Usage en physique de la notion mathématique de géodésique

[invite6754323456711]

Un tenseur en général n'est pas invariant, il est covariant ou contravariant ou mixte. Ave comme exception les tenseurs de rang nul qui sont invariants.

Es-tu vraiment sur ? Mon cours introduction au calcul tensoriel exprime pourtant clairement :

Un tenseur t est une quantité intrinsèque qui n'a à priori aucune propriété de variance particulière. Cependant son expression dans une base particulière nécessite à la fois des quantités covariantes - les états de la base - et des quantités contravariante - ses composantes .

Par convention on qualifie un tenseur par le type de variance de ses composantes.

Sinon quel serait l'intérêt d'un tenseur (et non de ses composantes) ?

Patrick
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[invite6754323456711]

Bonjour,

En fait la dualité entre contravariant et covariant est tout simplement dû au fait que lors d'un changement de base , les matrices de passage concernant les vecteurs de base et les composantes sont inverses l'une de l'autre. Cela permet, par exemple, la contraction des indices.

Patrick

[invite6754323456711]

Un point qui me semble pourtant fondamental : Les dérivées covariante et contrevariante du tenseur t, ne sont évidemment pas chacune un être invariant.

Peut être une remarque importante à faire : nous somme dans le cas d'un champ de tenseur et non un tenseur unique.

Patrick

[invité576543]

En fait la dualité entre contravariant et covariant est tout simplement dû au fait que lors d'un changement de base , les matrices de passage concernant les vecteurs de base et les composantes sont inverses l'une de l'autre. Cela permet, par exemple, la contraction des indices.

C'est le contraire. La dualité est une notion plus fondamentale que les conventions d'indice.

La dualité en question est que chacun des deux espaces (vecteurs et 1-formes) est isomorphe aux applications linéaires de l'autre vers R (le corps de base, en toute généralité).

Et cela se généralise à toutes les sortes de tenseurs.

Cordialement,

[invite6754323456711]

C'est le contraire. La dualité est une notion plus fondamentale que les conventions d'indice.

Ces notions de covariant et de contravariant sont pourtant (du moins dans toute les lectures que j'ai pu faire) présentées comme un comportement relativement à un changement de base.

La dualité en question est que chacun des deux espaces (vecteurs et 1-formes) est isomorphe aux applications linéaires de l'autre vers R (le corps de base, en toute généralité).

tu fais référence à la bidualité V est isomorphe à V** ?


Patrick

[mariposa]

Es-tu vraiment sur ? Mon cours introduction au calcul tensoriel exprime pourtant clairement :


Sinon quel serait l'intérêt d'un tenseur (et non de ses composantes) ?

Patrick

Je trouve la formulation de ton cours très très bizarre.

Un tenseur c'est avant tout un vecteur (au sens que c'est un élément satisfaisant les axiomes de la structure d' espace vectoriel). On peut par exemple représenter un tenseur de rang 2 par une double flèche pour le distinguer d'un vecteur classique avec une flèche).

quand on fait le produit tensoriel V*V = W on obtient un tenseur de rang 2

Comme tout vecteur un tenseur est représenté par ses composantes dans une base déterminée. Si tu changes de bases le même tenseur est un représenté par un autre jeu de composantes.

La propriété principale et singulière d'un tenseur c'est justement comment se comporte les composantes dans un changement de base.


On effectue le produit tensoriel VTV donne W


T désigne la loi de composition

V = vecteur (ou tenseur de rang 1)
w = Tenseur de rang 2


Si V est de dimension n alors W est de dimension n2 et la matrice de changement de base dans W est n2[2]

Par exemple si n= 3 (comme notre espace familier) alors un tenseur de rang 2 a 9 composantes et la matrice de passage comprend 81 composantes (et ces 81 composantes ne peuvent être arbitraires pour un tenseur de rang 2)

C' est ainsi que l'on peut identifier si un vecteur est oui on non un tenseur

Ce qui est écrit au-dessus peut se généraliser. Il s'agissait de tenseurs contravariants de rang 2

On peut généraliser a des tenseurs contravariants de rang n

VTVTVTVT V

qui est un tenseur de rang 5

On peut introduire l'espace dual de V (l'espace des formes) noté V* et définir un tenseur de rang 5 covariant:

V*TV*TV*TV*T V*

qui se transformera différemment que son jumeau covariant.

On peut également définir des tenseurs mixtes de rang 5:

VTVTVTV*T V*

Qui est 3 fois contravariant et 2 fois covariant

Si par exemple du considère les tenseurs de rang 2 il y a de 3 sortes:

1 2 fois covariant,

un autre 2 fois contravariant

et enfin un mixte:

1 fois covariant 1 fois contravariant.

Tu pourras vérifier que ces 3 tenseurs sont 3 vecteurs de même dimension, mais que leurs comportements dans un changement de base est complétement différent.

Si tu fais une combinaison linéaire de ces 3 vecteurs alors tu auras bien un vecteur mais celui-ci ne sera pas un tenseur car n'ayant pas les bonnes propriétés dans un changement de base.

[mariposa]

Bonjour,

En fait la dualité entre contravariant et covariant est tout simplement dû au fait que lors d'un changement de base , les matrices de passage concernant les vecteurs de base et les composantes sont inverses l'une de l'autre. Cela permet, par exemple, la contraction des indices.

Patrick

Non pas du tout, la dualité n'a rien avoir avec la contraction des indices.

La contraction des indices est un autre moyen (autre que le produit tensoriel) de fabriquer des tenseurs a partir de tenseurs mixtes (et seulement mixtes)

A partit d'un tenseur de valence (n,p) on obtient un tenseur de valence (n-1, p-1).

Dans le cas extrême ou tu as un tenseur mixte de rang 2 (1,1) la contraction de donne un tenseur de rang 0 (0,0) cad un scalaire

[invité576543]

Ces notions de covariant et de contravariant sont pourtant (du moins dans toute les lectures que j'ai pu faire) présentées comme un comportement relativement à un changement de base.

Il y a d'autres lectures possibles

La vision "composantes" et "changement de base" ne permet pas de bien percevoir la nature profonde d'un tenseur.

Une représentation par composantes n'est qu'une manière de calculer avec des tenseurs. (Tout comme décrire une vitesse par des composantes n'est qu'une manière de calculer avec une vitesse. La "nature" d'une vitesse n'est pas d'être un triplet de réels!)

Les tenseurs sont essentiellement des applications multi-linéaires. C'est la généralisation de la notion de matrices, qui sont elles-mêmes des représentations d'applications linéaires. (Une matrice carré (n, n) réelle c'est une représentation en composantes d'un élément de GL(n), l'espace vectoriel de dimension n² des applications linéaires d'un espace isomorphe à Rⁿ dans un espace isomorphe à Rⁿ.)

Etant donné un espace vectoriel V sur K, les tenseurs d'ordre (n, m) sont les applications multilinéaires de Vⁿ(V*)^m dans K (ou en permutant n et m, me rappelle jamais de la convention!). [Et une matrice carrée correspond à un tenseur (1,1)...]

Les composantes usuellement présentées des tenseurs sont celles dans des bases particulières, construites à partir d'une base de V et d'une base de V*.

^{tu fais référence à la bidualité V est isomorphe à V** ?}

Pas seulement. Surtout à l'idée d'ensemble d'applications linéaires, les morphismes d'espaces vectoriels. (La bidualité justifie le mot même de "dual" ; ceci dit, si on parle de variété, l'espace tangent et l'espace cotangent en un point sont dual l'un de l'autre, mais pas interchangeables.)

Cordialement,

[mariposa]

Les tenseurs sont essentiellement des applications multi-linéaires.

Certainement, mais c'est à cause de cette introduction que beaucoup de physiciens ne comprennent vraiment pas la nature d'un tenseur et conséquemment la TRG.

exemple:

Qu'elle est la nature tensorielle de E (champ électrique) et de B (champ magnétique)?

Où sont les applications multilinéaires?

Autre exemple:

Dans la matière la loi de Newton s'écrit:

F = M.dV/dt

M est une matrice symétrique 3*3

quelle est la nature tensorielle de F,M, V

Où sont les applications linéaires?

[invité576543]

Certainement, mais c'est à cause de cette introduction que beaucoup de physiciens ne comprennent vraiment pas la nature d'un tenseur et conséquemment la TRG.

Cela doit être parce que je ne suis pas un physicien que je n'avais rien compris aux tenseurs sur la base de cours ne parlant qu'en composantes et changement de base Par contre, c'est devenu limpide pour moi (et finalement assez simple) quand j'ai lu des explications en termes d'appli linéaires, de différence vecteur/forme, etc.

Exemples:

Qu'elle est la nature tensorielle de E (champ électrique) et de B (champ magnétique)?

Ensemble, un tenseur 4x4 antisymétrique, l'application linéaire qui à la 4-vitesse associe la force divisée par la charge. (Ou, autre version, vecteur courant (la charge fois la 4-vitesse) --> la force.)

(Pour une bilinéaire, faut un "produit scalaire" avec la force. L'exemple naturel est le travail, la force par le déplacement. Alors le tenseur (E,B) associe bilinéairement à la paire (vecteur q fois la vitesse ;vecteur déplacement infinitésimal) le travail infinitésimal...)

Dans la matière la loi de Newton s'écrit:

F = M.dV/dt

M est une matrice symétrique 3*3

quelle est la nature tensorielle de F,M, V

Où sont les applications linéaires?

F = M (dv/dt) est l'application linéaire elle-même! (Qui au vecteur dv/dt associe la force.)

Ceci dit je préfère une autre version :

Le tenseur symétrique M est l'application linéaire qui associe à une vitesse v la quantité de mouvement p. (Et ensuite, F=dp/dt.)

On le voit bien avec les torseurs, où le tenseur symétrique 6x6 (I, m) est une application linéaire qui associe au torseur de vitesse le torseur (moment, quantité de mouvement).

Etc.

Cordialement,

[invité576543]

Autre point, j'ai tendance à séparer la théorie des représentations (linéaires) des groupes, et les tenseurs.

Les tenseurs, c'est juste de l'algèbre linéaire, une extension naturelle de l'algèbre linéaire à base de matrices telles qu'enseignée au lycée. (Ainsi que ce de notions "tordues" comme le produit vectoriel ou le produit scalaire...)

La TR(L)G, c'est la collusion entre théorie des groupes et l'algèbre linéaire. (Et donc prend pleinement son essor avec les tenseurs, forme plus aboutie de l'algèbre linéaire que se contenter d'applis linéaires sur un e.v.)

Le point commun, et essentiel, c'est la linéarité. (D'où le "L" que je rajoute; parce qu'il y a des représentations non linéaires des groupes, mais cela n'a pas autant d'intérêt que les représentations non linéaires...)

Cordialement,

[mariposa]

Cela doit être parce que je ne suis pas un physicien que je n'avais rien compris aux tenseurs sur la base de cours ne parlant qu'en composantes et changement de base Par contre, c'est devenu limpide pour moi (et finalement assez simple) quand j'ai lu des explications en termes d'appli linéaires, de différence vecteur/forme, etc.

Bien sûr je parle pour les physiciens car il s'agit de résoudre des problèmes concrets et c'est là que l'approche "mathématicienne" blesse. il suffit de voir le nombre de fois que la question des tenseurs a été posé sur ce forum de physique (et non la partie mathématique).

Il a été écrit sur Futura n+ 1 fois qu'un vecteur c'est une matrice colonne et un tenseur de rang 2 une matrice carré.

Quand les gens disent cela il y a 2 erreurs la première est la tendance à confondre vecteur et représentation d'un vecteur, mais surtout de croire qu'une matrice carré quelconque est la représentation d'un tenseur dans une certaine base.

Ceci est totalement faux et pour comprendre cela il faut tester le comportement du vecteur dans un changement de base pour connaitre:

1 S'il s'agit d'un tenseur

2- En cas de réponse positive quel type de tenseurs sachant qu'il y a 3 possibilités.

Il n'existe aucune solution alternative pour résoudre ce problème.

Ensemble, un tenseur 4x4 antisymétrique, l'application linéaire qui à la 4-vitesse associe la force divisée par la charge. (Ou, autre version, vecteur courant (la charge fois la 4-vitesse) --> la force.)

Il n'y a ici aucune démonstration, tu parles d'un résultat connu. En plus le tenseur antisymétrique dont tu parles est relatif a un changement de base dans M4 (Minkovski). Tu peux montrer qu'il s'agit d'un tenseur antisymétrique en étudiant les comportements des composantes dans des transformations de Lorentz, ce qui est loin d'être immédiat.

Je peux reposer la même question en demandant qu'elles sont la nature tensorielle de E et B relativement à R3 (et non M4). Tu verras que la seule façon de répondre à la question c'est bel et bien d'effectuer un changement de base pour identifier la nature des tenseurs.

F = M (dv/dt) est l'application linéaire elle-même! (Qui au vecteur dv/dt associe la force.)

Ceci dit je préfère une autre version :

Le tenseur symétrique M est l'application linéaire qui associe à une vitesse v la quantité de mouvement p. (Et ensuite, F=dp/dt.)

Tu n'as pas répondu sur la nature de ce tenseur symétrique?

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Qu'elle est la différence entre mathématiques et physique?


En mathématique les tenseurs le sont par construction et donc la question n'est pas de savoir si ce sont des tenseurs. Le propriétés des tenseurs ne sont qu'une conséquence.

En physique il faut identifier si des vecteurs sont éventuellement des tenseurs et bien entendu quel type de tenseur.

C'est pourquoi les propriétés deviennent première en physique et c'est pourquoi les physiciens qui n'ont pas l'esprit matheux ne comprennent pas la logique mathématicienne.

[invite6754323456711]

La contraction des indices est un autre moyen (autre que le produit tensoriel) de fabriquer des tenseurs a partir de tenseurs mixtes (et seulement mixtes)

A partit d'un tenseur de valence (n,p) on obtient un tenseur de valence (n-1, p-1).

Ceci est démontré en utilisant la propriété que les matrices de changement de base sont inverse l'une de l'autre.

Maintenant cette notion de covariant et contravariant ne semble servir qu'a complexifier la compréhension des tenseurs. Qu'elle est sa fonction ?

Il me semble qu'une approche basé sur la notion application/forme linéaire, comme le fait remarquer Michel, apporte plus de compréhension. Elle est plus fonctionnelle, ce qui correspond plus, me semble t-il, à notre mode de pensée.

Par exemple la notion de différentielle en un point donnée présenté sous forme d'application linéaire apparait de manière très simple http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1975334. Le pas vers la notion de gradient du coup s'en trouve simplifier (Définition mathématique) http://fr.wikipedia.org/wiki/Gradient


Maintenant on trouve peu de cours disponible sur internet proposant cette approche.

Ce qui importe est qu'une grandeur physique possède une "existence" intrinsèque, indépendante de tout système de référence. Aucun système de référence n'est privilégié. Le tenseur est un outil qui permet de refléter cette caractéristique intrinsèque.

Pourquoi jouer avec les bases si la finalité est une meilleure compréhension et non faire des calculs ?


Patrick

[mariposa]

Ceci est démontré en utilisant la propriété que les matrices de changement de base sont inverse l'une de l'autre.

C'est exacte. Cela veut dire qu'a priori l'opération de contraction ne garantit pas qu'il s'agit d'un tenseur. Pour savoir si c'est un tenseur il faut étudier son comportement dans un changement de base.

D'ailleurs tu comprendras par la même occasion que la contraction suer 2 indices de même niveau ne donne pas un tenseur.

Maintenant cette notion de covariant et contravariant ne semble servir qu'a complexifier la compréhension des tenseurs. Qu'elle est sa fonction ?

Effectivement dans une phase d'apprentissage cela complexifie inutilement les choses et cela laisse entendre que les tenseurs sont rattachés à la dualité, ce qui est faux.

La philosophie des tenseurs est de fabriquer des nouveaux vecteurs a partir de 2 (ou plus) espaces vectoriels. Les tenseurs c'est une usine de fabrications de vecteurs à partir d'un moule.

Le concept fondamental mathématique c'est le produit tensoriel.

Ce produit tensoriel va se retrouver des le départ en MQ: Un système de 2 particules est représenté par le produit tensoriel des 2 espaces de Hilbert de chaque particule.

En théorie des groupes, c'est le produit tensoriel de 2 représentations qui va permettre de construire une nouvelle représentation du groupe.


C'est pourquoi il faut prendre très au sérieux les tenseurs car les exercices mentaux qu'il faut mettre en oeuvre pour les tenseurs vont se retrouver reproduits(presque à l'identique) partout en physique.

Il me semble qu'une approche basé sur la notion application/forme linéaire, comme le fait remarquer Michel, apporte plus de compréhension. Elle est plus fonctionnelle, ce qui correspond plus, me semble t-il, à notre mode de pensée.

Je m'efforce de démontrer le contraire.

Par exemple la notion de différentielle en un point donnée présenté sous forme d'application linéaire apparait de manière très simple http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1975334. Le pas vers la notion de gradient du coup s'en trouve simplifier (Définition mathématique) http://fr.wikipedia.org/wiki/Gradient

Dans une période d'apprentissage ce n'est pas la bonne façon, selon moi, de comprendre le gradient, rotationnel, divergence et Cie..


Quand on écrit:

E = grad.F

Tensoriellement, cad du point de vue d'un changement de base.

F est un scalaire (donc un tenseur de rang 0). Grad se transforme comme (x,y,z) c'est donc un tenseur de rang1. le produit d'un tenseur de rang 1 par un tenseur de rang 0 est un tenseur de rang 1.

Que penses-tu de la nature tensorielle de div.E ?

Ce qui importe est qu'une grandeur physique possède une "existence" intrinsèque, indépendante de tout système de référence. Aucun système de référence n'est privilégié. Le tenseur est un outil qui permet de refléter cette caractéristique intrinsèque.

Pourquoi jouer avec les bases si la finalité est une meilleure compréhension et non faire des calculs ?

Patrick

La philosophie des tenseurs est la même que celle des vecteurs.


Une fois définit ce qu'est un vecteur tu peux écrire que:

W = a.V1 + b.V2

Cad qu'il y a une loi de composition qui permet de fabriquer des vecteurs à partir d'autres vecteurs. Il n'est donc pas nécessaire de représenter ces vecteurs dans une base.Il y a isomorphisme entre les vecteurs et leurs représentations matricielles.

De même tu peux représenter le produit scalaire V1.V2 indépendamment des représentations matricielles parce que ce produit scalaire a été construit de telle sorte qu'il soit indépendants des représentions des 2 vecteurs.

Pour les tenseurs c'est la même choses ce sont des vecteurs qui appartiennent à 1 espace vectoriel qui a été construit par produit tensoriel de 2 espaces vectoriels.

Donc tu peux ajouter les tenseurs entre eux a condition qu'ils soient de même espèce. Si tu ajoutes 2 tenseurs l'un est 2 fois covariant et l'autre 2 fois contravariant tu obtiendras bien un vecteur, mais ce vecteur ne sera pas un tenseur (pour le vérifier il faut faire un changement de base).

Il faut toujours avoir sous le coude les propriétés des tenseurs sous un changement de base.

Problème pas évident mais important pour comprendre les tenseurs (c'est lié aux groupes de permutation):

Soit un tenseur contravariant de rang 2 et soit l'opérateur permutation d'indice.

P.Tij = Tji

Est-ce que le vecteur Tij est un tenseur?

[invite6754323456711]

Que penses-tu de la nature tensorielle de div.E ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Divergence_d%27un_tenseur

Partie divergence d'un vecteur.

De plus

En écriture quadridimensionnelle, les équations de Maxwell mettent en jeu la divergence du tenseur de champ électromagnétique et de son dual, qui sont des tenseurs antisymétriques d'ordre 2.

Patrick

[invite6754323456711]

P.Tij = Tji

Est-ce que le vecteur Tij est un tenseur?

Si Tji est un tenseur alors il est symétrique et donc égal à Tij.

L'espace des tenseurs contravariant/covariant de rang 2 est la somme directe du sous-espace des tenseurs symétriques et du sous-espace des tenseurs antisymétriques.

Pour savoir si c'est un tenseur il faut utiliser les critères de tensorialité dont la multiplication contractée.

Patrick

[invité576543]

mais surtout de croire qu'une matrice carré quelconque est la représentation d'un tenseur dans une certaine base.

Ce qui est la même chose que confondre une représentation et un objet. Un tenseur étant une application multilinéaire de VⁿV*^m, il faut montrer que la matrice est bien utilisée comme représentant un tel objet.

Ceci est totalement faux et pour comprendre cela il faut tester le comportement du vecteur dans un changement de base pour connaitre:

Bien d'accord, et ces tests sont exactement la même chose qu'il s'agir de la représentation d'une application multilinéaire de VⁿV*^m à partir d'une base de V et d'une base de V*.

Les tests de changements de base sont les algorithmes testant la propriété.

Il n'y a ici aucune démonstration, tu parles d'un résultat connu.

Ben oui, puisque la question portait sur un résultat parfaitement connu

C'est l'équation de Lorentz, et c'est ce qui définit le tenseur champ e.m. Il est vrai qu'il faut l'écrire correctement (en faisant intervenir la métrique, ou, dans ce cas, en choisissant proprement la position des indices). L'invariance par changement de base c'est le principe de covariance générale.

Je peux reposer la même question en demandant qu'elles sont la nature tensorielle de E et B relativement à R3 (et non M4). Tu verras que la seule façon de répondre à la question c'est bel et bien d'effectuer un changement de base pour identifier la nature des tenseurs.

Là, pareil, on peut le faire en se ramenant aux équations définissantes.

Pour moi les tests de changement de base, c'est comme l'analyse dimensionnelle. C'est une méthode pour vérifier une exigence, la cohérence dimensionnelle dans un cas, la covariance dans l'autre. (Et, à bien regarder, c'est la même, en incluant dans les changements de base les changements d'unité.)

Tu n'as pas répondu sur la nature de ce tenseur symétrique?

Pour le tenseur inertie? C'est . Dans le cas ponctuel c'est la masse scalaire fois le tenseur métrique. (L'idée que p est un 1-forme est inhérente au fait que c'est la variable conjuguée des translations.)

Cordialement,

[invité576543]

Pour résumer, il ne faut pas confondre moyen et buts.

La définition d'un tenseur comme une application multilinéaire de VⁿV*^m dans K ne parle nulle part de composantes ou de bases ou de changements de base.

Montrer qu'un objet est un tenseur est équivalent à montrer qu'il s'agit d'une telle application. Pour le tenseur e.m., dire que la 4-force est une fonction linéaire de la 4-vitesse suffit totalement à cela.

Le test des changements de base est un test algorithmique, portant sur une matrice généralisée, et permettant de décider si cette matrice est utilisée (dans certaines formules, donc) comme représentant une application multilinéaire dans une base particulière.

Une matrice généralisée donnée est "neutre". Elle peut représenter n'importe quoi. Elle n'est pas tenseur ou pas tenseur. Elle est utilisée pour représenter un tenseur ou autre chose.

L'approche "test par les composantes" est liée à l'approche plus générale consistant à présenter les lois physiques à partir de composantes.

Il y a une bonne raison à cela : l'explicitation sous forme de composantes est la finalité puisque c'est celle qui permet les calculs.

Mais il y a toujours (principe de covariance générale) une explicitation des lois sans composantes. Simplement parce que les bases, les référentiels, les repères, ne sont pas des "entités physiques", pas plus que les unités; on les choisit arbitrairement, et on en a besoin pour les calculs.

Notons que ce n'est pas limité aux tenseurs. Les coeff de Christoffel pour expliciter sous forme de composantes une connexion s'analysent de la même manière. La connexion est un objet géométrique par elle-même. C'est le choix d'une jauge (d'une image du groupe structurel dans chaque fibre ), ainsi que d'une base pour chaque fibre, qui va amener une expression en composantes.

Mais, bon, le plus gros de l'enseignement de la physique porte sur les représentations en composantes. Mettre l'accent sur l'algorithmique s'appliquant à ces représentations est une approche très pragmatique! J'imagine qu'on peut parfaitement faire de la physique en se limitant à cela, sans chercher à comprendre la nature et propriétés des objets ainsi représentés.

Cordialement,

[stefjm]

Mais, bon, le plus gros de l'enseignement de la physique porte sur les représentations en composantes. Mettre l'accent sur l'algorithmique s'appliquant à ces représentations est une approche très pragmatique! J'imagine qu'on peut parfaitement faire de la physique en se limitant à cela, sans chercher à comprendre la nature et propriétés des objets ainsi représentés.

Faire de l'AD sur les tenseurs au niveau terminal : Mon rêve...

Concernant le classement tensoriel des grandeurs, as-tu trouver mieux que la page de Lavau?
http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/DIMENSIN.pdf

Cordialement.

[invite6754323456711]

Mais il y a toujours (principe de covariance générale) une explicitation des lois sans composantes. Simplement parce que les bases, les référentiels, les repères, ne sont pas des "entités physiques", pas plus que les unités; on les choisit arbitrairement, et on en a besoin pour les calculs.

Par exemple, Il semblerait que les mécaniciens font usage des espaces vectoriels affines (ou la longueur ne peut être définie) ou une fonction y = f(x) se représentera par une courbe. Mais, suivant les conventions d'unités et d'axes, cette courbe se déformera. Par contre certaines relations conserveront un sens invariant.

Il semblerait donc que c'est en jouant sur cette notion importante d'invariant que le mécanicien trouve certaines formules de loi de comportement d'un matériau.


Patrick

[invité576543]

Concernant le classement tensoriel des grandeurs, as-tu trouver mieux que la page de Lavau?
http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/DIMENSIN.pdf

A quel sens "trouver"? Une autre "publi"? Ou par moi-même?

(Dans le premier cas, non. Dans le second, ça dépend.)

Perso, je trouve l'approche un petit peu trop "numérologique".

Là, mariposa a raison, l'éclairage par la théorie de représentation des groupes est meilleur.

Quand on parle des tenseurs s'appliquant à V = un espace vectoriel tangent en un point à l'espace affine qu'est l'espace-temps, c'est la symétrie de l'espace affine plat correspondant, c'est à dire son groupe de symétrie (Poincaré ou Galilée) qui intervient.

C'est l'étude des représentations de ces groupes qui permet une analyse des tenseurs sur ledit V.

Cela amène des considérations sur les dimensions par le raisonnement suivant (il me semble).

Les notions de énergie/quantité de mouvement/masse sont directement liée à la représentation non triviale la plus simple, celle liée aux translations (i.e., aux vecteurs). Du coup cela fait apparaître l'unité correspondante dans les autres représentations.

Il y a d'autres aspects superficiels dans la présentation. Elle ignore la dualité de Hodge, et plus généralement l'algèbre extérieure.

(Certains tenseurs ont une signification tout à fait "triviale", révélée par l'algèbre extérieure. J'appelle cela "la physique comptable", qui consiste, comme tout bon comptable, à partir de règle genre "la modification d'un stock est égale à la somme du bilan des flux d'entrées-sorties et de la création/destruction nette".)

Bref, comme je l'avais dit dans des échanges anciens avec toi, je m'étais forgé, de manière indépendante, un cadre conceptuel très proche de celui exposé dans le doc [dont les réflexions sur les radian, le produit vectoriel, l'importance de A dans les dimensions, la notion de caractère géométrique, entre autres. J'ai été pas mal frappé par le parallèle, on en avait déjà parlé.]; mais il me semble que la physique moderne permet d'aller plus en profondeur que cela, avec entre autre la théorie des groupes et l'algèbre extérieure.

Cordialement,

[mariposa]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Divergence_d%27un_tenseur

Partie divergence d'un vecteur.

De plus


Patrick

Bonjour,


Cela concerne l'extension des opérateurs aux coordonnées curvilignes.

Avant d'en arriver il faut apprendre a manipuler ces opérateurs il faut savoir les manipuler en coordonnées cartésiennes.


Donc je repose ma question quelle est la naturelle tensorielle de:


div.E


Ce raisonnement est extrêmement important en TRG.

[stefjm]

A quel sens "trouver"? Une autre "publi"? Ou par moi-même?
(Dans le premier cas, non. Dans le second, ça dépend.)
Perso, je trouve l'approche un petit peu trop "numérologique".

Tu va donc pouvoir publier un papier original sur le sujet? (Ce sera où? sur FSG?)

Là, mariposa a raison, l'éclairage par la théorie de représentation des groupes est meilleur.

Quand on parle des tenseurs s'appliquant à V = un espace vectoriel tangent en un point à l'espace affine qu'est l'espace-temps, c'est la symétrie de l'espace affine plat correspondant, c'est à dire son groupe de symétrie (Poincaré ou Galilée) qui intervient.
[...]
Il y a d'autres aspects superficiels dans la présentation. Elle ignore la dualité de Hodge, et plus généralement l'algèbre extérieure.

Il va falloir que je prenne mes médecines pour me mettre à niveau.

(Certains tenseurs ont une signification tout à fait "triviale", révélée par l'algèbre extérieure. J'appelle cela "la physique comptable", qui consiste, comme tout bon comptable, à partir de règle genre "la modification d'un stock est égale à la somme du bilan des flux d'entrées-sorties et de la création/destruction nette".)

Les flux, les circulations, le lien entre volume, surface, longueur?
Je sens qu'il y a des liens dimensionnel entre tout cela mais je n'ai encore rien trouver de bien clair...

Bref, comme je l'avais dit dans des échanges anciens avec toi, je m'étais forgé, de manière indépendante, un cadre conceptuel très proche de celui exposé dans le doc [dont les réflexions sur les radian, le produit vectoriel, l'importance de A dans les dimensions, la notion de caractère géométrique, entre autres. J'ai été pas mal frappé par le parallèle, on en avait déjà parlé.]; mais il me semble que la physique moderne permet d'aller plus en profondeur que cela, avec entre autre la théorie des groupes et l'algèbre extérieure.

C'est toi qui va en écrire la synthèse?

[invite6754323456711]

Donc je repose ma question quelle est la naturelle tensorielle de:

div.E

Ce raisonnement est extrêmement important en TRG.

hermaphrodite ?

Je suis toujours intéresser à comprendre en quoi cette notion de covariance/contravariance est extrêmement importante.

Patrick

[mariposa]

Si Tji est un tenseur alors il est symétrique et donc égal à Tij.

L'espace des tenseurs contravariant/covariant de rang 2 est la somme directe du sous-espace des tenseurs symétriques et du sous-espace des tenseurs antisymétriques.

Pour savoir si c'est un tenseur il faut utiliser les critères de tensorialité dont la multiplication contractée.

Patrick

Cet exercice montre que tu ne comprends pas ce que sont les tenseurs (et tu es loin d'être le seul ).


Je repose la question plus précisemment:

Soit un tenseur T contravariant de rang 2 (c'est un vecteur) dont les composantes sont Ti,j (il est quelconque mais n'est pas symétrique).

Soit B le vecteur tel que:

B = P.Ti,j = Tj,i

Autrement dit P est défini comme un opérateur qui permute les indices.


La question est: Quelle est la nature tensorielle (si elle existe) du vecteur B?

Ceci n'est pas un exercice académique mais un ingrédient fondamental pour comprendre la dualité de Weyl entre tenseurs et groupes de permutation.

C'est grâce à ce théorème que l'on peut par exemple écrire les fonctions d'onde de saveur de tous les hadrons.

[invité576543]

Tu va donc pouvoir publier un papier original sur le sujet? (Ce sera où? sur FSG?)

Nulle part. Je n'en suis pas capable, et j'admire Lavau et les autres d'arriver à trouver le temps de mettre leurs idées au clair et sur papier!

C'est toi qui va en écrire la synthèse?

Pareil, non. Même raison.

Entre autre parce qu'il y a des choses que j'entrevois, sans maîtriser.

Il me semble important de savoir qu'il y a tel ou tel champ de connaissance qui est pertinent à tel ou tel problème, même si on ne comprend pas ledit champ. Mais avoir trop conscience de cela amène à l'impossibilité de faire une synthèse, que ce soit une qui ignore ces autres champs (parce qu'on sait que c'est trop étriqué), ou que ce soit une qui inclue ces autres champs (faute de maîtrise).

Cordialement,

[invité576543]

hermaphrodite ?

Je suis toujours intéresser à comprendre en quoi cette notion de covariance/contravariance est extrêmement importante.

Si tu vois bien la différence entre le tangent et le cotangent, (entre vecteurs du tangent et 1-forme), que tu comprends ce qu'est un gradient, et plus généralement la relation entre un espace vectoriel et son dual (dont le fait qu'ils sont isomorphes, et l'importance du choix d'un isomorphisme particulier), alors la différence entre covariant et contravariant est claire.

La notion n'est pas importante en euclidien, parce que l'isomorphisme choisi se comporte "comme l'identité" (en relation avec une écriture diag(1,1,1) en 3D par exemple). Mais elle est très important en Minkowskien, parce que l'isomorphisme se comporte différemment, entraînant des changements de signe.

Cordialement,

[invité576543]

Pour être plus clair, une métrique ou pseudo-métrique induit un isomorphisme entre le tangent et le cotangent par



En euclidien on peut choisir une base de V et une de V* tel que la métrique ait pour composantes dans cette "paire de bases" la matrice identité.

Plus généralement en signature (n,m) on peut choisir une base de V et une de V* qui diagonalisent la métrique, mais c'est alors diag(n, m), donc pas l'identité dans le cas Minkowskien. D'où des effets particuliers quand l'isomorphisme intervient.

Cordialement,

[invité576543]

(et tu es loin d'être le seul ).

Si par hasard cela me visait (et il est aisé à un lecteur non averti de ce fil de le comprendre comme cela *), je vois cela comme une auto-justification de votre part. Toujours facile de se dire (et de dire) que c'est les autres qui ne comprennent pas en cas de divergence d'opinion. Cela rassure.

Cordialement,

* C'est le danger des affirmations elliptiques. Elles sont interprétables de différentes manières...

[mariposa]

Bonjour à tous,


Je voudrait faire une remarque très générale.

Je constate que pratiquement tout le monde assimile tenseur avec géométrie différentielle.


Cette assimilation n'est pas correcte car la philosophie fondamentale des tenseurs est de fabriquer de nouveaux espaces vectoriels à partir d'espaces vectoriels de base.

Ces nouveaux espaces vectoriels ne sont pas quelconques ils héritent d'une propriété qui découle du changement de base dans les espaces vectoriels générateurs et c'est justement parce qu'ils possèdent ces héritages que l'on peut les écrire indépendamment de leur représentation en composantes.


A chaque fois que l'on veut créer un nouveau tenseur il faut vérifier qu'il a le bon comportement dans un changement de base.

L'exemple classique est l'opération de contraction d'indices.

J'ai posé un exercice à U100fil concernant l'opérateur permutation d'indice.

A chaque fois il faut se référer aux propriétés de changement de base.

Avant de se lancer dans l'expression des tenseurs en coordonnées curvilignes il faut s'entrainer en coordonnées cartésiennes et c'est là que l'on apprend vraiment sur des exemples simples la philosophie des tenseurs.

Pour illustrer ceci j'ai posé la question de la nature tensorielle des 2 vecteurs de R3 a 3 composantes que sont le champ électrique E et le champ magnétique B. Traiter correctement cette question est primordiale.

De même répondre à la nature tensorielle de:

grad.f

div.E

delta.A

rot.E

Bien entendu en coordonnées cartésiennes.


L'extension des tenseurs en coordonnées curviligne bute sur un problème:

On pourrait penser que la dérivée d'un vecteur est un tenseur.

En effet en composantes on a:

dVm/dXn est un vecteur qui fait penser à un tenseur mixte du second ordre. Hélas un changement de base montre que ce n'est pas un tenseur. On montre alors comment fabriquer une dérivée d'un vecteur qui soit un tenseur et c'est ainsi que l'on invente la dérivée covariante.

Une fois inventé un nouveau tenseur alors il n'est pas nécessaire de faire référence a ses représentations en composantes puisqu'il s'agit d'un tenseur. On peut donc faire le produit tensoriel d'une dérivée covariante par un tenseur mixte de rang 3 sans faire référence aux composantes car le travail sur les changements de base ont été mis au point auparavant.

A noter que le concept de dérivée covariante est lié aux systèmes de coordonnées curvilignes et donc n'a pas de rapport a priori aux espaces courbes.


L'autre direction d'applications des tenseurs c'est la TRG et c'est de loin dans ce domaine que les tenseurs sont les plus utilisés. Cet aspect est complétement occulté sur Futura.

Les tenseurs sont des espaces vectoriels qui sous-tendent des représentations du groupe GL (n,R)

où n est la dimension de l'espace tensoriel. En conséquences ces tenseurs sont à même de représenter tous les sous-groupe de GL(n,R) qu'ils soient continus ou discret.

Par exemple un tenseur de rang 2 peut représenter le groupe discret du méthane CH4 noté C3v.

Plus précisément en MQ les espaces de travail sont des espaces de Hilbert et donc tous les tenseurs qui travaillent dans l'espace réel agissent dans les espaces de Hilbert via leurs représentations.


Dans le "couplage" tenseurs TRG le plus important ce sont la recherche des sous-espaces invariants d'un tenseur particulier (cad trouver les représentations irréductibles cad les plus petits sous-espaces invariants. Cela se fait par des changements de base judicieux et faire de la TRG c'est prendre conscience quelle est l'essence profonde des tenseurs.


I y a eu une discussion récente sur le programme d' Erlangen et la théorie des variétés fibrées qui montre qu'en final tout est une question de groupe et rien d'autre. Ce que l'on appelle fibré principal c'est une fibre qui est un groupe de Lie G et dont l'action sur la fibre est le groupe de Lie G lui-même.

En bref croire que l'on peut comprendre les tenseurs en dehors des groupes est une erreur grossière, voire impardonnable tant que ces aspects sont largement ignorés dans les cours de physique alors que ces outils sont utilisés couramment même par les expérimentateurs et même par les chimistes qui ne sont pas en général des amateurs de mathématiques.