théorie hamiltonienne des champs classiques

[at89merry]

Bonjour,

J'aimerais avoir des informations sur la théorie hamiltonienne des champs classiques. Je n'arrive pas à trouver autre chose, de plus précis et plus complet, que ce qu'on trouve sur wikipédia.

On peut trouver des ouvrages sur le formalisme hamiltonien des systèmes de masses ponctuelles, on peut trouver des documents sur la théorie quantique des champs,
mais curieusement, il n'y a pas grand chose sur l'extension de l'approche hamiltonienne en théorie des champs classiques.

Connaissez-vous des livres, articles sur la question, en français de préférence (mais si c'est en anglais ça va encore) ?

Merci pour votre aide

Armand
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[ordage]

Bonjour
Voir par exemple:
https://physique.ensta-paris.fr/PAT/...me_edition.pdf,
une partie du cours en traite.
niveau M2 je suppose..
Cordialement

[at89merry]

Merci ordage,

Effectivement j'ai vu ce document, mais il ne traite que de l'approche hamiltonienne pour les systèmes de particules ponctuelles. Pour les champs, en particulier le champ électromagnétique, il ne traite que de l'approche lagrangienne.

Mais moi, je voudrais un doc sur l'approche hamiltonienne pour les champs classiques...

[ThM55]

Bonjour. Le livre de référence "General Relativity" de Robert Wald traite de l'approche hamiltonienne dans son appendice E. Le but est évidemment de l'appliquer au cas de la gravitation mais il le fait aussi pour l'électromagnétisme à titre d'exemple plus simple. C'est assez succinct, contrairement à ce qu'on trouve dans le monumental "Gravitation" de Misner-Thorne-Wheeler.

On trouve parfois un traitement du sujet dans certains cours de théorie quantique des champs. Mais il faut bien chercher du fait que souvent ces textes veulent appliquer la théorie aux particules à haute énergie et donc étudient les champs relativistes. Or l'approche hamiltonienne n'est pas naturellement covariante sous Lorentz puisqu'elle privilégie le temps. C'est pourquoi ils préfèrent souvent l'approche lagrangienne (et l'intégrale fonctionnelle de Feynman pour la quantification). Le livre de Brian Hatfield consacre deux chapitres à la théorie quantique des champs en représentation de Schrödinger (avec l'ancienne théorie non covariante des perturbations), et cela suppose d'en connaître la théorie hamiltonienne. Mais il parle très peu des champs classiques, pas plus que la page Wikipedia, il passe presque immédiatement à la quantification (https://www.google.be/books/edition/...sec=frontcover).

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Pour compléter et nuancer ce que j'ai écrit, on peut mentionner le formalisme hamiltonien de De Donder-Weyl (créé par Théophile De Donder et Hermann Weyl). Il est explicitement covariant sous Lorentz en définissant un moment pour chaque coordonnée d'espace-temps et chaque composante de champ (définissant ce qu'on appelle parfois un polymoment). A ma connaissance toutefois, cela n'a donné lieu à rien de vraiment significatif en physique, du moins jusqu'à présent. Mais ce sujet m'a toujours intrigué et intéressé et j'ai l'impression que cela n'a pas encore été étudié en profondeur. Voici un article sur ce sujet: https://arxiv.org/abs/math-ph/0107019 .

[ordage]

Merci ordage,

Effectivement j'ai vu ce document, mais il ne traite que de l'approche hamiltonienne pour les systèmes de particules ponctuelles. Pour les champs, en particulier le champ électromagnétique, il ne traite que de l'approche lagrangienne.

Mais moi, je voudrais un doc sur l'approche hamiltonienne pour les champs classiques...

Bonjour
Dans Wiki
https://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_field_theory
on lit:
"The Hamiltonian for a system of discrete particles is a function of their generalized coordinates and conjugate momenta, and possibly, time. For continua and fields, Hamiltonian mechanics is unsuitable but can be extended by considering a large number of point masses, and taking the continuous limit, that is, infinitely many particles forming a continuum or field. Since each point mass has one or more degrees of freedom, the field formulation has infinitely many degrees of freedom."
C'est peut être pour cela que ce n'est pas très utilisé
Cordialement

[ThM55]

Je ne crois pas que ce soit la raison, car l'approche lagrangienne des champs est universellement utilisée mais elle utilise le même procédé. A mon avis c'est plutôt une question de covariance.

[at89merry]

Merci pour ces infos.

Je vais regarder l'article sur les équations de de donder-weyl. Mais bon, à première vue, ça a l'air un article très mathématique. J'aurais préféré un article de physicien qui synthétise avec les mains les mathématiques sous-jacentes.
Concernant l'inadéquation de l'approche hamiltonienne pour les champs, à mon avis ça vient du fait qu'on ne peut définir simplement un hamiltonien pour un champs que si le lagrangien est "régulier" (une histoire de matrice de dérivée seconde à déterminant non nul). Mais il semble que les lagrangiens de théories de jauge ne sont pas réguliers (vu dans une vidéo d'un polytechnicien sur le formalisme hamiltonien pour des systèmes de particules), et comme le modèle standard des champs quantiques repose sur des champs de jauges, les physiciens sont obligés d'utiliser une approche lagrangienne.
Maintenant, ce que je trouve bizarre, c'est que les théories de jauge conduisent à des masses de particules nulles. Ce qui signifie que les théories de jauge sont nécessairement des approximations. ils ont corrigé le tir avec le champ de Higgs. Donc je me dis que la théorie complète, incluant le modèle standard et le champ de Higgs doit avoir un lagrangien régulier, et que par conséquent il pourrait exister un hamiltonien associé...

[ThM55]

Il est exact que dans les théories de jauge, le lagrangien n'est pas régulier. Pourtant, la méthode la plus solide et la mieux établie dans ce cas est celle de Hamilton, mais ce n'est pas facile à expliquer!

Le problème c'est que l'invariance de jauge reflète un choix de variables dynamiques qui contient un arbitraire. Par exemple au potentiel vecteur de l'électromagnétisme, on peut ajouter un gradient sans rien changer à la physique. De même pour la gravitation en relativité générale, on peut changer le système de coordonnées (la carte dans la variété). Une conséquence est que si on donne les conditions initiales à un instant t donné (ou sur une hypersurface de genre espace), l'intégration des équations dans le futur n'est pas complètement déterminée, elle contient des fonctions arbitraires. Conséquence pour la quantification par l'intégrale fonctionnelle de Feynman: on a vite fait, si on procède "naïvement", d'intégrer sur un espace fonctionnel beaucoup trop grand et il faut trouver un moyen de le réduire. Comme votre question portait sur les champs classique, je ne vais pas entrer dans les détails mais cela implique des notions comme le déterminant de Fadeev-Popov, particules fantômes (des états virtuels qui n'obéissent pas à la bonne statistique fermion ou boson, mais qui n'apparaissent jamais dans les branches externes des diagrammes de Feynman) et opérateur BRST. Mais ces approches sont ad hoc et pour les comprendre le mieux est encore l'approche hamiltonienne.

C'est une erreur de croire qu'un système avec un lagrangien non régulier n'admet pas de hamiltonien. Dans le cas des particules ponctuelles (aisément généralisable au cas des champs), on a dans ce cas une matrice qui n'est pas inversible. mais cela n'empêche pas de définir les moments conjugués . Ce qui se passe alors est qu'on ne peut pas inverser la transformation et obtenir les vitesses généralisées à partir des moments. L'astuce est que les moments ainsi définis ne sont pas tous indépendants et doivent vérifier des relations qui les lient entre eux et avec les coordonnées, qu'on appelle des contraintes primaires. Donc ce qu'on a c'est un formalisme hamiltonien avec des contraintes.

Or, la théorie hamiltonienne avec contraintes a été d'abord étudiée par Dirac en mécanique quantique, elle est bien connue et bien développée. C'est en fait le cadre parfait pour quantifier les théories de jauge, contrairement à l'impression que donnent la plupart des cours de QFT (qui comme je l'ai dit essaient de maintenir la covariance relativiste à toutes les étapes). Le gros ouvrage de référence sur ce sujet est celui de Henneaux et Teitelboim, "Quantization of gauge systems". Je ne le recommande pas comme première lecture, c'est du niveau recherche avancée mais le premier chapitre est abordable et explique les idées fondamentales dans le cas des particules ponctuelles avec une foule d'exemples. HS: Marc Henneaux de l'université de Bruxelles est depuis 2020 professeur au Collège de France, il occupe la chaire Champs, Cordes et Gravité et ses cours en vidéo sont accessibles en ligne.

La masse nulle des bosons intermédiaires est une conséquence inévitable de l'invariance de jauge mais le mécanisme de Higgs (idée qui vient à l'origine de la physique de l'état solide et de la supraconductivité) n'est pas le seul mécanisme qui produit une portée limitée de ces interactions. Les gluons, bosons de jauge de la chromodynamique, gardent leur masse nulle mais ce sont des effets dynamiques tout à fait différents qui conduisent à la portée très petite de l'interaction forte. A savoir le confinement de la charge (appelée couleur) et le fait que les hadrons n'interagissent fortement que par une force résiduelle dont la portée est très faible.

[ThM55]

Il est facile de voir d'où viennent les contraintes primaires si on fait une analogie avec les systèmes linéaires en calcul matriciel. Si la matrice nxn est de déterminant nul, son rang est inférieur à n et son image est de dimension m < n. Tout vecteur de son image est donc contraint par n-m relations linéaires.

Le premier exemple de Henneaux-Teitelboim est celui d'un lagrangien . Il est trivialement non régulier. Les moments sont et . Ils ne sont pas indépendants et la contrainte est . Tout l'espace des q est appliqué sur la droite p1+p2=0 et tous les sur la droite sont appliqués sur . Exemple trivial mais il y en a beaucoup d'autres bien moins évidents dans le bouquin. Le problème est que les champs ne sont abordés qu'après 250 pages!

[Avatar10]

...

Une question juste pour voir si j'ai pas loupé un truc...comme étape clé pour aller du formalisme Lagrangien->Hamiltonien, les transformées de Legendre sont "nécessaires?

[at89merry]

merci pour ces explications. Cà répond déjà à certaines de mes interrogations.

En plus, je suis content que vous ayez fait cette digression sur le mécanisme de Higgs et la supraconductivité. J'ai passé un DEA de physique des solides quand j'étais jeune et j'ai donc étudié la supraconductivité. Je ne suis pas du tout spécialiste de la physique des particules, mais lorsque j'ai lu des articles sur le mécanisme de Higgs, j'ai vraiment eu le sentiment que ça ressemblait furieusement aux interactions phonon-phonon à basse température par l'intermédiaire de paires d'électrons qui finissaient par leur donner une masse, et ainsi faire apparaître la supraconductivité. J'ai vraiment eu le sentiment que Higgs et ses collaborateurs avaient fait un copié collé de la théorie de la supraconductivité. Surtout qu'il me semble de la théorie de la supraconductivité est sortie peu avant les travaux de Higgs.

Cà me fait vraiment plaisir que vous ayez confirmé ce point.

[ThM55]

C'est un peu plus qu'un copié-collé tout de même, mais l'idée de base est clairement inspirée de l'explication de l'effet Meissner dans le modèle de Ginzburg-Landau. Encore fallait-il voir pourquoi c'était pertinent pour la physique des particule. En réalité c'est une sorte de complexe d'idées entremêlées.

[ThM55]

Une question juste pour voir si j'ai pas loupé un truc...comme étape clé pour aller du formalisme Lagrangien->Hamiltonien, les transformées de Legendre sont "nécessaires?

Nécessaires? Je crois que c'est bien une transformation de Legendre qui est en jeu, oui. Mais je ne sais pas si le fait que la matrice des dérivées est singulière en change la nature et si on peut toujours appeler cela une transformation de Legendre.

[ThM55]

Le cours de Henneaux au Collège de France sur la structure asymptotique de l'espace-temps: https://www.college-de-france.fr/fr/...espace-temps-1

Il parle des subtilités du formalisme hamiltonien en cas d'invariance de jauge. Ce prof est vraiment une lumière je trouve.

[Avatar10]

Mais je ne sais pas si le fait que la matrice des dérivées est singulière en change la nature et si on peut toujours appeler cela une transformation de Legendre.

Après recherche il apparait qu'effectivement ça complique la situation, il faut passer par les systèmes de contrainte (comme la méthode Dirac par ex)donc la transformation de Legendre doit être adaptée aux contraintes du système et dans un cadre généralisé.
Merci pour la réponse.

PS: Je voulais vous demandez par MP, pour pas polluer, mais vous ne les accepter pas.

[at89merry]

Bonjour,

J'ai vu dans un article de D. Bohm qu'il existait des équations de champs non-linéaires dérivant d'un hamiltonien qui étaient transformées par une transformation de variables canoniques en des équations de champ (toujours hamiltoniens ) linéaires.

Savez-vous si c'est une propriété générale ou si ce n'est vrai que pour certains champs spécifiques ?

Je pose cette question car on sait que dans le cas de systèmes de points matériels hamiltoniens, on peut toujours trouver une transformation de variables canonique qui transforme le hamiltonien en un hamiltonien nul,

Du coup, est-ce que dans le cas de champs non-linéaires, il est toujours possible de trouver un changement de variables canonique qui transforme les équations de champs non-linéaires en des équations linéaire ? Y a-t-il des théorèmes généraux sur le sujet ?

Merci pour vos réponses.

[ThM55]

Bonjour,

J'ai vu dans un article de D. Bohm qu'il existait des équations de champs non-linéaires dérivant d'un hamiltonien qui étaient transformées par une transformation de variables canoniques en des équations de champ (toujours hamiltoniens ) linéaires.

Savez-vous si c'est une propriété générale ou si ce n'est vrai que pour certains champs spécifiques ?

Je pose cette question car on sait que dans le cas de systèmes de points matériels hamiltoniens, on peut toujours trouver une transformation de variables canonique qui transforme le hamiltonien en un hamiltonien nul,

Du coup, est-ce que dans le cas de champs non-linéaires, il est toujours possible de trouver un changement de variables canonique qui transforme les équations de champs non-linéaires en des équations linéaire ? Y a-t-il des théorèmes généraux sur le sujet ?

Merci pour vos réponses.

Non, ce n'est pas une propriété générale. Il s'agit je crois d'un cas d'intégrabilité complète. C'est plutôt l'exception bien qu'un bon nombre de cas soient connus: problème de Kepler, solide avec un point fixe, chaîne de Toda finie, etc....

Une condition nécessaire pour qu'un système à n degré de liberté soit intégrable "par quadratures" est donnée par le théorème d'Arnold-Liouville: si ce système possède n grandeur conservées (des fonctions sur l'espace de phase), fonctionnellement indépendantes et dont tous les crochets de Poisson deux à deux s'annulent (on les dit "en involution"), alors il existe une transformation canonique vers des variables action-angles, un système qui est résoluble de manière immédiate. Dans l'espace de phases, la surface de niveau des fonctions conservées est difféomorphe à un tore. C'est un très beau théorème dont la preuve n'est pas très difficile (voir "Méthodes mathématiques de la mécanique classique" de Vladimir Arnold). Une technique classique qui s'applique quand les conditions sont remplies est celle de l'équation de Hamilton-Jacobi. Des cas plus ou moins complexes sont traités par cette méthode dans le volume 1 du cours de Landau et Lifchitz.

J'ai dit que c'est l'exception mais il existe un autre théorème (Kolmogorov-Arnold-Moser) qui montre que le tore invariant dans l'espace de phase persiste avec des mouvements quasi périodiques quand un système non intégrable est une perturbation d'un système intégrable.

Pour des champs, on connaît aussi des exemples intégrables du fait qu'ils possèdent une infinité de grandeurs conservées indépendantes. Par exemple l'équation sine-Gordon, l'équation de Korteweg-de Vries, les champs de Toda... En général on s'y intéresse pour leur solutions en ondes solitaires appelées aussi "solitons". Ce sont des équations non linéaires mais une sorte de principe de superposition des solutions solitons peut être démontrée, ce qui s'explique par le fait qu'une transformation canonique partielle vers des équations linéaires existe, souvent bien cachée et difficile à découvrir. Les démonstrations deviennent d'ailleurs beaucoup plus difficiles que dans le cas fini.

C'est un domaine d'études purement mathématiques très esthétiques, qui débouchent sur des connexions profondes avec divers champs des mathématiques et qui ne sont pas sans intérêt en physique: géométrie algébrique, groupes et algèbres de Lie, algèbres de Kac-Moody, transcendantes de Painlevé, twistors, etc). Les prolongements quantiques de ces questions sont encore entourés d'un halo de mystère. Tout n'est pas encore compris du côté quantique, à mon humble avis (j'ai consacré beaucoup de temps à tout cela dans ma jeunesse, c'est pourquoi j'en parle volontiers avec un peu de nostalgie, mais je ne veux pas radoter ici et imposer trop de détails qui n'intéressent pas grand monde).

[at89merry]

Super,

Merci pour votre réponse. Je n'ai pas tout compris, mais ça me parle suffisamment, et ça répond bien à ma question.

[at89merry]

Pour des champs, on connaît aussi des exemples intégrables du fait qu'ils possèdent une infinité de grandeurs conservées indépendantes. Par exemple l'équation sine-Gordon, l'équation de Korteweg-de Vries, les champs de Toda... En général on s'y intéresse pour leur solutions en ondes solitaires appelées aussi "solitons". Ce sont des équations non linéaires mais une sorte de principe de superposition des solutions solitons peut être démontrée, ce qui s'explique par le fait qu'une transformation canonique partielle vers des équations linéaires existe, souvent bien cachée et difficile à découvrir. Les démonstrations deviennent d'ailleurs beaucoup plus difficiles que dans le cas fini.
.

Bonjour,

@ThM55
avez-vous une référence (lisible) qui dit ce que vous dites ?

Je suis physicien de formation, mais j'ai quitté la recherche en 1988, pour faire autre chose, tout en restant intéressé par les questions de physique fondamentale. Je suis à la retraite depuis quelques années, et j'écris un article qui identifie les conditions mathématiques pour lesquelles le formalisme quantique pourrait être dérivé d'une théorie superdéterministe locale.

Ce que vous dites conforte ma "thèse" et si je pouvais inclure un couplet et une référence sur les recherches mathématiques qui ont été (sont) faites sur le sujet, ça rendrait mon article plus convaincant.

Est-ce indiscret de vous demander ce que vous faisiez "dans votre jeunesse" ?

[ThM55]

Bonjour,

@ThM55
avez-vous une référence (lisible) qui dit ce que vous dites ?

Je suis physicien de formation, mais j'ai quitté la recherche en 1988, pour faire autre chose, tout en restant intéressé par les questions de physique fondamentale. Je suis à la retraite depuis quelques années, et j'écris un article qui identifie les conditions mathématiques pour lesquelles le formalisme quantique pourrait être dérivé d'une théorie superdéterministe locale.

Ce que vous dites conforte ma "thèse" et si je pouvais inclure un couplet et une référence sur les recherches mathématiques qui ont été (sont) faites sur le sujet, ça rendrait mon article plus convaincant.

Est-ce indiscret de vous demander ce que vous faisiez "dans votre jeunesse" ?

Non, ce n'est pas indiscret. Je suis ingénieur de formation mais après mon diplôme au début des années 80 je suis passé à la faculté de physique dans l'espoir de faire une thèse. C'est possible en Belgique car l'école d'ingénieur où j'ai étudié est une faculté au sein de l'université, il suffisait littéralement de traverser la rue pour passer à la fac des sciences. Au départ c'est de l'émulation avec un camarade lui aussi ingénieur physicien, on s'est dit "chiche". J'ai arrêté avant la fin suite à la nécessité de soutenir ma famille, et il s'en est suivi une carrière complète d'ingénieur dans l'industrie (télécom et spatial) où j'ai participé au développement de beaucoup de nouveautés, donc pas de regret. Mon copain a continué et a fait une carrière de physicien dans cette université. D'une certaine manière j'ai perdu mon pari.

J'ai une multitude de références, j'avais lu à peu près tout ce qui existait à l'époque sur le sujet, mais je ne sais pas ce qui est "lisible" à vos yeux. Et cela date de 40 ans. On peut citer deux ou trois "points d'entrée" qui datent aussi de dizaines d'années (je n'ai pas vraiment suivi l'évolution):

Vladimir Arnold, méthodes mathématiques de la mécanique classique (pour le théorème de Liouville)

M Toda , Theory of non linear lattices

P.G.Drazin & Johnson, Solitons: an introduction.

Par contre, des articles récents mentionnent une classification de ces modèles comme cas particuliers du modèle de Yang-Mills auto-dual:

Integrable systems and reductions of the self-dual Yang–Mills equations, par Ablowitz, S. Chakravarty, R. G. Halburd, Journal Of Mathematical Physics 44, R 8 , 2003

et ceci:
https://arxiv.org/abs/2411.10807


Il faudrait que je les lise, ça a l'air intéressant.

Mais tout cela c'est de la physique classique, de la physique mathématique non quantique. Ce qui n'apparait pas de manière évidente dans ces références (sauf les plus récentes), c'est le lien avec les algèbres de Lie et les algèbres de Kac Moody, qui étaient au centre de mes recherches à l'époque.

Il y a aussi une grande littérature sur les aspects quantiques, et le sujet que je voulais rechercher était, du moins je le pensais, de nature quantique: la recherche de dualités entre des systèmes intégrables de diverses sortes, et aussi les versions supersymétriques qui étaient très en vogue à cette époque. On pensait que cela pouvait avoir un intérêt dans la constructions de modèles physique. Mais je ne pense pas que ces sujets puissent aider à approfondir le formalisme quantique, c'est un tout autre sujet.