Geométrie non commutative appliquée à la physique.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

J'ai décidé ces derniers temps de commencer à apprendre la physique théorique ( Physique quantique, théorie des champs, théories des jauge ... etc ), par la voix de la géométrie non commutative de Alain Connes, que je pense bien maitriser ses bases liées aux mathématiques pures. Par contre, pour l'application de la géométrie non commutative en physique, j'avoue que je suis encore débutant dans le domaine.

J'aimerais vous demander de m'éclairer sur un point qui me taraude depuis quelques jours. Le voici,

Il existe un dictionnaire qui permet de passer à travers des analogies, d'une propriété géométrique appartenant à la théorie de relativité générale, à son équivalent algébrique, appartenant à la théorie de la physique quantique et inversement.
On peut représenter ce dictionnaire qui énumère ces analogies par la flèche suivante, , où,
- est une variété qui est un objet géométrique dont l'étude de ses propriétés est incorporée dans la théorie de relativité d'Einstein.
- est une - algèbre des fonctions continues complexes , définies sur ( choisie pour le moment, commutative, pour simplifier ), et qui est un objet algébrique dont l'étude de ses propriétés est incorporée dans la théorie de physique quantique.

On a, d'après le théorème de Gelfand-Naimark, , où, est un espace de Hilbert séparable, et est l'algèbre des opérateurs bornés sur . Donc, on peut voir, une fonction continue complexe sur comme un opérateur , par, l'injection canonique, , d'où, le morphisme injectif, , qu'on appelle représentation de sur . Voila donc pourquoi j'ai dit au début que, est un objet algébrique dont l'étude de ses propriétés est incorporée dans la théorie de physique quantique. Parce que, on peut voir, comme une sous algèbre d'opérateurs qui est un objet bien propre à la théorie de physique quantique.

Mes questions sont les suivantes,

- Si on prend un triplet spectral de la forme, , où, est un opérateur de Dirac sur un espace de Hilbert séparable , qui, on n'a pas besoin de le préciser plus exactement, quel est l'analogue géométrique de l'opérateur , situé à gauche, dans le dictionnaire, , étant donné que est un objet algébrique, situé à droite de la flèche, ?.

- Si on prend une connexion sur un fibré de , quel est l'analogue algébrique de la connexion , située à droite, dans le dictionnaire, , étant donné que est un objet géométrique, situé à gauche de la flèche, ?.

Merci d'avance.
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