Symbole de Levi Cevita , identité vectorielle et relation de commutation

[Asta1506]

Bonjour à tous .

J'ai un exercice de physique en Mécanique Quantique que je dois faire où on me demande de montrer que [Li,Vj] = i "h barre" epsilon ijk Vk (désolé pour l'écriture je sais pas comment faire) .

Sachant que Li j'imagine que c'est la i ème composante du produit vectoriel r x p pour L donc eijk rj pk et on a Vj quelconque qui représente la jième composante d'un opérateur vectoriel désignant un potentiel .

J'ai donc commencé en écrivant donc [Li,Vj] = epsilon ijk [rjpk ,Vj] et là je suis complètement bloqué . j'ai essayé aussi de faire ressortir le faire que [rj,pk] = i "hbarre" delta "ij" mais je suis bloqué .

Quelqu'un aurait une idée ?

Merci Beaucoup
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[Asta1506]

rectification c'est i 'hbarre' delta 'jk' pour [rj,pk]

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Rappelez-vous la définition de , ensuite injectez cela dans votre commutateur.

[ThM55]

C'est un exercice de gymnastique.




donc





Sans relecture...

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

je ne sais pas.... Il faudrait que Asta1506 précise qui est V, moi j'étais parti sur V vecteur quelconque.

[ThM55]

Si c'était un v quelconque, on ne pourrait pas arriver à la conclusion demandée car le commutateur avec la position ne serait pas un scalaire, en général.

[jacknicklaus]

on peut trouver dans le Cohen (tome 1, page 739) une intéressante démonstration de cette relation, V étant une observable vectorielle quelconque.

[Asta1506]

Merci de vos réponses V est en faite un opérateur vectorielle quelconque ^^

[ThM55]

Dans ce cas, on doit calculer le commutateur



avec quelconque. En appliquant la propriété de dérivation du commutateur, on a



On peut démontrer facilement que la relation proposée est fausse en donnant un contre-exemple. Comme v_j est un opérateur quelconque je peux prendre par exemple .

Le premier commutateur est nul et on obtient



Il y a un signe moins:



Donc c'est faux pour un opérateur v quelconque.

[ThM55]

J'ai fait don de mon Cohen Tannoudji à un étudiant nécessiteux; si vous pouvez reproduire la preuve ici ça m'intéresse.

[ThM55]

Géométriquement, on peut en effet interpréter L_i comme un générateur de rotations, donc on peut s'attendre à une telle relation pour un opérateur vectoriel qui serait un vecteur ou un covecteur comme l'impulsion. C'est-à-dire un élément de l'espace tangent à l'espace de configuration ou à son espace dual, obtenu comme combinaison linéaire des vecteurs (ou covecteur) de base, comme le sont la position et l'impulsion. Mais elle n'est pas aussi générale: comme le montre mon contre-exemple on change de signe si on passe du covecteur au vecteur.

Je pense donc que la démonstration pour un prétendu "vecteur quelconque" du Cohen s'applique en fait essentiellement à la position ou à l'impulsion.

[jacknicklaus]

J'ai fait don de mon Cohen Tannoudji à un étudiant nécessiteux; si vous pouvez reproduire la preuve ici ça m'intéresse.

voici :

Capture d'écran 2024-04-17 214722.jpg
Capture d'écran 2024-04-17 214922.jpg

[ThM55]

Merci! C'est bien ce que je pensais: dans cette preuve V est une observable vectorielle qui se transforme comme le rayon vecteur r sous une rotation. Cela revient à dire que les opérateurs ne sont pas quelconques, ils sont obtenus comme des vecteurs de l'espace cotangent à l'espace de configuration, et il doivent se réduire à des combinaisons de vitesses. Le contre-exemple que j'ai donné plus haut montre que la relation proposée n'est pas valable pour une observable vectorielle quelconque, puisque si je prend V=r, elle change de signe. Le texte dans Cohen répond à la question initiale je crois, mais de manière un peu imprécise sur le plan mathématique.

[ThM55]

Euh non, en fait. Je me suis trompé dans cette réponse. Je pense que le texte du Cohen ne s'applique pas à cette question, il faudrait voir d'où viennent les relations.

Je maintiens que mon contre-exemple démontre que le relation est fausse (mauvais signe) pour une observable vectorielle. Et qu'elle est correcte pour un vecteur de l'espace cotangent (ou le contraire si j'ai fait une erreur de signe , mais je ne crois pas que ce soit le cas).