Equivalence entropies

[EttoreElMagnifico]

Bonjour,

Je recherche une démonstration (mathématique) de l'équivalence entre les entropies telles qu'elles furent définies historiquement par Rudolph Clausius et Ludwig Boltzmann. Chacun ayant un prisme différent sur .. une même chose, à savoir la quantification du désordre au sein des systèmes.

Je sais que cela a un rapport avec la distribution de Boltzmann et la physique statistique de façon générale, mais je préfèrerais l'avoir sous les yeux pour me remettre tout cela en tête ;

Dans quel but ? je ré-explore de façon plus approfondie un certain nombre de grandes thématiques en physique fondamentale (titulaire d'un M1 physique fondamentale, master non achevé).

Si quelqu'un a quelque chose à proposer, je lui en serais très reconnaissant !

Merci à vous.
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[ThM55]

En simplifiant au maximum, c'est quasi immédiat (si on veut être très rigoureux et très général, c'est beaucoup plus difficile).

Si je représente tous les paramètres définissant l'état microscopique du système par la lettre x (un grand vecteur), la distribution de probabilités de Boltzmann a la forme



où E(x) est l'énergie du système. La constante K est choisie pour que l'intégrale des probabilités donne 1: . On suppose ici un système en équilibre thermique avec un bain thermique de température T, pouvant échanger de l'énergie avec lui. Si on veut en plus échanger des particules, on doit ajouter des termes avec les potentiels chimiques, mais je reste dans la simplification maximale.

Le H de Boltzmann s'écrit



(intégrale multiple sur tous les paramètres, c'est la moyenne de ln(P), la notation est ici volontairement simplifiée et symbolique, si on préfère on peut comprendre cela comme une somme discrète).

Supposons que j'apporte lentement la chaleur au système, en préservant la distribution d'équilibre de Boltzmann pour P mais en augmentant l'énergie moyenne <E> dune grandeur . L'énergie individuelle E(x) de chaque état ne change pas, c'est imposé par la physique microscopique, ce qui change c'est la probabilité P(x) de chaque état. La variation du H dans ce processus est donc obtenue en évaluant la variation de P. Cette variation est contrainte par la conservation de l'ntégrale de P (elle doit toujours rester 1 et par l'augmentation imposée de l'énergie moyenne, qui est .

La première contrainte donne



A cause de la contrainte les termes constants disparaissent et on obtient



L'entropie de Clausius est définie par , donc et le lien est fait.

[EttoreElMagnifico]

Merci beaucoup pour votre réponse intéressante. Le raisonnement physique en tout cas est relativement bien construit, mais effectivement, on sent que ça pourrait être poussé plus rigoureusement. Je ne vous proposerais pas d'écrire la démonstration entière, mais avez vous un lien internet éventuellement ou bien un bouquin où figurerait cette démonstration (complète) ?

Secundo, je me posais également la question de la démonstration de la fameuse Loi de Planck. J'en ai trouvé une, mais qui est moyennement claire et pas très rigoureuse.. Idem, si vous avez une référence ou bien une explication relativement rigoureuse sous le coude !

Merci encore

[ThM55]

Pour les deux sujets, je dirais tous les cours de physique statistique qui font le lien avec la thermodynamique classique. Par exemple Landau & Lifschitz volume 5.

Plus simple est le cours de Feynman premier volume, qui est je crois ce que toute personne un petit peu cultivée en sciences devrait connaître sur la physique (pas d'excuse, c'est gratuit ici et les outils de traduction sont là si on ne maîtrise pas l'anglais: https://www.feynmanlectures.caltech.edu/ ). Dans la section 44, il donne un exposé très court de la thermodynamique, après avoir parlé de la physique statistique mais ne discute pas du lien entre les deux définitions de l'entropie. Je trouve cela dommage. Par contre dans le chapitre 41-3 il explique le raisonnement de Planck conduisant à la loi du corps noir. La version d'Einstein de cette loi (1917) est aussi expliquée au chapitre 42.

[A voir en vidéo sur Futura]

[chaverondier]

Je ré-explore de façon plus approfondie un certain nombre de grandes thématiques en physique fondamentale (titulaire d'un M1 physique fondamentale, master non achevé). Si quelqu'un a quelque chose à proposer, je lui en serais très reconnaissant !

Il y a une vongtaine d'années, Michel Talon (formation ENS) conseillait la lecture de physique statistique, introduction de Christian et Hélène Ngô, 2000, 2ème édition, 448 pages. Ce choix s'est avéré excellent et il l'est toujours selon moi. Quand on n'a pas étudié la physique statistique, cet ouvrage offre l'avantage de commencer par le début et d'avancer pas à pas sans sauter d'étapes.

Concernant plus précisément les différents choix possibles d'entropie et leur signification physique en termes de manque d'information de l'observateur (finesse de description de l'état des systèmes observés si on préfère), l'article de Balian "Incomplete description and relevant entropies", 1999 est très intéressant. Il permet de comprendre (modèle mathématique à l'appui) la notion d'évolution irréversible en termes de création d'entropie, cad de fuite d'information (dite non pertinente) hors de portée de l'observateur macroscopique.

Ci-dessous, un extrait du résumé :

Relevant entropies depend not only on the state of the system but also on the coarseness of its reduced description. Their use sheds light on questions such as the Second Law, both in equilibrium an in irreversible thermodynamics, the projection method of statistical mechanics, Boltzmann's H-theorem or spin-echo experiment.

[ThM55]

Il faut ajouter que la notion d'entropie telle que Boltzmann l'a proposée ne fonctionne pas en physique classique à cause du paradoxe de Gibbs (on peut calculer l'entropie de mélange de deux gaz parfaits mais cela donne un résultat absurde d'irréversibilité si les deux gaz sont identiques). C'est un pseudo-paradoxe car il disparaît si on traite le sujet en physique quantique, qui impose l'indiscernabilité de particules identiques.

Tout cela est parfaitement résolu et présenté de manière claire et impeccable dans les cours de physique statistique, avec le formalisme qui permet de dériver systématiquement toutes les grandeurs thermodynamiques de la fonction de partition. A tel point que le problème est quasiment réduit au calcul de cette fonction. Mais je ne pouvais pas écrire un cours dans une réponse de forum! C'est pourquoi j'ai simplifié au max et donné cette dérivation heuristique d'un point précis. De plus le formalisme en question est difficile à justifier dans ses fondements, il est très efficace mais cache un peu la signification physique derrière l'algorithme systématique.

On peut aussi se tourner vers de grands classiques moins académiques, on y trouve souvent des explications instructives. J'aime bien "La Science et la Théorie de l'Information" de Léon Brillouin (réédité chez Gabay et en anglais chez Dover). Comme cela date de 1959, il est dépassé en ce qui concerne les applications aux télécommunications comme la théorie du codage. Mais ce n'est pas le sujet principal du livre, qui exprime le point de vue d'un physicien et non celui d'un ingénieur, et examine en particulier le lien entre l'entropie informationnelle de Shannon et l'entropie statistique de Boltzmann. Brillouin écrivait vraiment très bien et ce qu'il explique dans ce livre est très clair et est resté pertinent pour la physique, dans un langage mathématique très accessible.

[EttoreElMagnifico]

Merci pour vos réponses, je n'avais pas eu le temps d'ouvrir le forum depuis mon dernier message.

Je vais lire et regarder tout cela avec attention,

Merci beaucoup à vous