Usage en physique de la notion mathématique de géodésique

[mariposa]

Si par hasard cela me visait (et il est aisé à un lecteur non averti de ce fil de le comprendre comme cela *), je vois cela comme une auto-justification de votre part. Toujours facile de se dire (et de dire) que c'est les autres qui ne comprennent pas en cas de divergence d'opinion. Cela rassure.

Cordialement,

* C'est le danger des affirmations elliptiques. Elles sont interprétables de différentes manières...

Cela vise tous les collègues (cela fait beaucoup de monde) a qui j'ai appris a comprendre et à se servir de la TRG. au début je disais, en résumé, que la TRG c'est comme les tenseurs et je constatais que mon explication ne convenait pas parce que mes collégues n'avaient compris ce qu'était les tenseurs.

Du coup je faisais des exposés sur la TRG avec des exemple adaptés au contexte expérimental de l'environnement. C'est après ce genre de pédagogie que mes collègues comprenaient la nature des tenseurs comme quelque chose de particulier.

les collègues en question avaient presque tous fais des grandes écoles et appris qu'un tenseur c'est une forme multilinéaire. C'est par l'expérience que j'ai constaté que ce n'était pas le bon chemin pour décoller.

C'est pourquoi j'insiste pour dire que les tenseurs sont des vecteurs munis de propriétés spéciales fabriqués a partir de 2 (ou plus) espaces vectoriels.

Cela a également comme avantage d'être redondant avec les cours d'introduction à la MQ. En effet des les premières pages de MQ on introduit des produits tensoriels d'espace de Hilbert et cela est bien entendu complétement opposé a la direction géométrie différentielle.

La géométrie différentielle n'est en aucune façon la généralisation des tenseurs.

La généralisation des tenseurs ce sont les groupes.
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[invite6754323456711]

Si tu vois bien la différence entre le tangent et le cotangent, (entre vecteurs du tangent et 1-forme), que tu comprends ce qu'est un gradient, et plus généralement la relation entre un espace vectoriel et son dual (dont le fait qu'ils sont isomorphes, et l'importance du choix d'un isomorphisme particulier), alors la différence entre covariant et contravariant est claire.

Effectivement cela laisse à réfléchir.

Je pense que la clé est de bien maitriser ce qu'est une forme différentielle et dans un premier le cas simple des formes différentielles de degré un (1-forme) qui est un champ de formes linéaires. C'est-à-dire une application, qui, à un point de l'espace, fait correspondre une forme linéaire.

On peut définir de telles formes linéaires sur une variété différentielle M. On se donne une forme linéaire en chaque espace tangent TxM avec une dépendance régulière au point x.

Les 1-formes différentielles sont appelées champs de covecteurs.

Un exemple de 1-forme différentielle est la différentielle d'une fonction numérique f, qui se note df.

– la différentielle est une application de dans , pour tout point de , sa valeur une application linéaire ;
– la différentielle au point , est une application linéaire de dans , pour tout nombre réel , sa valeur une nombre réel.

il est possible de définir la notion de différentiabilité et de différentielle sans avoir recours à des bases.

Soient E et F deux espaces vectoriels normés, et f une application de E dans F. Soit a un point de E.

On dit que f est différentiable en a si et seulement s’il existe une application linéaire continue L de E dans F telle que :



Dans ce cas, L est appelée différentielle de f en a et se note

Si f est une fonction réelle différentiable, sa différentielle df est une 1-forme différentielle (dite exacte) qui en chaque point x vaut la forme linéaire df(x).

La définition d'une 1-forme est duale à celle d'un champ de vecteurs.

Il existe en réalité un isomorphisme une fois introduite par exemple une métrique riemannienne.

Du coup je vois le gradient comme un vecteur et non un covecteur. Vecteur qui sert à construire une forme lineaire. Soit le produit scalaire u.v si on fixe u la forme F_u définie par F_u(v) = u.v pour tout v de l'espace vactorielV est une forme linéaire.

Le vecteur A est appelé gradient de f en a, et il est noté Il vérifie donc :



avec

Soit U un ouvert de Soit une fonction différentiable. Soit on note alors la différentielle en a, notée qui est une forme linéaire sur On note l'image par cette différentielle d'un vecteur

Patrick

[invite6754323456711]

La géométrie différentielle n'est en aucune façon la généralisation des tenseurs.

La généralisation des tenseurs ce sont les groupes.

J'ai l'impression qu'il existe deux approches. Ne sont elle pas équivalente ? ou alors complémentaire ?

Patrick

[invité576543]

Effectivement cela laisse à réfléchir.

Je pense que la clé est de bien maitriser ce qu'est une forme différentielle et dans un premier le cas simple des formes différentielles de degré un (1-forme) qui est un champ de formes linéaires. C'est-à-dire une application, qui, à un point de l'espace, fait correspondre une forme linéaire.

Si tu vas là-dedans, tu va perdre de vue le point. La notion de forme linéaire est indépendante de celle de forme différentielle. Tu peux la voir juste dans le cadre de l'algèbre linéaire.

La notion différentielle est pertinente quand on parle d'espace tangent (qui est une notion de géo diff). Mais si tu mets dans le cadre d'espaces vectoriels quelconques, cela disparaît; mais la notion de tenseur reste, ainsi que la différence entre covariant et contravariant.

(En d'autres termes, les formes différentielles sont des cas particuliers de formes. Et à ne regarder que les formes différentielles tu vas perdre de vue ce qui se généralise à toute l'algèbre linéaire.)

Cordialement,

[invite6754323456711]

Si tu vas là-dedans, tu va perdre de vue le point.

Défini en tout point.

La notion de forme linéaire est indépendante de celle de forme différentielle. Tu peux la voir juste dans le cadre de l'algèbre linéaire.

C'est du même ordre que la différence entre différentielle et différentielle en un point (http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1975334) ?

Patrick

[mariposa]

J'ai l'impression qu'il existe deux approches. Ne sont elle pas équivalente ? ou alors complémentaire ?

Patrick

Il y a évident qu'une seule théorie des tenseurs mais 2 stratégies pédagogiques différentes que j'ai appelé pour simplifier méthode mathématiques, méthodes physiques.


Méthode mathématique:

1- On introduit la notion d'espace dual V* d'un espace vectoriel V.

Ce qui nécessite un certain développement.

2- On définit un tenseur du second ordre f covariant comme étant une forme bilinéaire définie sur le produit V.V

soit:

f(X,Y) = Aij.Xi.Yj

Les Xi sont les composantes d'un vecteur de V

Aij les composantes de la forme

F(X,Y) est la valeur de la forme au point (X,Y)


Ceci est dans le livre de BASS (page 96) qui étai un grand mathématicien et dont le livre était la référence pour préparer l'agreg de math dans les années 1970


2 -Méthode des physiciens.

Soit un espace vectoriel V de vecteur de base {e1,.. en}

Formons les produits directes ei*ej qui définissent un espace vectoriel V.Vde dimension n2

Un vecteur quelconque de cet espace est:


W= Aij ei*ej

On voit nettement dans cette expression le vecteur W et ses composantes Aij dans la base ei*ej ce qui n'est pas le cas de la formulation mathématicienne.

En plus dans un changement de base vers {em*en}


W= Amn em*en


Qui montre bien que le vecteur W est représenté par un autre jeux de composantes qui se déduise de l'ancien par une transformation spéciale qui n'est pas celle des vecteurs ordinaires.

Toute la richesse des tenseurs est là:


le comportement des composantes dans un changement de base.



Faisons la comparaison entre méthodes d'introduction mathématiques et méthodes des physiciens.

1- La démonstration des physiciens est plus courte et ignore la dualité. Ce qui montre que la dualité n'est pas un ingrédient premier pour définir un tenseur.

2- L'expression des physiciens fait bien apparaitre le tenseur comme un vecteur car l'écriture montre à la fois les composantes et les vecteurs de base.

L'expression des mathématiciens ont besoin de donner les composantes des vecteurs de V et d'introduire la valeur de la forme f(X,Y) alors qu'en pratique on se fout complétement de la valeur de la forme dans 99% des cas.

3- Le comportement atypique des composantes de W dans un changement de base saute aux yeux est c'est cela qui est de loin le plus important à comprendre.

C'est pourquoi il est absurde de dire qu'un tenseur de rang 2 c'est une matrice car seulement certains matrices carrés représentent un tenseur et les autres non.

4- La présentation des tenseurs en MQ dans tous les cours de MQ et ce sans aucune exception est celle que je présente ici comme celle des physiciens.

5- Cette présentation peut rapidement preparer le terrain pour la TRG. J'ai notamment fait ce genre de démonstration plusieurs fois sur Futura.

6- Les mathématiciens qui introduisent la géométrie algébrique (l'algébre de Clifford) présente exactement celle-ci suivant la démarche des physiciens. D'ailleurs l'algébre de Clifford est une spécialisation du produit tensoriel sur le quel on ajoute une forme quadratique.



Bref je ne voit que des avantages à introduire les choses ainsi.


C'est seulement dans un deuxième temps que l'on peut introduire le dual d'un espace vectoriel et ceci pour des bonnes raisons que le coeur des tenseurs c'est fabriquer de nouveaux vecteurs par le produit tensoriel d'espaces vectoriels.

De même la prise en compte des systèmes de coordonnées curvilignes amène un nouveau tenseur mixte qui est la dérivée covariante. Mais la dérivée covariante n'a rien à voir à priori avec les espaces courbes.

En MQ on fabrique des tenseurs tordus dans les espaces de Hilbert. Par exemple on fait le produit tensoriel d'un espace orbital d'un espace de spin. Le tenseur s'appelle une spin-orbitale.

Pour aller dans les profondeurs de la MQ on définit des tenseurs sphériques irréductibles.

Là encore c'est toujours, toujours la même idée des tenseurs: Comment fabriquer des vecteurs munis de propriétés spéciales vis avis d'un changement de base.


Pour construire les représentations tensorielles des groupes de Lie on utilise le fait qu'un opérateur Sn de permutation d'indice commute avec une transformation d'un tenseur de rang n.

Là encore ce sont les ces propriétés de changement de base que l'on utilise a savoir que l'on cherche d' abord un changement de base qui diagonalise par blocs l'espace tensoriel sur la base des vecteurs propres de l'opérateur de permutation.


En bref j'espère un jour que l'on comprendra qu'assimiler tenseurs et analyse tensorielle est une lourde erreur dont l'origine pédagogique provient directement de l'introduction des tenseurs dans les cours de mathématiques.

En résumé:

Ce n'est pas la dualité qui commande les tenseurs mais le produit tensoriel

[invite6754323456711]

En effet des les premières pages de MQ on introduit des produits tensoriels d'espace de Hilbert

Une des difficultés avec le produit tensoriel est qu'un tenseur quelconque n'est pas en général, le produit tensoriel de deux vecteurs.

L'ensemble S formé de tous les produits tensoriel de deux vecteurs n'est pas un sous-espace vectoriel de l'espace produit.

Patrick

[mariposa]

Une des difficultés avec le produit tensoriel est qu'un tenseur quelconque n'est pas en général, le produit tensoriel de deux vecteurs.

L'ensemble S formé de tous les produits tensoriel de deux vecteurs n'est pas un sous-espace vectoriel de l'espace produit.

Patrick

Pourquoi une difficulté.

pour fabriquer un nouvel espace vectoriel je fabrique n2 vecteurs linéaires indépendants que je considère comme des vecteurs de base.

Une fois ayant obtenu ces N2 vecteurs indépendants n'importe qu'elle combinaison linéaire est un vecteur de cet espace vectoriel à N2 dimensions.

comme je fabrique ces vecteurs de base en introduisant les produits ei*ej il est facile de vérifier qu'ils sont linéairement indépendants et que les changement de base dans le nouvel espace vectoriel vont hériter de ceux de l'espace source.

C'est pourquoi on les appelle tenseurs pour bien affirmer que ce ne sont pas des vecteurs "ordinaires".

[mariposa]

L'ensemble S formé de tous les produits tensoriel de deux vecteurs n'est pas un sous-espace vectoriel de l'espace produit.

Patrick

Effectivement pour la simple raison qu'il s'agit d'un autre espace vectoriel.

Par contre tu peux faire la somme directe de ces 2 espaces vectoriels. c'est ce qui se passe dans l'algébre extérieure ou dans les algèbres de Clifford.

[invité576543]

(...)

(Je pense que cela ne sert à rien d'argumenter, mais...)

C'est pourquoi il est absurde de dire qu'un tenseur de rang 2 c'est une matrice car seulement certains matrices carrés représentent un tenseur et les autres non.

Faux. Toute matrice carrée peut représenter un tenseur.

Et de toute manière, parler d'une matrice et parler d'un jeu doublement indicé de scalaires, comme Aij dans W= Aij ei*ej, est exactement la même chose.

C'est la base qui fait toute la différence, rien d'autre. (Mentionner une soit-disante "absurdité" est juste le signe d'une confusion entre une représentation (une matrice) et l'usage qu'on en fait.)

4- La présentation des tenseurs en MQ dans tous les cours de MQ et ce sans aucune exception est celle que je présente ici comme celle des physiciens.

Et alors? C'est facilement explicable parce que c'est l'approche pratique, celle qui permet de faire des calculs. Cela n'implique absolument pas qu'il s'agisse de la présentation la plus riche conceptuellement.

Facile de trouver des exemples similaires sur des sujets plus élémentaires, dans des classes plus élémentaires. (Exemple, le produit vectoriel, qui est présenté initialement par un calcul, et plus tard (ou jamais) en relation avec les tenseurs antisymétrique, qui une vision conceptuelle.)

5- Cette présentation peut rapidement preparer le terrain pour la TRG. J'ai notamment fait ce genre de démonstration plusieurs fois sur Futura.

Pareil. Aspects calculatoires de la TRG. Pour les concepts, c'est source de confusion.

Mais la plupart des gens s'en fiche des concepts. Si on peut faire les calculs, ça suffit...

Bref je ne voit que des avantages à introduire les choses ainsi.

Et, sous-entendu, tout autre point de vue ne vaut rien...

En résumé:

Ce n'est pas la dualité qui commande les tenseurs mais le produit tensoriel

[/QUOTE]

En résumé, ce qui commande les tenseurs, c'est la linéarité. Le produit tensoriel est juste une méthode de construction de fonctions multilinéaires à partir de fonctions linéaires.

Et la contraction n'est pas "juste" une somme (une méthode calculatoire). Conceptuellement, c'est l'opération (bilinéaire) qui à une paire d'un vecteur v et d'une forme linéaire w associe w(v).

(Et dès qu'on parle de bases, on est dans le domaine des espaces vectoriels, donc de la linéarité.)

Cordialement,

[mariposa]

Comme d'habitude et pour les mêmes raisons je voi la polémique se substituer à la discussion.


Je repose donc des questions fondamentales qui concernent la compréhension des tenseurs.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1- En physique dans tous les domaines concernés il y a la théorie de la réponse linéaire.

on a affaire a des expressions:

F = M.A

F est un vecteur "ordinaire" et A est un vecteur "ordinaire".

Quelle est la nature tensorielle de M ?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


2- Quelle est la nature tensorielle des 2 vecteurs de R3:

E (champ électrique) et B (champ magnétique).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3- Quels sont la nature tensorielle des opérateurs de R3:

grad

div

rot

Laplacien

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


4- Soit un tenseur T contravariant de rang 2 (c'est un vecteur) dont les composantes sont Ti,j (il est quelconque et donc pas symétrique).

Soit B le vecteur tel que:

B = P.Ti,j = Tj,i

Autrement dit P est défini comme un opérateur qui permute les indices.


La question est: Quelle est la nature tensorielle (si elle existe) du vecteur B?

[mariposa]

Comme d'habitude et pour les mêmes raisons je voi la polémique se substituer à la discussion.


Je repose donc des questions fondamentales qui concernent la compréhension des tenseurs.
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1- En physique dans tous les domaines concernés il y a la théorie de la réponse linéaire.

on a affaire a des expressions:

F = M.A

F est un vecteur "ordinaire" et A est un vecteur "ordinaire".

Quelle est la nature tensorielle de M ?

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2- Quelle est la nature tensorielle des 2 vecteurs de R3:

E (champ électrique) et B (champ magnétique).

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3- Quels sont la nature tensorielle des opérateurs de R3:

grad

div

rot

Laplacien

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4- Soit un tenseur T contravariant de rang 2 (c'est un vecteur) dont les composantes sont Ti,j (il est quelconque et donc pas symétrique).

Soit B le vecteur tel que:

B = P.Ti,j = Tj,i

Autrement dit P est défini comme un opérateur qui permute les indices.


La question est: Quelle est la nature tensorielle (si elle existe) du vecteur B?

[invite6754323456711]

Je repose donc des questions fondamentales qui concernent la compréhension des tenseurs.
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La première (la masse) est un scalaire donc un tenseur d'ordre 0. C'est un simple nombre, qui ne dépend d'aucune base.

Pour l'instant mon recul sur le sujet me permet de dire :

Les vecteurs (associés à l'espace affine) sont des tenseurs contravariants d'ordre 1.
Les formes linéaires sont des tenseurs d'ordre 1 covariants.

Donc le gradient étant un vecteur (non un covecteur) c'est donc un tenseur de valence (1,0).

Ce qui importe, du moins pour moi, c'est de savoir si les propriétés physiques que tu cherches à faire exprimer par cette notion de nature des tenseurs ne peuvent elles pas s'exprimer aussi par l'approche multilinéaire sans la notion de changement de base.

On irait plus vide si tu donnais les réponses à tes questions afin de vérifier si cela ne peut pas s'exprimer autrement.

Patrick

[mariposa]

On irait plus vide si tu donnais les réponses à tes questions afin de vérifier si cela ne peut pas s'exprimer autrement.

Patrick

Ok

Soit:

F = M.V

où F et V sont des vecteurs et M une matrice cad la representation d'un vecteur à N2 composantes.

faisons un changement de base B

On a B.F = B.M.V

Injectons l'opérateur identité I = [B-1].B

B.F = B.M.I.V

B.F = B.M.[B-1].B. V

D'où

F' = B.F

V' = B.F

M ' = B. M.[B-1]

et bien sûr F'= M'.V'

qui montre que l'équation est bien covariante.

on voit que le composantes de M se transforment différemment de celles d'un vecteur. En écrivant explicitement les éléments des matrices on constate que M est un tenseur mixte du second ordre.


C'est bien le changement de coordonnée qui a permis de reconnaître M comme une représentation d'un tenseur mixte M

[invite6754323456711]

4- Soit un tenseur T contravariant de rang 2 (c'est un vecteur) dont les composantes sont Ti,j (il est quelconque et donc pas symétrique).

Soit B le vecteur tel que:

B = P.Ti,j = Tj,i

Autrement dit P est défini comme un opérateur qui permute les indices.

Pour la permutation voir une autre vision mathématique qui utilise pour définir la notion de tenseur les deux notions produit tensoriel et forme multilinéaire http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur...%A9matiques%29

Les petits schémas sont bien sympa et facilitent la compréhension.

Patrick

[mariposa]

Pour l'instant mon recul sur le sujet me permet de dire :

Les vecteurs (associés à l'espace affine) sont des tenseurs contravariants d'ordre 1.
Les formes linéaires sont des tenseurs d'ordre 1 covariants.

Donc le gradient étant un vecteur (non un covecteur) c'est donc un tenseur de valence (1,0).

quand tu écris:

Df = df/dXi.dXi (avec sommation sur les i)

D = d droit et d est un d rond

nous sommes dans l'espace cotangeant dont les vecteurs de base sont les {dXi}

les df/dXi sont les composantes du vecteur Df dans la base dXi}

Donc la différentielle Df est un vecteur de l'espace cotangeant autrement dit c'est un covecteur (ou tenseur covariant de rang 1) et les df/dXi les composantes de ce même covecteur.

Ce qui importe, du moins pour moi, c'est de savoir si les propriétés physiques que tu cherches à faire exprimer par cette notion de nature des tenseurs ne peuvent elles pas s'exprimer aussi par l'approche multilinéaire sans la notion de changement de base.

Il n'y a pas de notions de tenseurs indépendamment de leurs représentations. Les tenseurs (sans indices) sont une abstraction de matrices de la même façon que le concept de chat est une abstraction de tous les chats.

Le concept de chat ne fait disparaitre les chats et les tenseurs sans indices ne font pas disparaître leurs représentations numériques.

On irait plus vide si tu donnais les réponses à tes questions afin de vérifier si cela ne peut pas s'exprimer autrement.

[invite6754323456711]

On irait plus vide si tu donnais les réponses à tes questions afin de vérifier si cela ne peut pas s'exprimer autrement.

Des questions j'en ai plein, des réponses nettement moins

Une parmi une infinité :

Quel est la meilleure approche pour comprendre les tenseurs avec comme finalité mieux comprendre la RG d'un point de vue conceptuel et non opératoire (faire des calculs) ?

Patrick
PS
Les petits schémas montre qu'une permutation d'indice appliqué à un tenseur de même valence (2 fois covariant par exemple) ne change pas sa nature.

[invité576543]

Prenons un peu de recul alors.

Qu'est-ce qu'une vitesse instantanée? La linéarisation locale de la trajectoire M(t). On prend les premier termes du développement en série. Le premier terme est le point lui-même, le deuxième la vitesse M(t+h) = M(t) + hv +o(h²).

Prendre la dérivée revient à linéariser localement. C'est le calcul infinitésimal, qui revient à ignorer les termes du second degré ou plus... Comme on ne garde que le premier degré, c'est linéaire

Une partie importante des lois physiques se présentent comme des fonctions linéaires entre des dérivées, c'est à dire des relations linéaires locales.

Dans les cas simples, c'est juste des proportionnalités (F=dp). Mais les relations linéaires peuvent mettre en oeuvre plus de "dimensions", et on se retrouve avec des relations multilinéaires.

Par exemple le flot (nombre de machins par unité de temps et de surface) à travers une surface infinitésimale (mot qui indique une vraisemblable linéarisation) doit donner un nombre à partir de deux vecteurs (qui définissent la surface infinitésimale, le parallélogramme défini par les deux vecteurs infinitésimaux). En 3D, c'est un tenseur d'ordre 2 (antisymétrique, condition qu'on dérive de la notion de surface). En 4D, c'est un tenseur d'ordre trois (une 3-forme, précisément), car il prend en entrée une direction temporelle (qui définit le temps du référentiel) et deux directions spatiales (définissant la surface). (Construction cohérente avec la dimension, qui est XL^-2T^-1, nombre de machin par unité de durée et unité de surface, X étant la dimension du "machin", qui est bien ce à quoi on s'attend avec la notion de flux à travers une surface.)

[Chose intéressante, en 4D apparaît un quatrième terme, obtenu en appliquant au tenseur 3 directions toutes spatiales. L'unité en est XL^-3, c'est la densité volumique en machins, qui complète naturellement la notion de flux, comme l'énergie complète la quantité de mouvement, ou le champ électrique complète le champ magnétique.]

Exprimer cela par un tenseur (une relation multilinéaire) est naturel, puisqu'on parle de surface infinitésimale, de durée infinitésimale, et qu'on se limite au premier ordre.

Il y a plein d'autres exemples, et l'idée de fond est toujours la même : on se limite au premier ordre (notion de différentielle) en chaque terme, et on se retrouve avec des relations multilinéaires.

On peut interpréter le principe de covariance générale, au coeur de la RG, comme demandant une expression locale des relations qui sont les "lois physiques". Ces relations sont essentiellement des relations multilinéaires, d'où l'usage naturel des tenseurs.

Cordialement,

[mariposa]

Des questions j'en ai plein, des réponses nettement moins

Une parmi une infinité :

Quel est la meilleure approche pour comprendre les tenseurs avec comme finalité mieux comprendre la RG d'un point de vue conceptuel et non opératoire (faire des calculs) ?

Pour comprendre la RG il y a un certains nombres d'ingrédients mathématiques dont effectivement les tenseurs.

S' agissant des tenseurs, ce que je prêche c'est la modestie dans la progression. Einstein lui-même en a baver pour comprendre la mathématiques des tenseurs, parce que cela n'a rien d'évident.

Encore faut-il souligner qu'Einstein pratiquait la RG dans l'esprit analyse tensorielle et non pas dans une approche moderne théorie des fibrés.

Personnellement ce que je conseille est:


1- D'abord d'apprendre les tenseurs cartésiens et de faire des exercices simples en rapport avec la physique classique. Les bouquins donnent des multiples exemples.

2- De là on peut reprendre la question initiale des tenseurs dans des repères quelconques et introduire l'espace dual. On prend conscience d'un premier degré de généralité

3- Quand on commence a maitriser les questions précédentes on peut se lancer dans l'analyse tensorielle cad dans les champs de vecteurs et de tenseurs. La grande question est d'introduire les coordonnées curvilignes. C'est ainsi que l'on introduit un nouveau tenseur qui est la dérivée covariante. A noter que l'espace et plat, il n'y a aucune notion de courbure.

4-En dehors de toute considération tensorielle Il faut apprendre ce qui a été fait sur la géométrie intrinsèque des surfaces à la manière de Gauss à partir dune surface plongée dans R3. Le travaille de Riemann c'est tout simplement la généralisation du travail de Gauss avec l'introduction de la notion de variété à N dimensions.

5- Etablir le rapport avec la géométrie riemanienne et les tenseurs en utilisant l'analyse tensorielle. C'est la partie délicate.

6- S'investir dans la géométrie des variétés fibrées, ce qui suppose des connaissances acquises des groupes de Lie. C'est le moment de travailler sur l'invariance de jauge de l'électromagnétisme qui est un exemple sympatique où la connexion n'a rien à voir avec une quelconque propriété métrique. Cela permet de prendre de la hauteur pour aborder la physique de la Rg avec un bon bagage mathématique.


Donc au risque de me répéter le meilleur conseil est la progression lente mais certaine plutôt que de lancer d'emblée dans la gymnastique de choses qui nous dépasse à un moment donné.

Il ne faut pas bruler les étapes.

j'ai d'abord été plombier puis ajusteur avant de devenir un physicien théoricien. C'est incroyable ce que l'on peut apprendre à travers n'importe quel métier. La persévérance, la patience, l'écoute des autres sont des qualités à usages multiples.

[invite6754323456711]

Pour comprendre la RG il y a un certains nombres d'ingrédients mathématiques dont effectivement les tenseurs.

As-tu regardé la puissance de la formalisation des tenseurs proposé sur wiki http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur....29-euclidiens

Prend juste le cas sur le tenseur métrique : Cas des espaces (pseudo)-euclidiens.

Comment simplement il montre avec l'aide de petit schéma que dû à l'isomorphisme m_g on peut alors assimiler tout élément de E* à un élément de E.

La généralisation permet de faire gagner énormément de temps dans la compréhension d'un concept.


Patrick

[invite6754323456711]

On peut interpréter le principe de covariance générale, au coeur de la RG, comme demandant une expression locale des relations qui sont les "lois physiques". Ces relations sont essentiellement des relations multilinéaires, d'où l'usage naturel des tenseurs.

En fait je viens de découvrir que l'ensemble des applications linéaires de E dans F est canoniquement isomorphes à Plus généralement l'ensembles des applications k-linéaires de est canoniquement isomorphes à .

L'application linéaire pouvant être vu comme un tenseur de on peut calculer l'image d'un vecteur comme étant le produit contracté

Patrick

[invité576543]

Comment simplement il montre avec l'aide de petit schéma que dû à l'isomorphisme m_g on peut alors assimiler tout élément de E* à un élément de E.

Cette "assimilation" est à la fois un bien et un mal. Comme tout usage d'isomorphisme!

Pour bien comprendre il faut avoir conscience du choix de l'isomorphisme.

Point important : Il n'y a pas d'isomorphisme canonique entre E et E*.

Alors comment le choisit-on? Eh bien, c'est très simple : choisir une métrique ou pseudo-métrique => choisir un isomorphisme entre E et E*.

C'est la métrique qui permet une "assimilation" qui n'est pas arbitraire (c'est à dire telle que tout le monde fera la même "assimilation", choisira le même isomorphisme).

Le danger de cette assimilation est qu'on peut facilement oublier 1) qu'elle dépend de la métrique (donc ce n'est pas la même "assimilation" en signatue ++++ et en signature +---), 2) n'est pas possible autre qu'arbitrairement en l'absence d'une métrique (ou pseudo-métrique); (d'où de "mauvais" réflexe quand on travaille avec des structures moins riches que métriques).

Cordialement,

[invité576543]

En fait je viens de découvrir que l'ensemble des applications linéaires de E dans F est canoniquement isomorphes à Plus généralement l'ensembles des applications k-linéaires de est canoniquement isomorphes à .

Oui.

Et cela aurait dû être précisé plus tôt, c'est une propriété essentielle.

C'est elle qui m'a permis plusieurs fois, sans l'expliquer assez, de parler de fonctions linéaires ou multilinéaires entre différentes combinaisons, tout en définissant les tenseurs qu'avec comme ensemble image K.

Un tenseur (1,1) par exemple est à basiquement une fonction multilinéaire de ExE* dans K, mais par l'isomorphisme canonique généralisé dont tu parles une application linéaire de E dans E, ainsi qu'une application linéaire de E* dans E*.

Ce qui fait que les tenseurs couvrent toutes les applications multilinéaires de EⁿxE*^m vers E^pxE*^q. (Avec quelques conventions qui vont bien pour les indices nuls)

Cela explique mieux pourquoi ils s'utilisent en relation de la linéarité, en toute généralité!

Cordialement,

[invite6754323456711]

tout en définissant les tenseurs qu'avec comme ensemble image K.

Je comprends mieux maintenant ce que tu voulais dire par tout ceci se généralise par la notion de forme.

On rappelle par ailleurs qu'en dimension finie, on assimile sans problème E à son bidual E * * . On a donc de même :

Rien que le petit exemple du crochet de dualité permet de mieux comprendre ce qu'est l'opération de contraction

Le crochet de dualité est donc un cas particulier du produit contracté :

De plus on peut facilement basculer sur une base donnée pour avoir les coordonnées du tenseur et ainsi faire des calculs.

Soit une base de E et (ε1,ε2,...εm) une base de F. Alors la famille forme une base de

Pour tout élément ses coordonnées sont explicitement calculables en utilisant les bases duales et par la formule :

Patrick

[invite6754323456711]

En résumé, ce qui commande les tenseurs, c'est la linéarité.

La linéarité semble être un concept très puissant qui est la base de beaucoup d'autres notions.

L'algèbre linéaire est le domaine des mathématiques qui étudie de façon systématique les propriétés associées à la dépendance linéaire. Les concepts de base sont celui de combinaison linéaire et les notions d'espace vectoriel et d'application linéaire. Ils permettent de définir l'indépendance linéaire et la dimension, c'est-à-dire le comptage du nombre de paramètres nécessaires pour décrire un phénomène linéaire.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire

Patrick

[mariposa]

As-tu regardé la puissance de la formalisation des tenseurs proposé sur wiki http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur....29-euclidiens

Bien sûr, j'ai même un tas de livres sur la question. As-tu remarqué que que le titre tenseur était suivi par la parenthèse mathématiques. Quand je parle tenseurs, j' en parle dans le langage des physiciens.

Tout dépend de ce que tu veux faire, s'il s'agit de mathématiques, il faut ignorer ce que j"'écris car la démarche des physiciens est différente de celle des mathématiciens.

Il est remarquable que cet article de mathématiques laisse entendre que les applications des tenseurs renvoient à la géométrie différentielle et qu'il n'existe même pas la moindre allusion à la TRG.

C'est une catastrophe du point de vue de la physique et même une curieuse déficience sur le plan mathématiques.

Comment simplement il montre avec l'aide de petit schéma que dû à l'isomorphisme m_g on peut alors assimiler tout élément de E* à un élément de E.

C'est une idée générale qui n'a rien à voir avec les tenseurs. Lorsque tu as 2 espaces vectoriels de même dimension il est facile de créer des isomorphismes. En effet il y a toujours isomorphisme entre un vecteur et sa representation par une matrice colonne.

Donc 2 vecteurs de 2 espaces différents, mais de même dimension, peuvent être l'image l'un de l'autre dès qu'ils sont représentés par le même vecteur colonne. Dans le cas de la dualité E et E* la donnée d'une métrique est un cas parmi d'autres pour créer un isomorphisme d'espaces vectoriels.

La généralisation permet de faire gagner énormément de temps dans la compréhension d'un concept.
Patrick

Effectivement la généralisation permet de mieux comprendre un concept a la seule condition que cette généralisation ne soit pas hative.

S'il y a une progression dans l'enseignement des choses c'est que nos cerveaux ne peuvent pas atteindre d'emblée un niveau d'abstraction élevé construit sur du vide.

L'abstraction se construit par étapes et en repassant plusieurs fois sur le même sujet. Les niveaux d'abstraction ne sont pas toujours nécessaire.

Quand on définit la structure d'espaces vectoriels dans le style loi de composition interne notée additivement et loi de composition externe avec un élément d'un corps, tout le monde comprend car très proche de notre intuition géométrique et conforme aux vecteurs du lycée.

On peut aussi dire qu'un espace vectoriel c'est un module sur un corps. Cela devient indispensable pour les mathématiciens et largement inutile pour les physiciens dans 99% des cas.

En physique il faut toujours adapté le niveau de langage à la nature du problème posé.

Par contre si ta motivation c'est de comprendre la RG, il ne faut pas compter comprendre toute la richesse des tenseurs en ayant en ligne de mire la RG. Encore une fois les tenseurs ne se réduisent pas du tout à la géométrie différentielle, loin de là.


Contrairement a ce que beaucoup (trop) de mathématiciens pensent la physique ce n'est pas de la mathématique appliquée. Si cela avait été le cas il y aurait longtemps que je m'en serait apercu.

[invité576543]

(...)

Oui, tout ça couvre l'aspect algèbre linéaire des tenseurs.

Au passage, on comprends pourquoi on s'occupe de produits cartésiens de E et E*: on a besoin des deux pour couvrir les différents cas, via l'isomorphisme canonique qui ramène à des applications multilinéaires vers K.

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Maintenant l'application à la physique porte sur des espaces vectoriels particuliers, le tangent en un point de l'espace-temps vue comme variété différentielles (ce qui s'étudie bien en langage des fibrés: il y a un espace tangent en chaque "événement"). Et d'autres espaces vectoriels en plus, dans les théories qui rajoutent des dimensions aux 4 de base.

Ensuite, les groupes de symétries vont intervenir, et, en combinaisons avec les tenseurs (qui sont les objets "linéaires" par excellence), amènent les représentations linéaires des groupes (i.e., en termes d'applications linéaires, qui elles-mêmes se structurent en groupes).

Cordialement,

[mariposa]

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Maintenant l'application à la physique porte sur des espaces vectoriels particuliers, le tangent en un point de l'espace-temps vue comme variété différentielles (ce qui s'étudie bien en langage des fibrés: il y a un espace tangent en chaque "événement"). Et d'autres espaces vectoriels en plus, dans les théories qui rajoutent des dimensions aux 4 de base.

Les tenseurs en physique


Vraiment pas. L'application principale des tenseurs c'est en physique classique tout court (mécanique et électromagnétisme) et en MQ et singulièrement en physique du solide qui est un mélange hétérogène entre physique classique et MQ. Il est facile de comprendre que pour étudier un solide on l'excite avec:

Des champs électriques.
Des champs magnétiques.
De la lumière polarisée.
Des contraintes mécaniques.
Des ondes sonores

et l'on regarde les réponses a ces contraintes, par exemple en mesurant la lumière polarisée dans une direction du cristal (qui possède des symétries)

Tous ces objets sont des tenseurs et ils agissent dans l'espace de Hilbert du cristal a travers la représentation des tenseurs dans l'espace de Hilbert.

Il va de soi que mathématiques des tenseurs et TRG sont intimement mélés. Pour moi c'est strictement la même chose. C'est ainsi que j'ai enseigné les choses en DEA.



Physique et espaces fibrés.

On ne peut pas assimiler espaces fibrés et RG et fibre= espaces tangents. Ceci est un cas très particulier qui dans une perspective générale ne présente aucun intérêt.

Le cas le plus courant en physique est d'attacher en chaque point de la variété de base un espace vectoriel. ce peut-être un espace de Hilbert par exemple. Dans le cas de l'électromagnétisme c'est le potentiel vecteur un espace qui n'a rien a voir avec l'espace tangent.

Ensuite, les groupes de symétries vont intervenir, et, en combinaisons avec les tenseurs (qui sont les objets "linéaires" par excellence), amènent les représentations linéaires des groupes (i.e., en termes d'applications linéaires, qui elles-mêmes se structurent en groupes).

Cordialement,

Par construction un espace tensoriel c'est un espace vectoriel qui est clos sous l'addition. il est facile de voir qu'un changement de base dans l'espace(s) vectoriel(s) de dimensions n source cad une matrice de dimension n2 engendre dans l'espace tensoriel une matrice de changement de base de dimension [n2]p où p est le rang du tenseur.

Dit simplement et dans un langage mathématique il y a homomorphismes (a priori) entre les matrices n2 et les matrices [n2]p. L'une représente l'autre et réciproquement.


Par conséquent cela n'a strictement rien à voir avec les applications linéaires. N'importe quel type d'espaces vectoriels convient (les applications linéaires entre autres).



Par ailleurs ce ne sont pas les applications linéaires qui se structurent en groupe car cela ne veut rien dire, mais les changements de bases des applications linéaires qui elles possèdent la structure multiplicative des matrices.


Si tu veux donner un rôle aux applications linéaires cela veut dire que celles-ci se décomposent en sommes directes d'applications linéaires. Chaque application engendrant un sous-espace invariant sous les opérations du groupe.

[invitebd2b1648]

Salut à tous !

Bon je me demandais si vous trouviez mon idée judicieuse !

Sinon à part çà, j'ai cru comprendre que vous cherchiez la connexité dans les covariances des espaces fibrés cotangents ... c'est çà ?

Cordialement,

[invitebd2b1648]

Salut à tous !

N'y aurait-il pas une histoire de spin que sont les fermions massique de spin demi-entier ... dans cette affaire ?

Cordialement,

PS : et pourquoi pas l'isospin !