Cela permet de caractériser la variété de manière intrinsèque sans avoir besoin de la plonger dans une dimension plus grande. Cette caractérisation va permettre par exemple de définir les géodésiques qui sont les lignes d'univers des particules (avec masse) au repos en 4D correspondant à des points en 3D.Envoyé par Les Terres Bleues
Patrick
Ton intervention semble bien confirmer que c'est là que se trouve l'articulation qui selon moi fait problème entre maths et physique.
Je suis allé chercher le message de Mariposa :Mathématiquement, tout est bien goupillé.
Mais physiquement, notre univers (espace-temps/matière-etc.) possède obligatoirement une métrique (définie par la distribution de la masse-énergie- quantité de mouvement), donc il implique forcément le choix de la connexion, celle de Levi-Civita en l'occurrence.
Du coup, parler d'un espace-temps sans métrique autrement que comme un pur concept mathématique (j'avais écrit une "vue de l'esprit"), c'est-à-dire envisager un tel espace-temps comme une notion ayant un sens physique est une démarche erronée.
Dit autrement, en physique il n'existe pas d'espace non-défini par de la matière.
Cordiales salutations.
Une métrique est aussi un concept mathématique http://fr.wikipedia.org/wiki/Metriqu...thematiques%29
Du fait de la signature ayant des signes différents c'est donc une sorte de métrique appelé pseudo-métrique http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur...-m.C3.A9trique
Du point de vue de la topologie, la surface d'un ballon de foot ou d'un ballon de rugby est la même. Pour faire la différence il faut une métrique.
La métrique est elle pour autant une propriété du ballon ?
Patrick
Bien entendu.No problemo.Du fait de la signature ayant des signes différents c'est donc une sorte de métrique appelé pseudo-métrique.Oui, je partage.Du point de vue de la topologie, la surface d'un ballon de foot ou d'un ballon de rugby est la même.Pas tout à fait. Ces deux surfaces sont différentes, et la métrique permet d'exprimer la différence entre ces deux surfaces.Pour faire la différence il faut une métrique.
Nuance.
De la même manière que le concept de couleur permettrait d'exprimer qu'ils possèdent une couleur différente le cas échéant, ou peut-être la même si ça se trouve.Ni plus ni moins que toutes ses autres caractéristiques concrètes traduites par une notion abstraite, il me semble.La métrique est elle pour autant une propriété du ballon ?
Cordiales salutations.
La pseudo-métrique serait donc le concept de base qui nous permet d'identifier la connexion de manière univoque afin de prédire le futur très proche (infinitésimal) d'une particule (son évènement futur, sa ligne d'univers). Les deux principes, moindre action et causalité, serait donc utilisé de manière complémentaire.
Patrick
Il y a d'autres possibilités. Par exemple une 2-forme "surface". Je n'ai pas regardé en détail, mais c'est peut-être suffisant pour distinguer entre les divers ellipsoïdes.
C'est un peu plus compliqué. Déjà parce que tu parles de surfaces plongées dans un espace 3D euclidien. Du coup, la métrique est une propriété de l'espace euclidien, qui se traduit canoniquement en une métrique particulière du ballon (par projection perpendiculaire sur chaque plan tangent). Et quant tu parles de la différence entre sphère et ellipsoïde non sphérique, tu parles implicitement de paramètres qui influencent cette métrique-là.La métrique est elle pour autant une propriété du ballon ?
Mais si tu parles en intrinsèque, alors la réponse sera dans la clarification de la question! En effet, de quelle différence intrinsèque parles-tu quand tu distingue sphère et ellipsoïde non sphérique? Si tu réponds par une propriété métrique (e.g., existence ou non de géodésiques de différentes longueurs), alors évidemment la métrique est une propriété du ballon!
Cordialement,
C'est plutôt, si on veut être précis dans la nuance, "Ces deux surfaces sont différentes* parce que la métrique euclidienne 3D permet d'exprimer la différence entre ces deux surfaces".
Les deux modifications ne sont pas du pinaillage.
Le "sont différentes" dans la première partie ne peut pas être utilisé en absolu. Il faut spécifier quelque part en quoi elles sont différentes. (Et en absolu, c'est une tautologie, à cause du sens du mot "deux".)
La précision sur la métrique est nécessaire, puisqu'on peut appliquer le mot aussi bien à l'espace environnant qu'à une métrique sur la surface même. (Et la différence entre sphère et ellipsoïde est bien, par définition de ces termes, une propriété métrique 3D : l'égalité ou non des longueurs des axes principaux.)
Cordialement,
* On devrait écrire "ne sont pas isomorphes", en fait. Et expliciter pour quel ensemble d'isomorphismes...
C'était avant tout une métaphore pour comprendre l'importance fondamentale de la métrique. La métrique semble être un concept incontournable qui contribue à caractériser la variété espace-temps afin de déduire les lignes d'univers des particules. La variété topologique ne suffit pas (d'où mon exemple du ballon) il faut rajouter des contraintes.
Il semblerait donc que la métrique soit incontournable pour identifier la connexion.
Patrick
Je ne sais pas. Ce n'est pas parce que c'est ce qui apparaît dans la formulation de la physique de l'espace-temps qu'on peut parler de "incontournable".
Que la structure de variété différentiable soit insuffisante pour faire un modèle physique utile, c'est très vraisemblable. Que la structure métrique soit incontournable pour parler de la longueur d'un objet ou la durée d'un phénomène, c'est quasiment évident (longueur et durée sont des concepts métriques).
Maintenant, entre les deux, les physiciens et mathématiciens ont des tas de choses, comme par exemple la géométrie symplectique (e.g., la 2-forme surface dont je parlais) ou la symétrie conforme. Deux domaines que je ne maîtrise pas du tout, mais dont j'ai conscience de l'existence.
Cordialement,
C'est aussi apparemment pour identifier l'évènement futur d'une particule inerte par exemple. C'est parce-que l'espace-temps "possède" une métrique qui le caractérise que l'on peut déduire ses évènements futur ? La métrique serait elle une propriété de l'espace-temps ?
J'arrive à concevoir que la courbe soit une propriété intrinsèque de l'espace-temps parce qu'il existe différente géométrie. La métrique m'est plus difficile.
Patrick
Il y a aussi le concept "primitif" de quantité d'accélération qui est une caractéristique du changement du système étudier. Une géodésique est la conséquence d'une quantité d'accélération nulle d'un vecteur tangent (quadri-vecteur) non ?
Patrick
Je trouve cette précision-rectification extrêmement intéressante.
D'abord, et c'est là l'important parce qu'elle est plus précise, plus juste ou plus exacte que la mienne, en tout cas davantage relative et donc non-absolue.
Ensuite, parce qu'elle exprime bien mieux que je ne saurais le faire ce que je cherche à dire avec beaucoup de difficultés depuis un moment.
Une surface par définition est une séparation entre deux milieux, donc elle "appartient" simultanément -- la compréhension de la simultanéité ne pose aucun souci dans ce cas-là -- aux deux, et elle représente l'articulation relative que je considère comme étant la seule vraie dépositaire du sens physique.
La surface appartient au ballon et à l'espace environnant.
Je ne sais pas si j'ai été plus clair que le message que je cherchais à commenter. Quoi qu'il en soit, pour le coup, je suis vraiment content.
Bravo Michel,
Cordiales salutations.
Hmm...
La notion de surface comme séparation entre domaines 3D (notion de bord, "la surface du Soleil") n'est pas la même que la notion de surface comme variété de dimension 2.
C'est le problème avec les images genre ballon et autre : on pense plongement (bord d'un domaine 3D par exemple) plutôt que variété en tant que telle.
C'est la différence à laquelle référait les mots intrinsèque et extrinsèque.
Cordialement,
Les théories des nœuds et des tresses ne reviennent-elles pas dans cet démarche extrinsèque ? Théories qui possèdent des liens avec des domaines comme la topologie.
Patrick
On peut la voir aussi comme une séparation entre deux voisinages de la même variété. Les espaces topologiques peuvent être qualifiés de différentes manières en termes de séparation, de recouvrements ou de connexité.
Patrick
Dernière modification par invite6754323456711 ; 21/12/2009 à 11h38.
Précision, ma remarque portée sur le point de vue que la démarche extrinsèque n'est me semble t-il pas à jeter aux orties, elle peut servir dans d'autre domaine de la physique si elle ne s'applique pas à la gravité.
Patrick
Oui, je pense qu'il ne faut interpréter le concept mathématique qu'à l'approximation physique près.
On peut appliquer la modélisation pour la surface du Soleil par exemple uniquement si l'on s'en trouve suffisamment loin. Mais c'est exactement la même chose pour le ballon ou quoi que ce soit d'autre. On sait très bien qu'en approchant au microscope électronique une surface physique, celle-ci n'offre aucunement la continuité qu'on lui reconnaît en tant que variété.
Et une logique aussi puissante devrait nous conduire à interpréter physiquement la notion de "surface" d'une particule (Einstein parlait ironiquement de "croûte" du proton) comme étant une "réalité" aussi poreuse que celle d'un amas de galaxies.
Tout est affaire de proportions donc de dimensions relatives. Et plus on s'approche (théoriquement) des éléments constitutifs d'une surface, plus celle-ci recule et n'est jamais atteignable.
Entre chaque atome constituant le cuir du ballon, il existe un immense gouffre empli par un champ mais jamais par de la matière au sens classique du terme. Pourtant ce champ n'existe pas "en soi" car il n'est défini que par cette matière qui demeure intouchable.
Mais peut-être qu'en voulant expliciter mon analyse, je l'embrouille encore une fois un petit peu plus ?
Cordiales salutations.
Il me semble aussi qu'il est possible de voir les choses ainsi que tu le proposes.
Demeure simplement à préciser ce qui relève des maths et ce qui appartient au domaine de la physique. Si pour les uns, le sens attribué au concept ne pose pas question (formalistes, platoniciens, constructivistes, le débat continue mais n'empêche pas la recherche), il en va différemment en physique où l'expérience est à la fois le point de départ et celui d'arrivée de l'hypothèse.
Re-citation : "la métrique contraint totalement la connexion".
Cordiales salutations.
Quelques définitions extraite de wikipédia
Ces notions de continuité et de variété sont a prendre avec des pincettes car elle ne correspondent pas à notre sens commun intuitif.La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire et un contexte général pour traiter des notions de limite, de continuité, dans le cadre d'un continuum ou d'un espace discret, voire fini. Dans ce contexte, les espaces topologiques forment le socle conceptuel dans lequel ces notions sont définies.
Le cadre est suffisamment général pour s'appliquer à un grand nombre de situations différentes : ensembles finis, discrets, espaces de la géométrie euclidienne, espaces numériques à n dimensions, espaces fonctionnels les plus complexes et géométrie algébrique.
En topologie générale, un espace discret est un espace topologique D pour lequel toute partie de D est un ouvert.
Si D est un espace discret, et que Y est un espace topologique, alors toute applicationest une application continue.
Tout espace discret D est séparé : on peut séparer deux points distincts x et y par deux ouverts disjoints U et V qui contiennent respectivement x et y
Un espace topologique est un ensemble muni d'une structure très générale (la topologie), qui permet de définir la notion de voisinage d'un point. Cette structure offre le langage pour définir les notions de continuité et de limite.
Une variété est un espace topologique abstrait, construit par recollement d'autres espaces simple
En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s'agit de variétés sur lesquelles il est possible d'effectuer les opérations du calcul différentiel et intégral.
Une variété différentielle se définit d'abord par la donnée d'une variété topologique, espace topologique localement homéomorphe à l'espace euclidien
Une variété topologique M de dimension n est un espace topologique séparé à base dénombrable, tel que chacun de ses points admet un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert de l'espace vectoriel topologique
Un espace métrique est un espace topologique dont la topologie est définie au moyen d'une distance. Cette dernière permet d'estimer la taille d'un ensemble (diamètre), la proximité par rapport à un point, ...
PatrickLe premier exemple de fonctions continues concerne des fonctions réelles définies sur un intervalle et dont le graphe peut se tracer sans lever le crayon. Cette première approche donne une idée de la notion (la fonction ne saute pas) mais n'est pas suffisante pour la définir, d'autant plus que certains graphes de fonctions pourtant continues ne peuvent pas se tracer de cette manière, telle par exemple la fractale.
C'est tout simplement l'usage d'un formalisme mathématique pour aider à décrire des concepts physiques (contraint pas les données empiriques de la nature) afin de lever toute ambiguïté du au vocabulaire et éviter ainsi de partir sur des raisonnements non valide.
Patrick
Il semble exister une autre approche : Un pas vers la géométrie quantique
Patrick
Il faut tous lire, même les commentaires
Et bien sûr aussi je me doute, prêter particulièrement attention à la date de publicationIl faut tous lire, même les commentaires.
Le 1er avril 2009, par David Baumann...
Cordiales salutations.
Edit. Effectivement, c'est dans les commentaires.
Bonsoir,
Un article qui se propose dans le cadre de la RG d'étendre le calcul différentiel absolu en s'affranchissant de toute considération de métrique et en généralisant l'idée du déplacement de Levi-Civita : http://mathdoc.emath.fr/JMPA/PDF/JMPA_1924_9_3_A3_0.pdf
Il faut s'accrocher pour le lire. Il va falloir que j'approfondisse plus la notion de tenseur
Patrick
Je l'ai parcouru rapidement. C'est juste le calcul tensoriel tel qu'on le décrit maintenant. Les notations sont un peu datées, et la présentation est strictement analytique (pas de considérations géométriques).Bonsoir,
Un article qui se propose dans le cadre de la RG d'étendre le calcul différentiel absolu en s'affranchissant de toute considération de métrique et en généralisant l'idée du déplacement de Levi-Civita : http://mathdoc.emath.fr/JMPA/PDF/JMPA_1924_9_3_A3_0.pdf
Il faut s'accrocher pour le lire. Il va falloir que j'approfondisse plus la notion de tenseur
Si le but est d'approfondir la compréhension de la notion de tenseur de dérivée covariante, plutôt que s'accrocher à lire ce texte de 1924, il me semble qu'il vaut mieux prendre des textes de cours récents!
L'article a surtout un intérêt historique, maintenant.
Cordialement,
La dérivé covariante ne peut elle pas exprimer à l'aide d'un gradient de tenseur ?
Les notions de gradient, divergence, laplacien ne peuvent-elles pas être utilisées pour formaliser autrement les géodésiques ?
Patrick
Bonjour,
C'est justement parce que la dérivée d'un vecteur ou d'un tenseur n'est pas un tenseur (dans un système de coordonnées curvilignes - cad système de coordonnées généralisés) qu'il faut inventer un nouveau type de tenseur qui s'appelle la dérivée covariante.
Pour ce qui est du gradient, le passage aux coordonnées curvilignes ne change rien.Les notions de gradient, divergence, laplacien ne peuvent-elles pas être utilisées pour formaliser autrement les géodésiques ?
Patrick
Par contre la forme mathématique de la divergence change puisqu'il s'agit d'une notion de dérivée par rapport a un vecteur et dans ce cas il faut remplacer la dérivée ordinaire par la dérivée covariante. Pour le "Laplacien" même punition puisque Laplacien = div.grad qui implique la dérivée par rapport à un vecteur (ici le gradient).
C'est pourquoi la dérivée covariante est le "nerf de la guerre".
Par construction la dérivée covariante d'un vecteur tangent déplacé le long d'une géodésique est nulle est équivalente, en coordonnée cartésiennes, à ce que la dérivée d'un vecteur constant est nul
Soit le tenseur t défini dans un repère local R associé au point P de coordonnés curvilignes générales xi et aux vecteurs ei de la base locale.
Un champ de tenseurs t(p) étant donné, on peut considérer t comme une fonction des coordonnées xi du point P.
Si on pose
Le gradient du tenseur t = {le tenseur t.i } . "produit tensoriel". {le vecteur de base duale locale ei}
On peut pas le dire dans l'autre sens si la dérivée covariante d'un vecteur tangent déplacé le long d'une courbe est nulle cette courbe est une géodésique ?
Patrick
Oups peut être qu'avec la référence trouvé sur Google cela sera plus lisible http://membres.lycos.fr/thebody/File...ensorielle.docSoit le tenseur t défini dans un repère local R associé au point P de coordonnés curvilignes générales xi et aux vecteurs ei de la base locale.
Un champ de tenseurs t(p) étant donné, on peut considérer t comme une fonction des coordonnées xi du point P.
Si on pose
Le gradient du tenseur t = {le tenseur t.i } . "produit tensoriel". {le vecteur de base duale locale ei}
Patrick
Un point qui me semble pourtant fondamental : Les dérivées covariante et contrevariante du tenseur t, ne sont évidemment pas chacune un être invariant.
Cet être invariant est un tenseur appelé gradient de t
Patrick
Un tenseur en général n'est pas invariant, il est covariant ou contravariant ou mixte. Ave comme exception les tenseurs de rang nul qui sont invariants.
Le gradient d'un tenseur n'est pas un tenseur, donc la question ne se pose pas. par contre la dérivée covariante (ou contravariante) d'un tenseur est un tenseur.
