Discrétisation du champs gravitationnel.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Sur le lien suivant, https://fr.wikipedia.org/wiki/Champ_gravitationnel , le champs gravitationnel est défini par, .

Est ce que vous pouvez m'expliquer pourquoi en théorie de relativité d'Einstein, on ne peut pas quantifier, , de façon à ce que, s'identifie à un opérateur linéaire entre deux espaces de Hilbert, à spectre discret ?

Par spectre discret, j'entends, les valeurs possibles que peut prendre le champs et qui forment un spectre discret, c'est à dire, forment un espace discret.

Merci d'avance.
-----

[mach3]

Sans trop connaître je dirais qu'il faut regarder comment on fait avec le champs électromagnétique et essayer de faire la même chose avec le champ gravitationnel. Normalement à un moment donné il y a un truc qui marche pas.

m@ch3

[Amanuensis]

Est ce que vous pouvez m'expliquer pourquoi en théorie de relativité d'Einstein, on ne peut pas quantifier,

Déjà, tout simplement parce que le concept de champ gravitationnel sur l'espace (et la formule donnée) appartient à la théorie de Newton, et est absente de la "théorie de relativité d'Einstein" (la "Relativité Générale").

En RG le champ dont vont dériver les effets attribués à la "gravitation" est le champ de tenseur de courbure sur l'espace-temps, et l'équation de champ de la théorie porte sur le "tenseur d'Einstein", qui est une "sous-partie" du champ de tenseur de courbure de l'espace-temps.

On pourrait déplacer la question sur la discrétisation du champ de courbure. C'est une piste qui est poursuivie depuis longtemps par certains "physiciens-mathématiciens", et cela n'a pas abouti pour le moment.

Tentative d'explication simplifiée de la difficulté (vision d'amateur) :

Un point aisé à comprendre indique une première difficulté, les champs d'interaction modélisés par la physique quantique sont des champs sur l'espace, et la notion d'espace en RG n'est pas simple du tout! Le champ de courbure est un champ sur l'espace-temps, ce qui est très différent, et en particulier ne met pas en jeu une notion "d'espace".

Moins aisé à comprendre : L'effet de cette différence peut se comprendre via l'idée que toute notion "d'espace" en RG est "dynamique", affectée par la courbure de l'espace-temps. Présenté autrement, le tenseur métrique (dont une fonction est de déterminer si un vecteur de l'espace-temps (en 4D) est temporel ou spatial, correspond à un déplacement 'dans le temps' ou un déplacement 'dans l'espace') est affecté par le champ d'Einstein, il "bouge", et la modélisation appliquée en physique quantique (modélisation qui introduit des discrétisation de spectres) marche bien avec un tenseur métrique "stable" (e.g., modèle de Newton ou modèle de Minkowski) mais est difficile à adapter à une métrique "dynamique", affectée par le champ même que l'on cherche à modéliser.

[Amanuensis]

Un point accessoire (?) qui n'est pas pris en considération dans le premier message est que le champ de gravitation de Newton, dont la formule est donnée, est mis en relation avec la distribution spatiale des masses. La masse est un scalaire, et pour Newton était invariant dans le temps.

Alors qu'en RG l'équation d'Einstein est une relation entre le champ de tenseur de courbure et la distribution spatio-temporelle des énergies-quantités de mouvement. Cette quantité n'est pas modélisée par un scalaire mais par un vecteur de l'espace-temps (une quantité à quatre composantes). La "valeur absolue" de vecteur, en utilisant la forme (pseudo-)métrique locale, est la masse, et celle-ci peut être nulle alors que le vecteur lui-même ne l'est pas (cas des quanta du champs électro-magnétique). La "source" du champ n'est pas la même qu'avec Newton.

Je ne sais pas si cette différence fondamentale affecte les tentatives de "discrétisation", mais c'est bien possible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Ce que l'on peut faire pour commencer, c'est partir de la théorie d'Einstein et la linéariser pour les champs faibles. Une possibilité est de considérer que la métrique de l'espace-temps courbe est la somme d'une métrique de Minkowski et d'une petite perturbation dont on néglige les puissances. C'est ce que l'on fait par exemple pour décrire les ondes gravitationnelles loin de leurs sources et cela marche bien quand ces ondes sont assez faibles pour ne pas trop perturber la métrique plate, par exemple le fameux pulsar binaire de Hulse et Taylor. Le "champ de gravitation" est alors ce terme du premier ordre .

Cette approximation ressemble par certains côtés, par exemple en ce qui concerne une invariance de jauge, à l'électromagnétisme, avec toutefois des différences au niveau algébrique. Mais ces différences n'empêchent pas de formuler à partir de cela une théorie quantique similaire à celle de l'électromagnétisme. Il apparaît alors pour les ondes gravitationnelles un quantum de masse nulle et de spin 2 que l'on appelle le graviton. Contrairement au photon de spin 1, on n'a aucune observation ou expérience qui permette de prouver l'existence de ce graviton mais si la théorie quantique est consistante, il doit exister. Par exemple cet article: https://arxiv.org/abs/2202.00786 .

Cependant, cette théorie linéarisée elle-même n'est pas consistante au niveau classique, non quantique, et de toute façon on sait qu'on doit tenir compte de toute la théorie d'Einstein, pas seulement de son approximation perturbative de champs faibles. Je reparlerai de cette inconsistance ci-dessous, mais pour la théorie quantique avec des interactions, on est en pratique un peu obligés de passer de toute façon par des approximations car les équations sont trop intraitables. C'est d'ailleurs ce que l'on fait avec l'électromagnétisme, les diagrammes de Feynman sont un développement en série en fonction de la constante de couplage traitée comme une perturbation du champ libre. Comme en électromagnétisme, les calculs poussés au second ordre comportant des boucles dans les diagrammes conduisent à calculer des intégrales divergentes, donc des résultats formellement infinis qui n'ont pas de sens. Cela signifie que la théorie n'est pas valide au delà d'une certaine échelle d'énergie ou à très faibles distances. Cela, on le sait bien pour l'électromagnétisme qui est la limite d'une théorie électrofaible, mais celle-ci présente les mêmes phénomènes de divergence. On s'en tire heureusement par un habile tour de passe passe: les paramètres qu'on insère dans la théorie au départ, comme la masse de l'électron ou sa charge, ne sont pas les paramètres mesurés mais s'en écartent par des facteurs qui sont formellement infinis. Un procédé permet de soustraire ces grandeurs dans les calculs et d'obtenir des résultats finis, vérifiés ensuite par l'expérience (pour certains avec 10 décimales). Cela se passe très bien pour l'électromagnétisme et les théories de jauge, car un petit nombre de facteurs mesurés de ce type suffisent pour supprimer récursivement toutes les divergences à tous les ordres du développement. Pour la gravitation, cela ne marche pas car la non-linéarité introduit des boucles purement gravitoniques qui apportent de nouvelles divergences à chaque ordre du développement quand le diagramme a plus de deux boucles. Cela signifie en pratique que pour vérifier la théorie, il faudrait effectuer une infinité de mesures, autrement dit que la théorie n'a aucun pouvoir prédictif. Néanmoins, on sait calculer des choses précises tant que les diagrammes restent finis. Par exemple une minuscule correction quantique au déplacement du périhélie, ou encore une quantification de l'énergie des planètes, trop petites pour être mesurées en pratique, mais théoriquement finies. On appelle cela une théorie non renormalisable.

Comme je l'ai mentionné, la théorie CLASSIQUE linéarisée n'est pas consistante. En effet, l'équation du champ exprime l'égalité d'un d'alembertien du champ au tenseur énergie-impulsion de la matière. Mais ce tenseur d'après le théorème de Noether (qui s'applique car l'espace-temps est celui de Minkowski qui est homogène) a une divergence nulle, qui exprime la conservation de l'énergie et de l'impulsion. C'est grave, cela veut dire qu'il n'y a pas de gravité. Cela vient du fait que le champ de gravitation (perturbation de la métrique d'EInstein) porte lui-même une énergie, qu'il doit emprunter à la matière ou la lui restituer (c'est bien le sens d'une interaction). Sans cela, pas de gravité! Il faut donc ajouter au tenseur énergie-impulsion de la matière celui calculé (par le théorème de Noether) pour le champ de gravitation lui-même; c'est la somme qui sera conservée. Mais dans ce cas l'équation n'est plus tirée de manière consistante d'un lagrangien et le premier membre doit être redéfini, ce qui entraîne un nouveau terme à ajouter au tenseur du membre de droite. En fait Stanley Deser a montré que ce processus n'est pas infini, si on le fait astucieusement il peut s'arrêter après trois termes et le résultat est la théorie d'Einstein complète, non linéaire et la métrique de Minkowski du départ n'est tout simplement plus observable. Tout cela (ainsi que les tentatives de théorie scalaire) est décrit dans un article de Norbert Straumann: https://arxiv.org/abs/astro-ph/0006423.

Le fait qu'une théorie est non renormalisable n'est pas une fatalité. Par exemple la théorie de Fermi de l'interaction faible était non renormalisable mais elle marchait jusqu'à un certain point. On peut par exemple l'utiliser pour calculer la durée de vie du muon avec une bonne précision. On savait dès les années 1950 qu'il fallait la compléter en introduisant des bosons intermédiaires mais aucune proposition à l'époque ne passait les tests de l'expérience ni la consistance théorique, jusqu'à l'unification électrofaible par Weinberg et Salam. La théorie de Fermi est une "théorie effective", il faut être conscient de ses limitations. Mais la théorie effective du champ de spin 2 est très différente car elle est inutile. En effet, on a des raisons de penser que la théorie quantique de la gravitation n'aura de prédictions observables qu'en champ fort (à l'échelle de Planck, pour les débuts du big bang ou près des trous noirs). La théorie approximative linéarisée ne prédira jamais que des effets bien trop petits pour être jamais mesurés.

Pour sortir d'une théorie effective, il faut en faire la limite d'une théorie renormalisable ou finie dont elle est une approximation. Pour la gravité on mentionnera pour mémoire les tentatives passées ou en cours concernant cette approche: théorie scalaire-tenseur, supergravité, supercordes, théorie M, gravité en boucles, triangulations causales, théorie avec graviton massif etc...

[Amanuensis]

Juste une remarque de terminologie, qui sera sûrement vue comme du pinaillage sans intérêt. Seulement ça me gène quand je lis le texte alors même que je connais le problème, et qui sait, je ne suis peut-être pas le seul.

L'adjectif "consistant" signifie en français "qui a de la consistance", ou "qui présente de l'importance, un caractère de solidité."

Dans le texte qui précède il est utilisé avec une autre signification, au sens de l'anglais. C'est donc un anglicisme, et se traduit normalement par "cohérent". Une théorie cohérente est une théorie qui ne présente pas de contradiction interne.

Bien sûr on peut comprendre qu'on parle de théories jugées comme "manquant de solidité", mais la non-contradiction interne est une notion plus précise et non subjective, que l'on peut argumenter par la logique.

[Anonyme007]

Bonjour,

Merci Amanuensis, mach3, et ThM55 pour toutes ces précisions.

En RG le champ dont vont dériver les effets attribués à la "gravitation" est le champ de tenseur de courbure sur l'espace-temps, et l'équation de champ de la théorie porte sur le "tenseur d'Einstein", qui est une "sous-partie" du champ de tenseur de courbure de l'espace-temps.

On pourrait déplacer la question sur la discrétisation du champ de courbure.

Tentative d'explication simplifiée de la difficulté :

Un point aisé à comprendre indique une première difficulté, les champs d'interaction modélisés par la physique quantique sont des champs sur l'espace, et la notion d'espace en RG n'est pas simple du tout! Le champ de courbure est un champ sur l'espace-temps, ce qui est très différent, et en particulier ne met pas en jeu une notion "d'espace".

Moins aisé à comprendre : L'effet de cette différence peut se comprendre via l'idée que toute notion "d'espace" en RG est "dynamique", affectée par la courbure de l'espace-temps. Présenté autrement, le tenseur métrique (dont une fonction est de déterminer si un vecteur de l'espace-temps (en 4D) est temporel ou spatial, correspond à un déplacement 'dans le temps' ou un déplacement 'dans l'espace') est affecté par le champ d'Einstein, il "bouge", et la modélisation appliquée en physique quantique (modélisation qui introduit des discrétisation de spectres) marche bien avec un tenseur métrique "stable" (e.g., modèle de Newton ou modèle de Minkowski) mais est difficile à adapter à une métrique "dynamique", affectée par le champ même que l'on cherche à modéliser.

Donc, ce que je comprends par là, est que l’équation d'Einstein qui est l’équation fondamentale de la théorie de relativité, qui se met sous la forme suivante, avec, ne peut pas être quantifiée, de même qu'on quantifie, par le principe de correspondance : et , l’équation relativiste : , en une équation quantique dite de Schrödinger : ? Si oui, est ce que c'est pour les mêmes raisons que tu as cités ?.

Merci d'avance.

[Anonyme007]

Ce que l'on peut faire pour commencer, c'est partir de la théorie d'Einstein et la linéariser pour les champs faibles. Une possibilité est de considérer que la métrique de l'espace-temps courbe est la somme d'une métrique de Minkowski et d'une petite perturbation dont on néglige les puissances. C'est ce que l'on fait par exemple pour décrire les ondes gravitationnelles loin de leurs sources et cela marche bien quand ces ondes sont assez faibles pour ne pas trop perturber la métrique plate, par exemple le fameux pulsar binaire de Hulse et Taylor. Le "champ de gravitation" est alors ce terme du premier ordre .

Cette approximation ressemble par certains côtés, par exemple en ce qui concerne une invariance de jauge, à l'électromagnétisme, avec toutefois des différences au niveau algébrique. Mais ces différences n'empêchent pas de formuler à partir de cela une théorie quantique similaire à celle de l'électromagnétisme. Il apparaît alors pour les ondes gravitationnelles un quantum de masse nulle et de spin 2 que l'on appelle le graviton. Contrairement au photon de spin 1, on n'a aucune observation ou expérience qui permette de prouver l'existence de ce graviton mais si la théorie quantique est consistante, il doit exister. Par exemple cet article: https://arxiv.org/abs/2202.00786 .

Cependant, cette théorie linéarisée elle-même n'est pas consistante au niveau classique, non quantique, et de toute façon on sait qu'on doit tenir compte de toute la théorie d'Einstein, pas seulement de son approximation perturbative de champs faibles. Je reparlerai de cette inconsistance ci-dessous, mais pour la théorie quantique avec des interactions, on est en pratique un peu obligés de passer de toute façon par des approximations car les équations sont trop intraitables. C'est d'ailleurs ce que l'on fait avec l'électromagnétisme, les diagrammes de Feynman sont un développement en série en fonction de la constante de couplage traitée comme une perturbation du champ libre. Comme en électromagnétisme, les calculs poussés au second ordre comportant des boucles dans les diagrammes conduisent à calculer des intégrales divergentes, donc des résultats formellement infinis qui n'ont pas de sens. Cela signifie que la théorie n'est pas valide au delà d'une certaine échelle d'énergie ou à très faibles distances. Cela, on le sait bien pour l'électromagnétisme qui est la limite d'une théorie électrofaible, mais celle-ci présente les mêmes phénomènes de divergence. On s'en tire heureusement par un habile tour de passe passe: les paramètres qu'on insère dans la théorie au départ, comme la masse de l'électron ou sa charge, ne sont pas les paramètres mesurés mais s'en écartent par des facteurs qui sont formellement infinis. Un procédé permet de soustraire ces grandeurs dans les calculs et d'obtenir des résultats finis, vérifiés ensuite par l'expérience (pour certains avec 10 décimales). Cela se passe très bien pour l'électromagnétisme et les théories de jauge, car un petit nombre de facteurs mesurés de ce type suffisent pour supprimer récursivement toutes les divergences à tous les ordres du développement. Pour la gravitation, cela ne marche pas car la non-linéarité introduit des boucles purement gravitoniques qui apportent de nouvelles divergences à chaque ordre du développement quand le diagramme a plus de deux boucles. Cela signifie en pratique que pour vérifier la théorie, il faudrait effectuer une infinité de mesures, autrement dit que la théorie n'a aucun pouvoir prédictif. Néanmoins, on sait calculer des choses précises tant que les diagrammes restent finis. Par exemple une minuscule correction quantique au déplacement du périhélie, ou encore une quantification de l'énergie des planètes, trop petites pour être mesurées en pratique, mais théoriquement finies. On appelle cela une théorie non renormalisable.

Comme je l'ai mentionné, la théorie CLASSIQUE linéarisée n'est pas consistante. En effet, l'équation du champ exprime l'égalité d'un d'alembertien du champ au tenseur énergie-impulsion de la matière. Mais ce tenseur d'après le théorème de Noether (qui s'applique car l'espace-temps est celui de Minkowski qui est homogène) a une divergence nulle, qui exprime la conservation de l'énergie et de l'impulsion. C'est grave, cela veut dire qu'il n'y a pas de gravité. Cela vient du fait que le champ de gravitation (perturbation de la métrique d'EInstein) porte lui-même une énergie, qu'il doit emprunter à la matière ou la lui restituer (c'est bien le sens d'une interaction). Sans cela, pas de gravité! Il faut donc ajouter au tenseur énergie-impulsion de la matière celui calculé (par le théorème de Noether) pour le champ de gravitation lui-même; c'est la somme qui sera conservée. Mais dans ce cas l'équation n'est plus tirée de manière consistante d'un lagrangien et le premier membre doit être redéfini, ce qui entraîne un nouveau terme à ajouter au tenseur du membre de droite. En fait Stanley Deser a montré que ce processus n'est pas infini, si on le fait astucieusement il peut s'arrêter après trois termes et le résultat est la théorie d'Einstein complète, non linéaire et la métrique de Minkowski du départ n'est tout simplement plus observable. Tout cela (ainsi que les tentatives de théorie scalaire) est décrit dans un article de Norbert Straumann: https://arxiv.org/abs/astro-ph/0006423.

Le fait qu'une théorie est non renormalisable n'est pas une fatalité. Par exemple la théorie de Fermi de l'interaction faible était non renormalisable mais elle marchait jusqu'à un certain point. On peut par exemple l'utiliser pour calculer la durée de vie du muon avec une bonne précision. On savait dès les années 1950 qu'il fallait la compléter en introduisant des bosons intermédiaires mais aucune proposition à l'époque ne passait les tests de l'expérience ni la consistance théorique, jusqu'à l'unification électrofaible par Weinberg et Salam. La théorie de Fermi est une "théorie effective", il faut être conscient de ses limitations. Mais la théorie effective du champ de spin 2 est très différente car elle est inutile. En effet, on a des raisons de penser que la théorie quantique de la gravitation n'aura de prédictions observables qu'en champ fort (à l'échelle de Planck, pour les débuts du big bang ou près des trous noirs). La théorie approximative linéarisée ne prédira jamais que des effets bien trop petits pour être jamais mesurés.

Pour sortir d'une théorie effective, il faut en faire la limite d'une théorie renormalisable ou finie dont elle est une approximation. Pour la gravité on mentionnera pour mémoire les tentatives passées ou en cours concernant cette approche: théorie scalaire-tenseur, supergravité, supercordes, théorie M, gravité en boucles, triangulations causales, théorie avec graviton massif etc...

Merci beaucoup ThM55.
Je comprends très bien votre texte, en ayant lu hier ce pdf, https://arxiv.org/pdf/1303.2556 , mais, j'ai du mal à me familiariser pour le moment avec comment approximer ( linéariser ) une théorie non renormalisable par une théorie renormalisable. Peux tu me donner un petit exemple sympas, non trivial à ce propos, pour bien comprendre ?

Merci infiniment.

[Anonyme007]

Sans trop connaître je dirais qu'il faut regarder comment on fait avec le champs électromagnétique et essayer de faire la même chose avec le champ gravitationnel. Normalement à un moment donné il y a un truc qui marche pas.

m@ch3

Oui, je sais le faire avec la théorie de l’électromagnétisme et leurs équations de Yang Mills correspondantes, mais, quant j'essaye à le faire pour le champs gravitationnel classique de Newton, je n'y arrive pas.

[ThM55]

Bonjour,

Merci Amanuensis, mach3, et ThM55 pour toutes ces précisions.



Donc, ce que je comprends par là, est que l’équation d'Einstein qui est l’équation fondamentale de la théorie de relativité, qui se met sous la forme suivante, avec, ne peut pas être quantifiée, de même qu'on quantifie, par le principe de correspondance : et , l’équation relativiste : , en une équation quantique dite de Schrödinger : ? Si oui, est ce que c'est pour les mêmes raisons que tu as cités ?.

Merci d'avance.

Non, on peut le faire mais la différence avec ce que tu montres c'est qu'il faut quantifier un champ, qui a un nombre infini de degrés de liberté. La substitution et l'équation de Schrödinger que tu montres, c'est pour une particule, qui a un nombre fini de degrés de liberté. Qui plus est l'exemple en question est non relativiste. On sait aussi quantifier des champs, par exemple par l'intégrale de chemin de Feynman, mais c'est plus compliqué. Hawking l'a fait pour le champ de gravitation en espace-temps euclidien (temps imaginaire), donc pourquoi devrait-on dire que c'est impossible? Personne ne peut l'affirmer. Je ne crois pas que ce soit impossible mais il est aussi important de réaliser que la théorie classique de laquelle on part, celle d'Einstein (espace-temps courbe, action d'Einstein-Hilbert) a elle-même des fondations incertaines et mal comprises. En particulier on a des théorèmes dits "de singularité" qui semblent indiquer que le comportement des solutions en certains points devient non physique. Ces théorèmes montrent que la singularité au centre d'un trou noir où la courbure devient infinie est un phénomène assez générique des maths utilisées et n'est pas dû à la symétrie sphérique ou axiale. L'idée répandue est que la quantification devrait résoudre ces problèmes.

Certains pensent qu'il ne faut pas quantifier la gravité comme, je crois, Penrose. L'article de Deser que j'ai mentionné donne un argument très classique pour expliquer au contraire pourquoi on doit quantifier. Comment le faire, c'est le vrai problème. C'est très difficile et il est vraisemblable que cette situation doive perdurer parce que les prédictions resteront longtemps hors de nos capacités expérimentales. Mais même sur ce constat, tout le monde n'a pas le même avis (voir la chaine youtube de Sabine Hossenfeder par exemple). D'autres ont baissé les bras. Par exemple le mathématicien John Baez était en pointe dans ce domaine il y a 10 à 20 ans mais un jour il a annoncé qu'il cessait ses recherches sur la gravité quantique car il n'y voyait aucun progrès possible et il s'est dirigé vers d'autres sujets. Bref, il n'y a rien d'établi, ce n'est absolument pas comparable avec l'électrodynamique quantique ou la physique des particules.