Usage en physique de la notion mathématique de géodésique

[invite6754323456711]

La métrique impose que la connexion respecte le cône de lumière, mais si la connexion tourne le cône, la métrique reste respectée, non?

Tel un ruban de Möbius ?

C'est la connexion qui est la cause de la torsion ? La connexion ne définit-elle pas juste la règle de passage de fibre en fibre ?


Patrick
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[invité576543]

si tu prends une connexion Gamma quelconque en A ainsi qu'une métrique G et que tu attribues la même métrique au point voisin B alors ton espace est plat puisque la métrique est la même et donc cela contraint Gamma= 0 cad que la dérivée covariante est égale à la dérivée partielle ordinaire.

(...)

Ma question est plus compliquée que cela. La connexion de Levi-Civita est unique une fois la métrique (le champ de métrique, en fait) donnée. Ca, je sais.

Mais en physique, la métrique est définie en un point qu'à une rotation spatiale près. Une métrique définie en chaque point seulement à une rotation spatiale près ne suffit pas à fixer une connexion unique.

Je ne sais pas trop si mon questionnement à un sens; vraisemblablement il ne reflète qu'un manque de compréhension.

Mais c'est avec ce genre de questions que je progresse...

Cordialement,

PS : Connexion de Levi-Civita, dérivée covariante, symboles de Christoffel, c'est la même chose vue sous différents angles. Comme on parlait de connexion, me semble plus simple de rester en terme de connexion.

[invite6754323456711]

Si on accepte qu'un tenseur 4x4x4x4 caractérise la "différence", alors on peut caractériser la courbure sans métrique.

A vous lire, toi et mariposa, j'ai l'impression que la notion de courbure n'a pas de définition claire.

Se généralise t-elle par la notion de fibrés ? Le fibré type considéré serait-il celui des transformations (rotation, translations, agrandissement, ...) ou de symétries d'objet appartenant à l'espace de base sur lequel il s'applique ?

Patrick

[invité576543]

A vous lire, toi et mariposa, j'ai l'impression que la notion de courbure n'a pas de définition claire.

Il y a effectivement plusieurs usages du mot "courbure". Mais en gros un seul "phénomène", les différentes "courbures" en étant diverses caractéristiques.

Se généralise t-elle par la notion de fibrés ?

Non. La notion de fibré est à la fois très simple et très sophistiquée.

Un fibré, c'est juste un ensemble d'ensembles tous de même structure, indexé par un troisième. Par exemple, on peut voir un tore comme un ensemble de cercles indexé par un cercle A. A chaque point du cercle A, est associée une "fibre", le cercle perpendiculaire. Dans ce cas, le plus usuel, le fibré est continu, et l'union de toutes les fibres fait un tore. Un cylindre peut être vu comme un fibré de lignes sur un cercle. Ou le contraire.

Le fibré tangent, c'est l'ensemble des espaces tangents indexé par un point de la variété : à chaque point de l'espace-temps tu associe l'espace vectoriel tangent en ce point. Par exemple, pour un cercle en 2D, le fibré tangent peut être vu comme l'ensemble des droites tangentes au cercle, indexé par le point de contact entre la tangente et le cercle.

Mais à partir de cette idée somme toute pas très compliquée se greffent tout plein de concepts (et le vocabulaire allant avec) rendant la notion de fibré très puissante.

Le problème, c'est que cela n'est enseigné que dans des formations spécialisées, ce n'est donc pas très connu (j'ai appris tout cela par moi-même!). Donc on s'en passe dans les discussions usuelles.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Non. La notion de fibré est à la fois très simple et très sophistiquée.

Un essai de vulgarisation http://perso.utinam.cnrs.fr/~viennot/Vgeom_fibre.htm d'où mes questions.

Patrick

[invité576543]

Je vais essayer de mieux comprendre le texte dans ta référence qui parle de courbure et de transformations...

Cordialement,

EDIT: J'ai ré-écrit le message, ça ne sert à rien les messages négatifs.

[invité576543]

J'ai lu et relu le passage, parce que la notion de fibré principal telle qu'elle y est décrite ne correspond pas à ce que je croyais en comprendre.

Mais après diverses vérifications, il me semble pouvoir conclure que c'est le texte qui est incorrect.

En particulier, la fibre d'un fibré principal n'est pas un groupe, mais un espace homogène principal pour ce groupe. Le groupe agit sur la fibre, ce n'est pas la fibre.

Dans le cas du fibré tangent, le groupe en question est le groupe de symétrie d'un espace tangent, le groupe de Lorentz dans le cas de l'espace-temps. Le fibré principal correspondant a pour fibre l'ensemble des repères "orthonormés", qui est espace homogène principal pour ledit groupe. Le groupe est celui des changements de repère, il fait passer d'un repère à un autre (et il est principal parce qu'il y a une correspondance univoque entre un élément du groupe et un élément de l'espace, ce qui, j'imagine, est ce qui amène la confusion entre l'espace et le groupe).

J'explique mal, j'imagine, mon point principal est que le texte cité en lien ne me semble pas en accord avec la littérature sur le sujet.

Cordialement,

[mariposa]

A vous lire, toi et mariposa, j'ai l'impression que la notion de courbure n'a pas de définition claire.

Dans le contexte de la géométrie différentielle la courbure est définie par une métrique

[Di, Dj] Vn = R (i,j,n), (m).Vm

V est un vecteur de l'espace tangent

D l'opérateur dérivée covariante (qui contient la métrique)

[ , ] est le commutateur.

R (i,j,n), (m) est le tenseur de Riemann Christofel

Par contraction sur (n,m) on obtient le tenseur de courbure R(i,j).

La courbure scalaire résulte de la contraction de G (i,j).Ri,j qui donne a un facteur 2 près la courbure gaussienne classique.

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Dans le cas d'une théorie de jauge U(1) sans métrique la courbure est donné par:

[Di,Dj] Fa= i.T(i,j).Fa

Fa est la fonction d'onde et T(i,j) la courbure cad le tenseur de Maxwell.

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Dans le langage de la géométrie différentielle la courbure est donnée par l'action du commutateur des dérivées covariantes sur chaque composante de l'espace vectoriel de la fibre.

[invité576543]

Sur le programme d'Erlangen, qu'on me permette d'aider en ajoutant quelques points, et en rephrasant. L'idée étant que deux manières de présenter quelque chose peut aider. (Et on trouvera encore d'autres manières, en cherchant sur le Web .)

le "programme d'Erlangen" est une idée de Félix Klein, consistant à réécrire toute la géométrie en termes de la théorie des groupes.

L'idée clé est qu'un espace géométrique, comme l'espace euclidien en deux dimensions de la géométrie plane usuelle, peut (et doit) être vu uniquement comme un espace homogène pour un groupe particulier.

Cela veut dire que les propriétés géométriques sont liées à un groupe qui agit sur l'espace géométrique (groupe tel que pour toute paire d'éléments (de points) de l'espace, il y a au moins un élément passant du premier point au second).

Par exemple, pour l'espace euclidien R², le groupe significatif est celui des isométries.

Un cran plus loin. R² est l'espace homogène principal pour un sous-groupe des isométries, à savoir les translations. "Principal" veut dire qu'il y a des relations un pour un entre l'espace et le groupe.

Par exemple dans R² euclidien, si on choisit une origine O, il y a une relation un pour un entre les points M et les translations, à savoir M <-> . Ce qui permet de "confondre" l'espace et le groupe homogène principal (ce qu'on fait avec un système de coordonnées). (Mais à cause du pluriel cette confusion est dangereuse. Dans le cas R² le pluriel correspond au choix, arbitraire, de O.)

Notons que le groupe tel que l'espace est homogène principal par ce groupe ne détermine pas la géométrie. C'est un groupe plus gros qui le fait (les isométries vs. les translations). Et on peut avoir différentes géométries avec un même "espace" au sens des translations, selon les propriétés du groupe plus gros.

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Le programme d'Erlangen implique que la géométrisation de la physique, un aspect important de l'évolution de la physique au XXème siècle, est la même chose que centrer la physique sur des groupes de symétries, et amène à voir le vocabulaire conceptuel de la théorie de groupes comme le langage "naturel" (pas au sens de celui de tout le monde ) de la partie géométrique de la physique.

Cordialement,

[invite6754323456711]

(et il est principal parce qu'il y a une correspondance univoque entre un élément du groupe et un élément de l'espace, ce qui, j'imagine, est ce qui amène la confusion entre l'espace et le groupe)

Peut on parler de difféomorphisme entre variété de base et la variété de l'espace fibré ? Au quel cas l'ensemble des difféomorphismes d'une variété différentiable M constitue un groupe pour la composition des applications.

La confusion vient de la phrase "la fibre type que l'on considère est en fait un espace de transformations ou de symétries"


Patrick

[invite6754323456711]

Dans le langage de la géométrie différentielle la courbure est donnée par l'action du commutateur des dérivées covariantes sur chaque composante de l'espace vectoriel de la fibre.

Permettrait-elle de traduire la courbure à tous les niveaux d'échelles ? La géométrie ne se pose t'elle pas à différents niveau : cosmologique (grande échelle), Local (le notre qui plus proche d'un espace euclidien) et microscopique (fluctuant ?) ?

Patrick

[invité576543]

Peut on parler de difféomorphisme entre variété de base et la variété de l'espace fibré ? Au quel cas l'ensemble des difféomorphismes d'une variété différentiable M constitue un groupe pour la composition des applications.

Je ne comprends pas la question. Le groupe des difféomorphismes, c'est très gros, guère moins que le groupe topologique.

La confusion vient de la phrase "la fibre type que l'on considère est en fait un espace de transformations ou de symétries"

oui. Mais j'ai vu les deux définitions.

Perso, pour la physique, cela me semble mieux de concevoir le fibré avec comme fibre une base d'espace vectoriel, plutôt qu'avec comme fibre une symétrie (= un changement de base respectant la structure), du moins quand cela s'applique.

Le problème de voir la fibre comme un groupe de transformations est que cela donne immédiatement au moins une section privilégiée, celle de l'identité, ce qui ne correspond que rarement à ce qu'on cherche à modéliser.

Par exemple, on peut voir un cylindre comme des cercles sur une droite, et comme fibré principal avec comme groupe agissant sur les cercles les rotations planes (U(1)). Voir le cercle comme le groupe U(1) amène tout de suite à voir le point "Identité" sur chaque cercle, ce qui détruit une symétrie du cylindre et modélise différemment.

Ceci dit, j'essaye de comprendre le texte au-delà de cette confusion. En particulier la notion de courbure sur tout fibré principal.

Cordialement,

[invite54165721]

Bonjour

Pour des vecteurs tangents du genre espace on a ds2 < 0. Il semblerait logique de dire que ds est un imaginaire pur plutot que de partir des vecteurs de type temps, de formuler leur ds avec une racine, une valeur absolue, dire pour le genre espace c'est la meme formule et aboutir au fait qu'on a des extrémas.
Y t il des formulations avec des actions imaginaires? (En cherchant rapidement surgoogle je suis tombé sur ceci http://rxiv.org/PS_cache/quant-ph/pd.../0304096v1.pdf de Michel Gondran
Je ne sais pas ce que ca vaut mais ca semble exister (sans doute sans beaucoup de succes)

[stefjm]

Ni l'un, ni l'autre.
Si l'idée est de considérer deux des dimensions comme "fondamentales", les trois choix sont possibles.
Je ne vois pas d'arguments rationnels permettant de choisir.

J'en vois peut-être un : La constance expérimentale d'une grandeur.

Ici : c, donc LT^-1 est fondamentale.

Savoir ensuite si L ou T est plus fondamentale me semble plus risqué. (je vote pour T ou T^2 car son degré est moindre que celui de L^3)

Dans la même idée en MQ, c'est h (ou hbar) : ML^2T^-1 qui est fondamentale.

Il en faudrait une troisième pour que cela tienne la route mécaniquement et mathématiquement.

G (M^-1L^3T^-2) est souvent choisi mais il me semble qu'il faudrait en trouver une autre...

Cordialement.

[stefjm]

Bonjour

Pour des vecteurs tangents du genre espace on a ds2 < 0. Il semblerait logique de dire que ds est un imaginaire pur plutot que de partir des vecteurs de type temps, de formuler leur ds avec une racine, une valeur absolue, dire pour le genre espace c'est la meme formule et aboutir au fait qu'on a des extrémas.
Y t il des formulations avec des actions imaginaires? (En cherchant rapidement surgoogle je suis tombé sur ceci http://rxiv.org/PS_cache/quant-ph/pd.../0304096v1.pdf de Michel Gondran
Je ne sais pas ce que ca vaut mais ca semble exister (sans doute sans beaucoup de succes)

Rectification du lien
http://arxiv.org/PS_cache/quant-ph/p.../0304096v1.pdf

[stefjm]

C'est bien pour cela que je cherche à distinguer ce qui provient de l'espace-temps sans métrique, et de la métrique.
[...]
[Par contre, l'équation de Lorentz, sans laquelle les équations de Maxwell sont inutilisables, implique bien la métrique. Un point qui ne cesse de m'intriguer est qu'il semble que la métrique n'intervienne jamais sans les concepts d'énergie/quantité de mouvement/masse, et réciproquement. Ce qui va bien dans le sens que la métrique n'est pas une propriété de l'espace-temps de Minkowski, mais est plutôt liée à l'inertie. -- Ce qui peut ramener à la géométrie de l'espace-temps, mais alors celui de la RG, en faisant une relation entre courbure et masse.]

Ce genre de considération me renvoit à une remarque que je t'avais faites un jour et que tu m'avais dis ne pas comprendre :
Un espace-matière ou un temps-matière. (un tout comme l'espace-temps)
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post1995058

Si on accepte qu'un tenseur 4x4x4x4 caractérise la "différence", alors on peut caractériser la courbure sans métrique.

Eddigton et ses matrices 16x16 ?

[invite6754323456711]

Ici : c, donc LT^-1 est fondamentale.

Ne faut-il pas créer une nouvelle dimension propre à l'objet espace-temps ? Ce qui est fondamental est espace-temps d'où découle l'espace et le temps non ? Sinon on à l'impression que c'est l'espace et le temps qui sont fondamentaux et l'espace-temps découle d'eux non ?

Patrick

[invité576543]

Ne faut-il pas créer une nouvelle dimension propre à l'objet espace-temps ? Ce qui est fondamental est espace-temps d'où découle l'espace et le temps non ? Sinon on à l'impression que c'est l'espace et le temps qui sont fondamentaux et l'espace-temps découle d'eux non ?

Un point intéressant (?) est que c'est ce qui est fait pour le dual. La correspondance est :

temps <-> énergie

espace <-> quantité de mouvement

xxx <-> masse

Géométriquement xxx est scalaire, dimensionnellement, il est temps/c², physiquement c'est une durée propre (la masse n'apparaît qu'en relation de trajectoire de genre temps).

Cordialement,

[Les Terres Bleues]

Mais je ne suis pas sûr qu'exprimé ainsi, cela permette de discuter avec LTB ou ù100fil

Je ne sais pas ce qu'il en est pour µ100fil, mais en ce qui me concerne, c'est clair, je n'ai jamais discuté avec Christoffel dans une salle de cours.

Toutefois, j'arrive quand même à suivre la discussion, et à mes yeux c'est l'essentiel. Quant à intervenir, il suffit d'attendre que l'on revienne à des conditions moins "stratosphériques".

Ce genre de considération me renvoie à une remarque que je t'avais faite un jour et que tu m'avais dit ne pas comprendre :
un espace-matière ou un temps-matière (un tout comme l'espace-temps).

Un espace-temps sans métrique reste à mon avis très proche d'une simple vue de l'esprit, tandis qu'un espace-temps "fondé" par la matière, là c'est du concret, là c'est du relatif.

Probablement qu'encore une fois, je n'arriverai pas à faire partager ce que je veux dire, mais je ne désespère pas d'y parvenir un jour.

Cordiales salutations.

[invite6754323456711]

Je ne sais pas ce qu'il en est pour µ100fil, mais en ce qui me concerne, c'est clair, je n'ai jamais discuté avec Christoffel dans une salle de cours.

Moi non plus, mais ce qui importe ce n'est pas la syntaxe et son mode opératoire, mais la sémantique des concepts (leur sens) que l'on exprime à l'aide de cette syntaxe.

La généralisation est sensé simplifier la compréhension des phénomènes physiques.

Un espace-temps sans métrique reste à mon avis très proche d'une simple vue de l'esprit.

L'espace-temps n'a nul besoin de métrique, c'est nous qui en avons besoin pour le caractériser non ? Apparemment on ne sait pas faire autrement avec les concepts que nous disposons à l'heure actuelle.

un espace-temps "fondé" par la matière, là c'est du concret, là c'est du relatif.

La RG établi déjà un lien relationnel entre la courbure de l'espace-temps et la distribution de la matière/énergie.

Cette question est, me semble t-il, en rapport avec une des questions fondamentales qui n'a pas encore trouvé réponse à l'heure actuelle. Exprimé par E. Klein : L'espace-temps accueille-t-il les événements ou en émane-t-il ?


Patrick

[Les Terres Bleues]

L'espace-temps n'a nul besoin de métrique, c'est nous qui en avons besoin pour le caractériser non ? Apparemment on ne sait pas faire autrement avec les concepts que nous disposons à l'heure actuelle.

Pas besoin de métrique ?
Perso, je ne saurais pas trop dire. Ce qui me semble nécessaire par contre et qui permet de ne pas simplement "croire" en l'existence de l'espace-temps, ou d'en avoir l'intuition préalable, c'est de lier systématiquement l'expérience que nous en faisons à celle que nous avons de la masse-énergie-quantité de mouvement.

Autrement dit, il s'agirait moins de créer ou d'inventer de nouveaux concepts que de toujours mettre en œuvre ceux dont nous disposons, dans la compréhension de leur définition réciproque, et pas dans leur acception "absolue" chacun de leur côté.
En quelque sorte, une Relativité jusqu'au bout.

La RG établit déjà un lien relationnel entre la courbure de l'espace-temps et la distribution de la matière/énergie.

Et Einstein lui-même mettait en avant que pour la RG, si l'on retirait le champ, il ne restait rien, ni un espace vide de champ, ni l'espace-temps de Minkowski comme en RR.

Cette question est, me semble t-il, en rapport avec une des questions fondamentales qui n'a pas encore trouvé réponse à l'heure actuelle. Exprimée par E. Klein : L'espace-temps accueille-t-il les événements ou en émane-t-il ?

Et si l'on se décidait à envisager que la "fondation" de l'un par l'autre est d'une certaine façon "simultanée" et symétrique ?
J'ai la faiblesse de penser qu'en ne changeant pas quoi que ce soit ou bien peu, ça changerait beaucoup.

Cordiales salutations.

[invite6754323456711]

La correspondance est :

temps <-> énergie

espace <-> quantité de mouvement

xxx <-> masse

Tu fais référence à cette dualité :

- soit au théorème de Noether. La symétrie de translation dans le temps correspond à la conservation de l'énergie, celle de translation dans l'espace à la conservation de l'impulsion, celle de rotation dans l'espace à la conservation du moment cinétique etc.. ?

- soit à l'action : le produit de la quantité de mouvement par l'élément de longueur dl, ou le produit de l'énergie pas l'élément de temps dt ?

Le fait qu'il soit dual ils pourraient émerger d'un concept plus amont ? Pour caractériser quel phénomène physique ?


Patrick

[invite6754323456711]

Bonsoir,

Un article qui retrace l'histoire qui à conduit aux concepts de transport parallèle et connexions en géométrie et en physique :
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~...ourguignon.pdf


Voir la partie sur Elie Cardan qui a tenté sans succès pour libérer la métrique et la connexion du lien fort qu'il existait entre elles.

Patrick

[invité576543]

Élie Cartan

Cdlt,

[invité576543]

Tu fais référence à cette dualité :

- soit au théorème de Noether. La symétrie de translation dans le temps correspond à la conservation de l'énergie, celle de translation dans l'espace à la conservation de l'impulsion, celle de rotation dans l'espace à la conservation du moment cinétique etc.. ?

- soit à l'action : le produit de la quantité de mouvement par l'élément de longueur dl, ou le produit de l'énergie pas l'élément de temps dt ?

Les deux. Tu présentes le théorème de Noether de manière tronquée, à l'instar de beaucoup de monde. Le théorème s'applique aux théories physiques centrées sur l'action. La symétrie dont il est question est celle du lagrangien (ou de la densité de lagrangien?).

(Et tu peux ajouter, pour compléter les symétries aristotéliciennes, le produit du moment cinétique par l'élément d'angle .)

Le fait qu'il soit dual ils pourraient émerger d'un concept plus amont ? Pour caractériser quel phénomène physique ?

C'est le contraire. Le concept plus amont existe (la formulation lagrangienne), le phénomène physique est le constat de la puissance du formalisme lagrangien.

La dualité en question est une conséquence. Elle vient directement du lagrangien (variables conjuguées), et à un rapport avec la dualité entre espace vectoriel et l'espace des formes correspondantes.

Cordialement,

[invite6754323456711]

C'est le contraire. Le concept plus amont existe (la formulation lagrangienne), le phénomène physique est le constat de la puissance du formalisme lagrangien.

La dualité en question est une conséquence. Elle vient directement du lagrangien (variables conjuguées), et à un rapport avec la dualité entre espace vectoriel et l'espace des formes correspondantes.

J'ai l'impression que ce qui est fondamental c'est la géodésique. La courbure semble être une notion relative "dans les coordonnées géodésiques, la métrique Riemannienne est osculatrice à la métrique Euclidienne". Riemann propose d'ailleurs d'appeler les espaces généralisés plat et deviennent des espaces ordinaires.

Patrick

[invite6754323456711]

Bonjour,

Peut-on dire d'un point de vue qualitatif que la gravition c'est les géodésiques respectant le principe de causalité ?

Ces géodésiques sont fonctions d'une métrique qui elle même dépend de la distribution energie-impulsion.

Ce qui rejoint dans un sens le point de vue de LTB


Patrick

[invité576543]

Ces géodésiques sont fonctions d'une métrique qui elle même dépend de la distribution energie-impulsion.

Ce qui rejoint dans un sens le point de vue de LTB

Je ne sais pour le point de vue de LTB, mais la première phrase, c'est juste la RG!

Cordialement,

[invite6754323456711]

Je ne sais pour le point de vue de LTB, mais la première phrase, c'est juste la RG!

Oui, c'est l'objet du fil que j'ai ouvert de comprendre qualitativement la RG avec l'usage de la notion de géodésique.

Une particule soumise à aucune force (la gravitation n'étant pas considéré comme une force) suit ces géodésiques. Si elle s'en écarte c'est qu'elle est soumise à des forces. L'écart ne peut-il pas être une mesure quantitative de la force résultante ?

L'autre point est que l'on à du mal à se débarrasser de la notion de métrique. D'après l'article que j'ai joint la notion de connexion semble découler de la recherche de la fonction de transformation f (difféomorphisme local) entre deux cartes ayant même métrique (Page 154).

Patrick

[invité576543]

Une particule soumise à aucune force (la gravitation n'étant pas considéré comme une force) suit ces géodésiques. Si elle s'en écarte c'est qu'elle est soumise à des forces. L'écart ne peut-il pas être une mesure quantitative de la force résultante ?

Bien sûr. Le taux de déviation par rapport à la géodésique tangente est exactement la définition de l'accélération en RG, et donc de la force une fois intégré l'inertie.

D'après l'article que j'ai joint la notion de connexion semble découler de la recherche de la fonction de transformation f (difféomorphisme local) entre deux cartes ayant même métrique (Page 154).

Hmmm. L'article est très intéressant (merci au passage). Mais il est très lapidaire sur nombre de points techniques, et des phrases comme celles que tu cites doivent être analysées et développées avant d'en faire quoi que ce soit.

En particulier ce sont les cartes qui sont différentes, mais une carte est un système de coordonnée. La métrique n'est pas une propriété d'un système de coordonnées (donc d'une carte), mais bien de l'objet cartographié.

Cordialement,