potentiel vecteur, moment magnétique, aimantation, approximation dipolaire

[EttoreElMagnifico]

Bonjour,

Tout d'abord, je tiens à remercier ceux qui m'ont répondu et éclairé sur le précédent sujet que j'avais ouvert .

Ensuite, j'ai des petits soucis avec quelques formules en électromagnétisme. S'agissant des phénomènes de polarisation et d'aimantation, voici deux formules dont j'ai du mal à trouver le cheminement exact (l'une est une définition, l'autre est un corollaire de l'approximation du potentiel-vecteur à grande distance d'une spire parcourue d'un courant I). Concernant la formule "définition", il s'agit d'une conséquence de la compréhension phénoménologique du magnétisme (au même titre que la force de Lorentz par exemple je pense), mais j'ai du mal à la recouper avec justement les expériences liées au magnétisme et surtout j'aimerais des précisions sur sa formulation mathématique (notamment ce 1/2.. ça fait débutant, mais je ne vois tout simplement pas là)

Pour l'autre, le vecteur noté J n'est PAS le vecteur densité de courant mais un champ électrique (fictif). Elle me pose souci en ceci que je ne parviens pas en triturant la formule du potentiel-vecteur "approximée" en champ lointain (de la spire) et les équations de Maxwell à retrouver une telle formule (valable UNIQUEMENT pour un vecteur aimantation M constant).

Merci pour vos éclaircissements.

Ettore
-----

[gts2]

Bonjour,

Pour le premier le 1/2 est le même que celui de la vitesse aréolaire versus constante de la loi des aires : si on prend un système simple, une boucle de courant, et que l'on calcule ; si on prend l'interprétation géométrique du produit vectoriel , Σ étant la surface du parallélogramme construit sur r et dl, S étant l'élément de surface permettant par intégration d'obtenir la surface de la spire (S est la surface balayée de la loi des aires). Donc si on définit le moment d'une boucle par IS, il faut bien diviser par 2.

Pour la deuxième, je ne vois pas le problème : , si M est constant on le sort de l'intégrale ce qui donne

En prenant la même géométrie chargée avec une charge volumique constante , si vous appelez J=E/ρ, cela donne bien

Après l'intérêt de ce vecteur J que je découvre, je ne sais pas.

[EttoreElMagnifico]

Super merci, c'est parce que je considérais m et non pas M dans le potentiel vecteur, d'où la confusion.

Disons qu'on utilise ce fameux "J" pour le calcul du champ fictif dans le cas du champ dépolarisant, et en considérant une densité volumique égale à 1C/m3, cela donne une autre méthode pour le calcul du champ magnétique via B = rot(A) (exemple : calcul du champ B dans une sphère aimantée par un vecteur aimantation constant M suivant l'axe z)

Cela dit, cela oblige à avoir à exprimer ce fameux champ effectif avant, d'où un travail supplémentaire plutôt que le calcul direct..

Oui effectivement, je revois cette formule dans l'expression du moment cinétique lorsqu'on retrouve la fameuse loi des "aires" de Kepler !

Amicalement

[EttoreElMagnifico]

Juste une petite chose, sur l'image jointe, on voit que dans l'expression de la surface, l'intégrale ne fait pas apparaître les paramètres des sous éléments du vecteur pho (notés pho 1 et pho 2). Sommes nous d'accord que c'est une notation "abusive" ou simplifiée au sens où on a en réalité pho 1 = pho 1 (x1) et pho 2 = pho 2 (x2) où (x1, x2) est un paramétrage quelconque du plan (enfin pas quelconque, on prend évidemment un paramétrage cartésien pour simplifier les calculs..) ?



Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Le calcul (7.25) suppose une surface plane S perpendiculaire à n de manière à écrire , étant deux vecteurs unitaires perpendiculaires appartenant à S. On a bien et en effectuant le produit vectoriel on obtient bien l'expression (7.25) dans laquelle les apparaissent bien explicitement.
Donc je ne comprends pas trop la question.

[EttoreElMagnifico]

Bonsoir,

Oui tout à fait, pas besoin de paramétrage pour retrouver la formule, je pensais simplement aux formules en calcul différentiel dans lesquelles on fait apparaître un paramétrage (comme une courbe paramétrée).

Merci et amicalement

[EttoreElMagnifico]

Afin d'éviter de rouvrir un sujet et sachant qu'il s'agit encore d'une question d'électromagnétisme, je me permets de vous soumettre une autre question, celle ci concernant l'expression du champ magnétique phénoménologique retenue dans l'expression de la contribution de la force magnétique dans la force de Lorentz, qu'on peut retrouver ci dessous :




Ma question concerne l'expression phénoménologique du champ B exprimé, où il est considéré que la particule 'source' du champ E-B est la particule de charge q1. Cette expression est en effet à la base de la démonstration de la loi de Biot et Savart, qui n'est donc qu'un cas particulier de l'expression présentée ici en toute généralité. Semble-t-il que ce sont d'ailleurs Biot et Savart qui en 1820 se sont penchés sur la question du comportement du champ magnétique en tant que générateur d'une force avec diverses expériences. Il faudrait que je poursuive mes recherches, mais à ce stade, auriez vous une explication à cette expression du champ B ou des documents relatant précisément des travaux de Biot et Savart, ou tout document sur la phénoménologie de l'expression du champ B.

A mon sens, cette expression doit être "englobée" nécessairement par les équations de Maxwell, puisque ces équations sont censées décrire tout l'électromagnétisme. Pourtant, c'est bien le théorème d'Ampère qui résulte de l'équation de M-A, et pas une expression en particulier comme celle présentée ci dessus..

Enfin, cette expression est vraiment cruciale, car bien qu'on dispose de l'équation de M-A, de nombreux problèmes peuvent nécessiter un calcul du champ ne permettant pas l'utilisation du théorème d'Ampère..

Merci

[EttoreElMagnifico]

je ne peux pas modifier alors : en réalité, l'expression présentée n'est PAS incluse dans les équations de Maxwell (différenciation équations sources de l'équation dynamique : force de Lorentz).

Bien qu'on ait donc deux méthodes totalement distinctes pour déterminer le champ B (enfin voire plus..), à savoir le théorème d'Ampère ou l'expression du champ magnétique exprimée ci dessus, dont la loi de Biot et Savart n'est qu'un particulier, le champ B décrit sera de "même nature", au sens, l'un est obtenu avec les équations sources, l'autre avec l'équation dynamique. Je suis perplexe, ou bien totalement à côté de la plaque ?..

[gts2]

L'expression phénoménologique du champ B exprimé, où il est considéré que la particule 'source' du champ E-B est la particule de charge q1. Cette expression est en effet à la base de la démonstration de la loi de Biot et Savart, qui n'est donc qu'un cas particulier de l'expression présentée ici en toute généralité. Semble-t-il que ce sont d'ailleurs Biot et Savart qui en 1820 se sont penchés sur la question du comportement du champ magnétique en tant que générateur d'une force avec diverses expériences. Il faudrait que je poursuive mes recherches, mais à ce stade, auriez vous une explication à cette expression du champ B ou des documents relatant précisément des travaux de Biot et Savart, ou tout document sur la phénoménologie de l'expression du champ B.

Il faut voir de quelle démonstration vous parlez, s'il s'agit de celle de Biot et Savart (1820), elle ne peut faire intervenir la force de Lorentz (1895).
On démontre, aujourd'hui, la loi de Biot et Savart directement à partir des équations de Maxwell (Historiquement, la construction est inverse)

L'interaction entre deux charges ponctuelles est problématique et demande beaucoup de précautions.

Pour les documents :
Le site Ampère http://www.ampere.cnrs.fr/parcourspe...mule/index.php

Enfin, cette expression est vraiment cruciale

Si vous parlez de celle de B, c'est Biot et Savart et comme déjà dit cela se montre à partir de Maxwell.

Bien qu'on ait donc deux méthodes totalement distinctes pour déterminer le champ B ...

Le problème est de savoir d'où sort cette expression de la force de q1 sur q2.

A mon sens, cette expression doit être "englobée" nécessairement par les équations de Maxwell, puisque ces équations sont censées décrire tout l'électromagnétisme...

Non, comme vous le dites vous-même :

l'expression présentée n'est PAS incluse dans les équations de Maxwell (différenciation équations sources de l'équation dynamique : force de Lorentz).

Pour résoudre un problème d'électromagnétisme, il faut les équations de Maxwell ET les relations constitutives de la matière.

[EttoreElMagnifico]

Bonsoir gts2,

Merci pour vos réponses toujours intéressantes et pertinentes, c'est un plaisir d'avoir vos retours !

Merci pour le lien également, que je vais aller consulter de ce pas.

Donc vous ne savez pas non plus d'où sort cette relation (6.17) ?

Quand vous dites "relations constitutives de la matière", ie, distribution de charges, courant, conservation de la charge, modèle de Drüde, etc.. ?

Une nouvelle question, si ce n'est pas trop vous demander. Lorsqu'on étudie l'aimantation d'un milieu, on peut remplacer l'expression par ce qui permet de rendre le problème équivalent un problème de magnétostatique dans le vide. Or, dans le cas où il y a également un courant en surface (densité de courant surfacique donc) en plus du courant volumique, on ne le fait pas figurer dans l'équation locale de M-A. Je ne saisis pas, ça ne me paraît pas du tout rigoureux.. Ces courants contribuent bien à l'expression totale du champ magnétique (d'aimantation) !

La même question se pose de façon équivalente pour la polarisation, où cette fois c'est la divergence du vecteur P qui apparaît et on ne fait pas apparaître les distributions surfaciques..

Merci

ps : je me remets un peu à Latex, ce sera plus joli et plus clair par contre à la prévisualisation ça s'affiche et sur le message du post, ça ne marche pas..

[EttoreElMagnifico]

ah ben si ça remarche, oulà là

[gts2]

Donc vous ne savez pas non plus d'où sort cette relation (6.17) ?

Non

Quand vous dites "relations constitutives de la matière", ie, distribution de charges, courant, conservation de la charge, modèle de Drüde, etc.. ?

Les distributions sont des définitions, la conservation de la charge est inclus dans Maxwell (c'est l'origine du "courant de déplacement"), par contre Drude, Ohm, relation P E, M B... oui

Lorsqu'on étudie l'aimantation d'un milieu, on peut remplacer l'expression par ce qui permet de rendre le problème équivalent un problème de magnétostatique dans le vide. Or, dans le cas où il y a également un courant en surface (densité de courant surfacique donc) en plus du courant volumique, on ne le fait pas figurer dans l'équation locale de M-A. Je ne saisis pas, ça ne me paraît pas du tout rigoureux.. Ces courants contribuent bien à l'expression totale du champ magnétique (d'aimantation) !

Les grandeurs surfaciques sont inclus dans Maxwell : on passe bien de à . Il "suffit" de raisonner en distribution.

[EttoreElMagnifico]

OK, oui j'ai fait un abus de langage en incluant aussi les définitions et autres.. merci pour cette précision

Ensuite : on a , d'où on peut alors écrire : . Je ne vois pas d'où vient la possibilité d'écrire

Amicalement

[EttoreElMagnifico]

NE PAS LIRE LE PREMIER MESSAGE

A nouveau je ne peux plus modifier à cause des 5 minutes :

, d'où on peut alors écrire : . Je ne vois pas d'où vient la possibilité d'arriver à


En fait je crois que ce n'est pas comme ça qu'il faut faire, étant donné que le courant d'aimantation js est un "VRAI" courant surfacique, donc il doit y avoir une autre façon de faire
Amicalement

[gts2]

En partant comme cela, voir le calcul à : Équations_de_passage, l'idée est de prendre la surface perpendiculaire à z, on alors des intégrales du type

On peut faire la même chose avec j=rot(M) et M qui passe de M à 0.
L'analogie n'est pas parfaite, mais on voit bien qu'une relation volumique avec un rotationnel, donne une discontinuité tangentielle avec des grandeurs surfaciques.

Je ne suis pas sûr que : "le courant d'aimantation js est un "VRAI" courant surfacique"

[gts2]

On montre de manière générale qu'en présence d'une discontinuité de X selon une surface perpendiculaire à n :

[EttoreElMagnifico]

PArfait merci gts 2 !

[EttoreElMagnifico]

C'est un courant plutôt fictif effectivement, je n'aurais pas du employer le mot "vrai" !

[gts2]

Dans mes expressions générales, j'ai oublié le Dirac δ, disons que n est selon z et que la surface est en z=0 :

[EttoreElMagnifico]

Encore sur le sujet de la polarisation, je suis un peu dubitatif face à l'énoncé suivant tiré d'un bouquin :



On exprime le champ lié à la particule Q facilement, puis on se dit, le champ électrique généré par cette particule va induire une certaine polarisation dans le matériau diélectrique (supposé L.H.I.) dont la forme n'est pas forcément triviale, mais on peut supposer par exemple l'induction seule de charges surfaciques, ce qui donne une expression de champ de dépolarisation très simple pour les deux coquilles sphériques via le théorème de Gauss.

Après quoi, on peut exprimer le vecteur P via : où

On a donc exprimer le vecteur P, mais je ne vois pas quel est le sens de la question de demander finalement les charges "liées" puiqu'on avait forcément besoin de les supposer pour les calculs précédents.. le serpent se mord la queue !

La seule situation où on peut exprimer ces charges, c'est lorsqu'on dispose d'une expression du vecteur polarisation, via les relations du dipôle électrique approximée.

[gts2]

On exprime le champ lié à la particule Q facilement.

Si vous parlez de E non, car comme vous le dites vous même on a besoin des charges liées.

Par contre le calcul de D est simple, puisqu'il ne fait intervenir que les charges libres.
Une fois qu'on a D, on a E puis P puis les charges équivalentes.

[EttoreElMagnifico]

Bonjour gts2,

Alors ce que j'appelais le champ E était de façon très basique le champ d'une particule ponctuelle, qui est tiré de l'expression de la force de Coulomb.

Oui ok c'est vrai, merci, du coup, le champ E qui apparaîtra de l'expression de D est bien le champ électrique total (somme champ appliqué de la particule de charge Q et champ dépolarisant qui lui n'est pas connu dans forme exacte vu qu'on a pas P)

Après quoi on déduit P grâce à relation matériaux LHI puis les charges liées grâce aux relations du dipôle électrique

Merci !