR; et je ne vois pas trop le cas de la RG.

Durée et longueur peuvent être interverties sans problème, et ne dépendre que de l'observateur.

Cela me semble impossible en RR, parce que 3 est différent de 1.

Cordialement,

[Les Terres Bleues]

Cela a été écrit, certes. Et par une "autorité", je l'accorde.

J'adore cet humour adapté à chacun.

Mais perso, je n'ai pas compris cette phrase, et je n'arrive pas du tout à l'accorder à la RR; et je ne vois pas trop le cas de la RG.

Peut-être qu'avec un tout petit effort supplémentaire...

Cela me semble impossible en RR, parce que 3 est différent de 1.

Il ne s'agit pas à mon avis de permuter les trois dimensions spatiales avec une seule temporelle, mais bien de constater qu'en fonction du mouvement relatif de l'observateur par rapport à l'objet observé suivant l'une des quatre directions, l'une d'entre elles doit être vue comme temporelle et les autres spatiales. Laquelle ? C'est le mouvement qui le dit, pas une "nature intrinsèque" à l'objet.

Cordiales salutations.

[invité576543]

C'est le mouvement qui le dit, pas une "nature intrinsèque" à l'objet.

Ben si, quand même.

Parler d'un objet plutôt que d'un événement implique usuellement une direction d'invariance locale. Le mouvement (au sens de la RR, i.e., cela contient l'immobilité relative) et la nature de l'objet sont dual l'un de l'autre, se définisse l'un l'autre.

Un objet sphérique occupe une portion de l'espace-temps (un machin 4D) qui n'est pas une sphère. Connaissant la nature (sphère) on déduit de cette portion le mouvement, et connaissant le mouvement on reconnaît la forme. Et l'invariance (qui passe dans la portion d'une instance de la sphère à une autre) indique une direction temporelle.

Cordialement,

[Les Terres Bleues]

.
Je vais prendre un peu de temps pour bien penser à ton argumentation, mais d'ores et déjà, je voudrais dire qu'il me semble qu'il existe des objets considérés comme ponctuels, non ?
Et puis peut-être aussi, qu'une sphère 4D est avant tout une pseudo-sphère ?

Je cogite tout ça et je reviens,
Cordiales salutations.

[invité576543]

déjà, je voudrais dire qu'il me semble qu'il existe des objets considérés comme ponctuels, non ?

Oui, mais dans l'espace-temps, cet objet se présente comme une ligne.

Et puis peut-être aussi, qu'une sphère 4D est avant tout une pseudo-sphère ?

Je ne parlais pas d'une sphère 4D, mais d'un objet sphérique. Dans le langage courant, c'est un objet se présentant dans l'espace comme une sphére.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Certainement pas. L'espace apparaît en liaison avec le temps dès qu'on a deux particules de q-vitesses non parallèles (la q-vitesse est un vecteur temps!).

La ligne d'univers suivie par une particule est bien une courbe constituée par toutes les positions successives occupées par la particule. Tout autre particule suivra une ligne d'univers différente. La courbe est bien appelé ligne d'univers de la particule non ? Tout vecteur tangent à la ligne d'univers est du genre temps. On peut associer un temps propre (lié à la ligne d'univers) unique à la particule (de masse non nulle) qui fait que l'instant présent est défini pour un observateur donné.

Vouloir établir un lien entre les instants présents entre deux observateurs de vélocité différente ne peut être que mathématique sans sens physique non ?

Pour le cas de la simultanéité (genre espace) il faut synchroniser des horloges non ?


Patrick

[invité576543]

La ligne d'univers suivie par une particule est bien une courbe constituée par toutes les positions successives occupées par la particule. Tout autre particule suivra une ligne d'univers différente. La courbe est bien appelé ligne d'univers de la particule non ?

Pour pinailler (mais est-ce bien le cas), une ligne d'Univers n'est pas une suite de positions occupées par la particule. C'est une suite d'événements (points de l'espace-temps).

La nuance est qu'en se limitant aux événements, on ne sous-entend pas de feuilletage spatial, contrairement au mot "position".

Vouloir établir un lien entre les instants présents entre deux observateurs de vélocité différente ne peut être que mathématique sans sens physique non ?

Non. Si on prends deux particules en coïncidence (ou quasi en coïncidence), le lien entre les deux q-vecteurs tangents (des vecteurs temps) est schématiquement un angle. Et cet angle a un rapport étroit avec l'espace, et a un sens physique.

Ce que j'essayais d'exprimer est que les relations entre vecteurs temps suffisent à inférer l'espace.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Ce que j'essayais d'exprimer est que les relations entre vecteurs temps suffisent à inférer l'espace.

Le temps de dimension 1 se transformerait en espace de dimension 3 et réciproquement ?

Patrick

[invité576543]

Le temps de dimension 1 se transformerait en espace de dimension 3 et réciproquement ?

Les vecteurs temps. Ce qu'il faut réaliser est qu'en chaque événement il y une infinité de q-vecteurs temps. (Ils correspondent aux vitesses.)

Parler du temps, au singulier, c'est un peu comme parler d'une vitesse de 10 km/h. Ca masque la "direction".

Je me représente des temps, pluriel, parce que directions différentes.

Ce qui est commun entre des temps propres pour des trajectoires en coïncidence, c'est "seulement" l'unité, et la polarisation passé/futur (seulement entre guillemets, parce chacun de ces points communs à une signification physique profonde). C'est tout. A contrario, ils diffèrent par la direction.

Et les relations entre ces directions sont spatiales par nature, et, d'une certaine manière peuvent être vues comme définissant l'espace.

Ce qui est intéressant avec cette vue est qu'elle est locale. Alors qu'essayer de partir de l'espace et de voir "le temps" à travers le mouvement oblige à partir d'un feuilletage spatial, une notion non locale, et à bien regarder, arbitraire.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Les vecteurs temps. Ce qu'il faut réaliser est qu'en chaque événement il y une infinité de q-vecteurs temps. (Ils correspondent aux vitesses.)

C'est les vecteurs tangents aux lignes d'univers je suppose.

Je me représente des temps, pluriel, parce que directions différentes.

Oui, mais chacun d'eux est propre relativement à eux mêmes.


A l'origine il y a un artifice qui à consisté à transforme la dimension temps en dimension espace afin d'avoir un espace mathématique cohérent de dimension 4 cohérent.

donc mathématiquement

Et les relations entre ces directions sont spatiales par nature, et, d'une certaine manière peuvent être vues comme définissant l'espace.

C'est cela qui me pose problème. J'ai un ressenti que la transformation du temps en espace n'est pas anodine.


Patrick

[invite6754323456711]

C'est cela qui me pose problème. J'ai un ressenti que la transformation du temps en espace n'est pas anodine.

Aucune raison, c'est juste un choix d'unité, un choix arbitraire.

On à tout de même transformer un concept de temps en concept d'espace (sous variété) même si par convention d'unité on prend c = 1.

Puis de cela j'ai l'impression que l'on en fait plus cas.

Une variété de dimension 4 est un espace topologique E tel qu'en chacun de ses points, on peut définir un voisinage homéomorphe à un ouvert de R⁴. Cela ne contient-il pas implicitement cette transformation ?

Je n'ai apparemment pas encore franchi ce pas conceptuel d'équivalence entre le concept de temps et une sous variétés du concept d'espace. Pour moi c'est comme si c'était posé comme un postulat.

Patrick

[Les Terres Bleues]

Une variété de dimension 4 est un espace topologique E tel qu'en chacun de ses points, on peut définir un voisinage homéomorphe à un ouvert de R⁴. Cela ne contient-il pas implicitement cette transformation ?

Je n'ai apparemment pas encore franchi ce pas conceptuel d'équivalence entre le concept de temps et une sous variété du concept d'espace. Pour moi c'est comme si c'était posé comme un postulat.

S'il te plaît, ça me passionne mais si tu vas trop vite, je suis largué. Pour ne pas rester muet, je dirai juste que le terme de sous-variété possède une connotation dévalorisante. On doit peut-être alors compenser en se persuadant à l'inverse qu'il est possible de poser le concept d'espace comme dérivant (un sous-produit en quelque sorte) de celui de temps.
Est-ce que ça ne serait pas l'idée de Michel ?

Oui, mais dans l'espace-temps, cet objet se présente comme une ligne.

Et une ligne dont chaque point est défini par quatre composantes.
Alors, lesquelles doivent être considérées comme étant de "nature" spatiale et laquelle doit être considérée comme étant de "nature" temporelle ?
Dans l'absolu... on ne sait pas.
Par contre, le mouvement relatif de l'observateur et de l'observé permet de trancher, et l'une des quatre prend le signe opposé à celui des autres, parce que le temps possède une flèche mais les dimensions spatiales, non.

Je ne parlais pas d'une sphère 4D, mais d'un objet sphérique. Dans le langage courant, c'est un objet se présentant dans l'espace comme une sphére.

Oui, et seulement à partir du moment où son mouvement a permis de savoir quelles étaient les dimensions perçues comme spatiales par l'observateur, il a alors le droit d'employer le langage courant. Je veux dire que ce n'est qu'à partir de là que l'on sait distinguer entre temps et espace.
Que serait un volume qui ne durerait pas au moins un temps de Planck ?

Cordiales salutations.

[invité576543]

Alors, lesquelles doivent être considérées comme étant de "nature" spatiale et laquelle doit être considérée comme étant de "nature" temporelle ?
Dans l'absolu... on ne sait pas.

Pour les coordonnées, on ne sait pas.

Mais pour l'espace tangent, on sait: le tangent en tout point de la ligne est de genre temps (ou à la limite lumière).

La distinction entre espace et temps ne se fait pas sur les coordonnées, mais sur les vecteurs tangents.

Cordialement,

[invité576543]

C'est les vecteurs tangents aux lignes d'univers je suppose.

Oui

Oui, mais chacun d'eux est propre relativement à eux mêmes.

Chacun d'eux est.

A l'origine il y a un artifice qui à consisté à transforme la dimension temps en dimension espace afin d'avoir un espace mathématique cohérent de dimension 4 cohérent.

Non. A l'origine il y a le constat que l'espace-temps ne peut pas se décrire avec un temps absolu. Et c'est un constat physique.

D'ailleurs l'artifice n'est pas de transformer la dimension longueur en dimension durée, mais de transformer les deux en une dimension non nommée, qui s'interprète phénoménologiquement comme durée dans certains cas et longueur dans certains autres.

C'est cela qui me pose problème. J'ai un ressenti que la transformation du temps en espace n'est pas anodine.

Elle ne l'est pas. Mais je répète, le voir comme cela est biaisé.

Ce qui n'est pas anodin, c'est l'unification des dimensions durée et longueur en concept commun qui n'est ni la durée, ni la longueur.

Un exercice salutaire est de se forcer à voir l'approche biaisée réciproque : se dire que ce sont les longueurs qui ont été transformées en durées. Cela marche très bien.

(Et, pire, transformer les longueur en les multipliant par 1\rac(c) et les durées en les multipliant par rac(c); je te laisse étudier les dimensions )

Cordialement,

[invité576543]

Une variété de dimension 4 est un espace topologique E tel qu'en chacun de ses points, on peut définir un voisinage homéomorphe à un ouvert de R⁴. Cela ne contient-il pas implicitement cette transformation ?

Non, un homéomorphisme local ne parle que de topologie locale, rien d'autre.

Pour moi c'est comme si c'était posé comme un postulat.

Un postulat en physique, c'est juste une hypothèse fondatrice dont les implications sont conformes à l'expérience, aux observations.

On pose un postulat au sens du mot "supposer"; on le rejette si les implications ne sont pas conformes aux observations.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Ce qui n'est pas anodin, c'est l'unification des dimensions durée et longueur en concept commun qui n'est ni la durée, ni la longueur.

Si on adhère à cette démarche conceptuelle, l'espace et le temps apparaissent effectivement intimement lié.

Patrick

[invité576543]

Si on adhère à cette démarche conceptuelle

J'ai du mal à voir que faire de mieux qu'adhérer à cette démarche pour bien comprendre la RR et la RG!

Cordialement,

[invite6754323456711]

S'il te plaît, ça me passionne mais si tu vas trop vite, je suis largué.

Des schémas qui montrent simplement ces notions http://www.luth.obspm.fr/~luthier/go...er/relatM2.pdf

On doit peut-être alors compenser en se persuadant à l'inverse qu'il est possible de poser le concept d'espace comme dérivant (un sous-produit en quelque sorte) de celui de temps.
Est-ce que ça ne serait pas l'idée de Michel ?

[
Et les relations entre ces directions sont spatiales par nature, et, d'une certaine manière peuvent être vues comme définissant l'espace.

Cela ne découle t-il pas de la causalité, une propriété lié au temps et non à l'espace. Les vecteur temps de la ligne d'univers (objet espace-temps) on des directions distinctes qui sont une conséquence de la propriété de causalité (ou cours du temps ?) du temps ?

Patrick

[invité576543]

Des schémas qui montrent simplement ces notions http://www.luth.obspm.fr/~luthier/go...er/relatM2.pdf

Pour pinailler, la figure 2.1 est facilement interprétable comme indiquant qu'il existe un homéomorphisme local avec R⁴ en tant que structure affine euclidienne (à cause du quadrillage). C'est évidemment mathématiquement vrai (s'il existe un homéomorphisme avec R⁴, il s'applique quelle que soit la structure supplémentaire à la topologie), mais cela n'a pas nécessairement un sens physique.

C'est plus clair quand on réalise que la propriété d'homéomorphisme local ne demande que l'existence d'au moins un homéomorphisme, et non pas d'un homéomorphisme particulier. Il est alors important d'avoir conscience de l'ensemble des homéomorphismes locaux possibles. Toute fonction continue de R⁴ dans R⁴ permet de construire un nouvel homéomorphisme à partir d'un premier donné. Il faut réaliser que cela inclut par exemple des fonctions continues nulle part dérivables Ne parlons même pas de la structure euclidienne, qui n'est évidemment pas respectée par la majorité de ces fonctions continues!

Le risque aurait été moins grand en représentant sur le tore non pas un beau quadrillage bien lisse avec des beaux angles droits, mais un réseau de lignes tremblotantes et tordues dans tous les sens...

Cela ne découle t-il pas de la causalité, une propriété lié au temps et non à l'espace. Les vecteur temps de la ligne d'univers (objet espace-temps) on des directions distinctes qui sont une conséquence de la propriété de causalité (ou cours du temps ?) du temps ?

Je ne le vois pas ainsi. L'ensemble des directions temporelles dans le tangent est définissable sans choix d'une polarisation passé/futur, qui est ce que je comprends par "causalité".

Cordialement,

[invité576543]

Pour pinailler, la figure 2.1 est facilement interprétable comme indiquant qu'il existe un homéomorphisme local avec R⁴ en tant que structure affine euclidienne (à cause du quadrillage). C'est évidemment mathématiquement vrai (s'il existe un homéomorphisme avec R⁴, il s'applique quelle que soit la structure supplémentaire à la topologie), mais cela n'a pas nécessairement un sens physique.

Le texte du cours l'explique en clair par la suite, je me contentais de commenter la figure elle-même, pas le cours (que je ne fais que paraphraser).

Cordialement,