La grandeur en question est la moyenne géométrique de la longueur-temps...Envoyé par Michel (mmy)
(Et, pire, transformer les longueur en les multipliant par 1\rac(c) et les durées en les multipliant par rac(c); je te laisse étudier les dimensions)
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
En fait, j’ai l’impression que la deuxième citation dément la première, et il paraît alors clair que tu as parfaitement tout compris. J’en déduis que c’était un moyen de me pousser à bosser pour mieux argumenter et justifier ma position.Un vecteur tangent est un serpent qui se mord la queue (dans l’hypothèse d’être retenu comme "base théorique") puisque dans la notion de vitesse, il y a déjà celle de temps et celle d’espace.Moi, ça me choque pas. Je sais pas si c’est bon signe…La grandeur en question est la moyenne géométrique de la longueur-temps…
Cordiales salutations.
Pas vraiment. Pour moi, il n'y a pas (ou très peu) de cas où l'interprétation phénoménologique soit ambigüe. Je ne parlais pas d'observateurs différents, donc pas de contradiction entre les deux.
Pas d'accord. On peut prendre n'importe quelle paire dans (longueur, durée, vitesse) et déduire la troisième. Cela amène trois visions différentes, et je ne vois pas de critère de choix autre que subjectif, une question de goût.Un vecteur tangent est un serpent qui se mord la queue (dans l’hypothèse d’être retenu comme "base théorique") puisque dans la notion de vitesse, il y a déjà celle de temps et celle d’espace.
Mais par ailleurs ma remarque était une réponse à un texte antérieur, qui laissait penser que la distinction espace/temps se faisait sur les coordonnées. Or cela est faux. On peut utiliser tout aussi bien des systèmes ne distinguant pas une de temps et trois d'espace.
Quand on parle de signature (1, 3), on ne parle pas de coordonnées, mais bien de quelque chose (la métrique) qui concerne d'abord les vecteurs tangents.
Cordialement,
Connaissant l et t, déterminez l/t, ou connaissant l/t et l, déterminez t, ou encore connaissant l/t et t, déterminez l, c'est ça que ça veut dire ?
Tu te moques de moi, ou tu fais ta mauvaise bête ?Ah, d'accord. Et ils déterminent quoi ces vecteurs tangents ? De l'espace, du temps ou de l'espace par rapport à du temps.Mais par ailleurs ma remarque était une réponse à un texte antérieur, qui laissait penser que la distinction espace/temps se faisait sur les coordonnées. Or cela est faux. On peut utiliser tout aussi bien des systèmes ne distinguant pas une de temps et trois d'espace.
Quand on parle de signature (1, 3), on ne parle pas de coordonnées, mais bien de quelque chose (la métrique) qui concerne d'abord les vecteurs tangents.
Tu profites de mon bas-niveau pour me promener, c'est ça, hé ?
Allez, je suis pas fâché mais je suis pas content quand même.
Cordiales salutations.
Ni l'un, ni l'autre.
Si l'idée est de considérer deux des dimensions comme "fondamentales", les trois choix sont possibles.
Je ne vois pas d'arguments rationnels permettant de choisir.
Les directions possibles pour s'éloigner d'un événement en restant dans le continuum de l'espace-temps.Et ils déterminent quoi ces vecteurs tangents ?
Non. Une description dans ces termes demande la métrique. Les vecteurs tangents sont une simple conséquence de la notion de variété, indépendamment de tout choix de métrique.De l'espace, du temps ou de l'espace par rapport à du temps.
Non plus. Mais Je n'ai pas d'autre moyen pour expliquer le sujet.Tu profites de mon bas-niveau pour me promener, c'est ça, hé ?
Je ne sais pas quel est le concept qui est nouveau ou difficile pour toi dans ce que je raconte.
(Et ce n'est pas du tout mon style de "promener" quelqu'un qui intervient sur le forum de la manière dont tu le fais.)
Cordialement,
Je crois que l'idée est que la courbure sur une variété peut être caractérisées intrinsèquement en prenant un vecteur tangents en un point et en le transportant parallèlement le long d'une courbe de la variété. http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier..._transport.png
Une notion géométrique bien dé nie sur une variété est celle de courbe. Mathématiquement, une courbe
Pour réaliser le transport parallèle je pense qu'il faut faire usage d'une notion mathématique désigné sous le terme de connexion.
Patrick
Patrick
Maintenant je crois comprendre que pour définir une ligne d'univers il faut au préalable définir une métrique (ou la calculer en RG).
La courbe est appelée ligne d'univers si elle est de genre temps (voir aussi de genre lumière). C'est à dire que le produit scalaire du vecteur tangent en tout point de la courbe est négatif pour une signature (-, +, +, +) de la métrique (ou nul pour le genre lumière).
Patrick
Je regrette de m’être laissé emporter, d’autant que je commence à te connaître un peu, et qu’effectivement, ce n’est pas du tout ta façon de faire de t’amuser aux détriments des autres. Donc, je te prie de bien vouloir m’excuser.Sans justifier en quoi que ce soit mon accès de grogne, il me semble que c’est à partir de là que j’ai eu l’impression que l’on procédait à une sorte de description de l’espace-temps à travers une méthode circulaire.
Longueur, temps et vitesse se définissant réciproquement alors qu’il me semble que la notion de vitesse implique déjà le rapport entre les deux premiers, et que par voie de conséquence on ne définit rien. On pose juste « dans l’absolu ».
C’est du moins l’impression que j’ai, et c’est cela qui ne me convient pas, ce genre de définitions non-relatives dont j’ai déjà parlé : temps propre, géodésique de longueur nulle, énergie au repos etc.Là aussi, par exemple, c’est une phrase qui me laissait penser que tu avais compris ce que je voulais dire par la formule "du temps pour l’un est de l’espace pour l’autre".La nuance est qu’en se limitant aux événements, on ne sous-entend pas de feuilletage spatial, contrairement au mot "position".
Mais bien entendu, dimension pour dimension, pas une pour trois.Là pareil, je ne digère pas le terme de "propriété intrinsèque". Ce n’est donc pas une question de concept nouveau ou difficile. Je suis simplement étonné d’être le seul à être insupporté par cette accumulation systématique de « réalités absolues ».
Cordiales salutations.
Là, je te suis.
C'est bien pour cela que je cherche à distinguer ce qui provient de l'espace-temps sans métrique, et de la métrique.
La notion d'espace tangent (les directions dans lesquelles on peut s'éloigner d'un point, ici d'un événement) est une notion définie hors métrique, elle vient de la modélisation en variété différentiable, rien d'autre.
Par contre, la classification de ces directions en genre temps, lumière, espace est directement et uniquement liée à la signature de la métrique.
Un point intéressant, qui me semble avoir déjà été souligné, est les équations de Maxwell ne demandent pas la métrique. Elles peuvent s'exprimer en utilisant uniquement les concepts applicables aux variétés différentielles sans métrique, par dF=0 et d(*F)=4π(*J); je ne vais pas élaborer sur ces notations, le point important est qu'elles n'invoquent nulle part la métrique.
[Par contre, l'équation de Lorentz, sans laquelle les équations de Maxwell sont inutilisables, implique bien la métrique. Un point qui ne cesse de m'intriguer est qu'il semble que la métrique n'intervienne jamais sans la masse, et réciproquement. Ce qui va bien dans le sens que la métrique n'est pas une propriété de l'espace-temps de Minkowski, mais est plutôt liée à l'inertie. -- Ce qui peut ramener à la géométrie de l'espace-temps, mais alors celui de la RG, en faisant une relation entre courbure et masse.]
Ce simple point montre que la métrique comme propriété intrinsèque de l'espace-temps peut faire manquer un point important.
Cordialement,
Je ne pense pas avoir écrit que la métrique est une propriété intrinsèque de l'espace.
Ce que j'ai écrit est que la courbure est une caractéristique de l'espace-temps dû, d'après le modèle de la RG, à la distribution de l'énergie-impulsion.En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.
Patrick
Dernière modification par invite6754323456711 ; 18/12/2009 à 12h53.
Quel est l'enchainement des concepts qui même à la caractérisation de la gravité ?
Théorie des Ensembles ---> Topologie (Le concept central en topologie est la notion de limite d'où découle les notions de continuité et de tangente) ---> Espace topologique ---> ?
PatrickLa topologie générale, en elle même, s'attache à définir le vocabulaire. Elle possède deux branches importantes : la topologie différentielle et la topologie algébrique, où la notion générale de « forme » est étudiée avec un degré de complexité et d'approfondissement extrêmes.
Il n'est pas clair pour moi (et c'est une question pour qui sait y répondre) si la notion de courbure peut être définie à partir de la seule notion de variété différentiable.
Il me semble que non.
Si c'est correct, on a (au moins) deux jeux de "caractéristiques de l'espace-temps : celles dérivant de la notion de variété différentielle seule, et celles dérivant de la métrique/connexion/courbure surajouté à la variété différentielle.
(Ce ne sont pas les seules possibilité, il me semble qu'il y a au moins un intermédiaire.)
Cordialement,
Au minimum (et en parlant de structures partout, par homogénéité)
Ensemble --> Espace topologique --> Variété de dimension 4 --> Variété différentielle de dimension 4 --> Variété pseudo-Riemannienne de signature (1,3)
La notion de courbure est bien définie dans le dernier terme, et n'est pas définie dans les trois premiers. Je ne pense pas qu'elle soit définie dans le quatrième. Et il y a peut-être quelque chose entre les deux derniers qui affinerait l'endroit où s'introduit la courbure.
Cordialement,
Dernière modification par invité576543 ; 18/12/2009 à 13h19.
Ne faut il pas inclure la branche (complémentaire ?) de topologie algébrique si on veut décrire de manière complète se qui caractérise la gravité (un ensemble de propriété) ? Une seule branche ne suffirait pas ?
Patrick
Je ne comprends pas (ou ne connais pas) ce à quoi tu fais allusion.
Cordialement,
Bonjour,
Je suis entièrement d'accord avec ta chaine qui comprend 5 élements. Ensuite quand tu parles, de premier, tu désignes quoi ensemble ou espace topologique?
Par contre l'expression, dernier, est sans ambiguité et c'est là que l'on peut effectivement parler de courbure.
Toutefois du point de vue moderne dans le langage des structures de variétés fibrés les espaces métriques sont des cas très particuliers.
Tu peux définir comme fibre des espaces vectoriels munis d'une structure de groupe de Lie. Ensuite en chaque point de la variété de base établir une connexion aux points voisins et de là définir une courbure et ce, bien que la variété de base ne soit pas munie de métrique.
Non, pas du tout, ce n'est pas ce que j'ai indiqué. Il s'agit d'une citation extraite d'un cours du Collège de France concernant la détermination de la connexion que je suis allé chercher quand tu as parlé de transport parallèle.Probablement que ma manière d'intervenir doit paraître étrange à beaucoup, mais je tiens à indiquer que cette dernière citation par exemple est du genre de réflexions qui m'aident énormément à la fois à comprendre et à essayer de chercher plus loin une nouvelle question. D'ailleurs, je ne vais sûrement pas tarder à en avancer une.
Cordiales salutations.
Si c'est vu comme important, je corrige un petit point, mineur, lire:
Un point qui ne cesse de m'intriguer est qu'il semble que la métrique n'intervienne jamais sans les concepts d'énergie/quantité de mouvement/masse, et réciproquement.
Cordialement,
http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique
....
la topologie différentielle et la topologie algébrique sont elle complémentaire ou équivalente ?
Patrick
Ensemble.
J'écrivais que les structures jusqu'à, et y compris, "variété de dimension 4", ne permettent pas de définir la courbure.
J'en ai conscience.Toutefois du point de vue moderne dans le langage des structures de variétés fibrés les espaces métriques sont des cas très particuliers.
Peut-être. Mais j'ai quelques problèmes avec les prémisses.Tu peux définir comme fibre des espaces vectoriels munis d'une structure de groupe de Lie. Ensuite en chaque point de la variété de base établir une connexion aux points voisins et de là définir une courbure et ce, bien que la variété de base ne soit pas munie de métrique.
(Par exemple, tout espace vectoriel isomorphe à Rn est en relation avec un groupe de Lie, celui des homothéties sur cet espace. Et tout espace vectoriel isomorphe à Rn est un groupe de Lie, qu'on peut voir comme un groupe de translations agissant sur un espace affine.)
La structure différentielle permet de définir le fibré sur l'espace affine, avec comme fibre l'espace vectoriel tangent (le fibré tangent). Un autre fibré sur l'espace affine est obtenu avec comme fibre l'espace des bases du tangent vectoriel (fibré des référentiels ?), espace homogène au groupe maximal agissant sur le tangent et respectant sa structure. Sans métrique, il s'agit de GL(4). Avec métrique, c'est un sous-groupe (Lorentz pour la signature (1,3)) qui agit, celui respectant la métrique, et l'espace homogène est un sous-espace du précédent. (Et il doit y avoir le groupe conforme entre les deux, non? Et aussi un fibré de tétrades...)
La connexion va être définie sur le fibré des bases, mais faut préciser lequel, non? Je ne sais pas si la courbure se définit avec une connexion quelconque sur l'ensemble des bases du tangent (l'espace homogène pour GL(4))?
Je comprends le message comme disant que oui, cela suffit. (Je pense voir comment, le tenseur de courbure ne demande que la connexion et se présente comme un élément de GL(4) en fonction d'un plan,
Si c'est le cas, la métrique n'intervient pas pour la courbure. Mais elle intervient dans l'équation d'Einstein (non?), et c'est là que l'énergie/masse intervient?
Mais je ne suis pas sûr qu'exprimé ainsi, cela permette de discuter avec LTB ou ù100fil
Cordialement,
Edit: Correction sur les indices
Dernière modification par invité576543 ; 18/12/2009 à 14h48.
Pour être plus clair, cela rajoute un étage:
variété différentielle de dimension 4 --> variété différentielle de dimension 4 muni d'une connexion --> variété pseudo-Riemannienne de signature (1,3)
et la courbure se définit à l'étage médian.
Cordialement,
(ou peut-être pour le dernier "variété pseudo-Riemannienne de signature (1,3) munie d'une connexion", parce que la métrique ne contraint pas les rotations spatiales et donc n'impose pas une connexion particulière, juste un connexion respectant les cônes de lumière, non?)
La métrique (distance, angle) ne permet-elle pas la mesure et uniquement la mesure de la courbure, mais la métrique n'est pas la courbure non ?
Ne pouvons nous pas avoir différentes métriques associé à une variété ? Lorsque que l'on mesure un angle ou une distance il faut aux moins être deux. Une courbure c'est un écart par rapport à un référent non ? pour mesurer cet écart il faut une convention de métrique.
Patrick
En général dans les livres de topologie différentielle il y a des chapitres qui ont trait à la topologie algébrique et donc il s'agit plutôt d'un sous-ensemble. En général ce sont des livres qui s'adressent plutôt aux physiciens.
Dans d'autres livres, plutôt mathématiques, le topologie algébrique est un corps autonome; Les espaces topologiques sont représentés par des groupes de Cohomology et ces groupes peuvent traités des problèmes de topologie différentielle. Ce qui fait que cela rejoint les livres pour physiciens.
A un certain niveau de mathématiques il est difficile, me semble-t-il de faire des partitions en corpus sans recouvrement.
Pas nécessairement. On peut définir une métrique comme un isomorphisme entre un espace vectoriel et son dual.
Oui et non; dépend de ce qu'on entend par "mesure".Une courbure c'est un écart par rapport à un référent non ? pour mesurer cet écart il faut une convention de métrique.
Dans le tenseur de courbure de Riemann, l'écart est un "changement de base". Tu pars d'une base, tu fais un petit tour en transportant parallèlement la base, et tu obtiens une base différente quand tu te retrouves au point de départ. L'écart est alors le changement de base (il est commun à tous les choix de la base initiale).
Ce n'est pas une mesure "métrique", mais cela caractérise l'écart quand même.
Une "mesure" scalaire (le R dans l'équation d'Einstein) va être obtenue par contraction, mais comme le tenseur est (1, 3) on ne peut le contracter en un scalaire qu'avec une métrique (qui permet de faire monter un indice, ce qui correspond à l'isomorphisme entre le vectoriel tangent et le cotangent).
Cordialement,
Là ce n'est pas compatible. Si tu choisis une connexion et ensuite tu définis une métrique il y aura inévitablement conflit.
Le problème est que le concept de connexion est bel et bien indépendant de toute notion de métrique, mais le choix d'une métrique contraint totalement la valeur de la connexion
Un outil pour caractériser une différence. Tel que par exemple une différence (courbure) par rapport à une espace-temps plat (plat et courbe étant une convention ce qui importe est la différence non ?).
L'outil n'est pas le phénomène que l'on cherche à caractériser ici en l'occurrence une propriété de courbure de l'espace-temps non ?
Patrick
Je me demandais s'il n'y avait pas un moyen de le faire: fixer la connexion, puis de définir la métrique en un seul point. Elle est alors définie partout par transport parallèle, du moins dans toute la partie atteignable à partir dudit point.
Suis pas sûr que ça marche, faut que la métrique ainsi obtenue ne dépende pas du chemin suivi. Connexion sans torsion?
Totalement? Je me suis posé la question dans le temps pour les rotations spatiales, et cela ne me semblait pas clair.Le problème est que le concept de connexion est bel et bien indépendant de toute notion de métrique, mais le choix d'une métrique contraint totalement la valeur de la connexion
La métrique impose que la connexion respecte le cône de lumière, mais si la connexion tourne le cône, la métrique reste respectée, non?
Cordialement,
Si on accepte qu'un tenseur 4x4x4x4 caractérise la "différence", alors on peut caractériser la courbure sans métrique.
Cordialement,
si tu prends une connexion Gamma quelconque en A ainsi qu'une métrique G et que tu attribues la même métrique au point voisin B alors ton espace est plat puisque la métrique est la même et donc cela contraint Gamma= 0 cad que la dérivée covariante est égale à la dérivée partielle ordinaire.
Je ne sais pas ce que tu entends par, "la connexion tourne le cône" mais normalement la connexion établit le rapport (les variations infinitésimales) entre les composantes d'un vecteur entre 2 points infiniment voisins de la variété (donc dans des plans tangents différents en distinguant la variation intrinsèque du vecteur et les variations dues aux différences infinitésimales des systèmes de cordonnées entre les 2 points voisins. ce dernier étant controlé par les symboles de christofelLa métrique impose que la connexion respecte le cône de lumière, mais si la connexion tourne le cône, la métrique reste respectée, non?
Cordialement,
Si le vecteur n'a pas de variations intrinsèque entre 2 points de la variété (le transport est parallèle) alors les variations des composantes du vecteur sont dues à la seule courbure. C'est pourquoi la courbure est rattachée au symbole de Christoffel alors même qu'il n'y a aucune notion de métrique.
Par exemple pour l'électromagnétisme la courbure c'est le tenseur de Maxwell (Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz) qui est définit toujours par les symboles de christoffel eux-mêmes définis par le groupe de jauge de l'électromagnétisme U(1).
En RG les symboles de Christoffel sont déterminés par la métrique. Cela peut s'intuiter de cette manière: quand tu courbes une surface élastique tu fais varier la distance entre les points (tu as bien un champ de métrique non constant, sauf bien sur si ta surface prend la forme d'une calotte sphérique)
Maintenant la dérivée covariante sonde par construction son voisinage en termes uniquement de différences de coordonnées qui sont eux insensibles à la déformation. Comme la métrique elle-même s'exprime en différence de coordonnées alors la dérivée covariante (et donc la connexion) est liée à la métrique.
@mariposa
Le wiki anglais sur la courbure est intéressant :
On voit qu'ils définissent la courbure d'abord par rapport à une métrique (en rouge). Puis seulement après ils donnent la définition à partir d'une connexion (bleu). Et ensuite ils reviennent (rouge) à une définition spécifique au cas métrique.In the mathematical field of differential geometry, the Riemann curvature tensor, or Riemann–Christoffel tensor after Bernhard Riemann and Elwin Bruno Christoffel, is the most standard way to express curvature of Riemannian manifolds. It associates a tensor to each point of a Riemannian manifold (i.e., it is a tensor field), that measures the extent to which the metric tensor is not locally isometric to a Euclidean space. The curvature tensor can also be defined for any pseudo-Riemannian manifold, or indeed any manifold equipped with an affine connection.
The curvature tensor is given in terms of the Levi-Civita connection (...)
Cordialement,
