Ce que mesure la distance dans l'espace de Hilbert

[Husserliana]

Bonjour,

Ma précédente question n'a pas pris, manifestement, soit qu'elle était trop spécifique, inintelligible ou tout simplement trop ennuyeuse

J'essaie donc autrement. Je voudrais me faire une idée précise de ce que mesure la distance entre deux états quantiques (deux vecteurs d'état) dans l'espace de Hilbert.
Il m'avait semblé qu'elle définiet essentiellement la différence/similarité entre ces états (distance maximale=états orthogonaux, et donc complément distincts).

Êtes-vous d'accord avec cette prémisse?

Par suite :

* Faut-il nécessairement que ces états soient normalisés, pour que mesure puisse être faite ? Il me semble que oui, car sinon, la distance dépendrait de la norme des vecteurs, et on ne préserverait pas l'invariance d'échelle.


* de quelles "metriques" peut-on faire usage, pour mesurer cette distance/similarité ?
Il me semblait que pour deux états, on pouvait définir la norme de leur différence : d(ψ,ϕ)=∥ψ−ϕ∥=⟨ψ−ϕ∣ψ−ϕ⟩​

Mais j'ai aussi entendu parler de la notion de fidélité, de "trace distance"..Est-ce chaque fois la même notion de distance (au moins qualitativement) qui est en jeu ?
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[La Limule]

Sans ajout de structures en plus de celle d'espace de Hilbert,
la seul chose dont on peut parler c'est celle de probabilité , ou d'amplitude de probabilité.
il y a un produit scalaire. deux états sont orthonormaux si la transition de v1 à v2 a une probabilité nule.

si on pouvait trouver une mesure au sens métrique ca voudrait dire que pout tout vecteur son espace orthogonal serait réduit au vecteur nul ?

[coussin]

La distance que vous donnez ne me semble pas être 0 pour les vecteurs et ce qui me semble problématique, non ?
Il y a effectivement fidélité et "trace distance"; ce sont des objets qui agissent sur des matrices densité.
https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_distance

[Husserliana]

Bonjour La Limule, et merci pour ton intervention !

Il me semble dans un espace de Hilbert, chaque vecteur a un espace orthogonal bien défini et bien a lui (=qui contient TOUS les vecteurs orthogonaux à lui), et cet espace n’est pas réduit au vecteur nul.
Si on prend l’espace Rⁿ avec le produit scalaire usuel ; dans cet espace, chaque vecteur a un espace orthogonal bien défini. Prenons un vecteur v = (1, 0, 0) dans R³
L’espace orthogonal à v est l’ensemble de tous les vecteurs qui lui sont orthogonaux, soit tous les vecteurs de la forme (0, y, z), où ( y ) et ( z ) sont des réels. Cet espace orthogonal est un sous-espace de dimension 2, et il n’est pas réduit au vecteur nul...
Bref, la distance de Hilbert et les concepts de probabilité et d’amplitude coexistent sans contradiction.... il me semble, toujours !

Et de fait, l'espace de Hilbert étant un espace métrique, je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas parler de distance (ne serait-ce que via le produit scalaire, d'où l'on infère la norme, et par suite la norme de la différence entre ces vecteurs), en plus des amplitudes de probabilité.
Et de fait, cette mesure de la distance (je lis parfois "distinguishability measure"!) Paraît cruciale en théorie de l'information

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Ce qui distingue les états quantiques, et exprime leur similarité ou leur dissimilarité, c'est leur produit scalaire: : c'est un nombre complexe et le carré de leur module donne la (densité de) probabilité de transition de l'un à l'autre lors d'une mesure. S'ils sont normalisés, on voit immédiatement que la distance déduite de la norme hilbertienne n'apporte rien de neuf, ça complique juste les choses. En effet:

.

Le résultat ne dépend que du produit scalaire. En réalité, c'est ce produit scalaire qui a une signification physique.

[Husserliana]

Bonjour Coussin !

En effet, la distance que j'ai évoqué ne rend pas.compte de cette équivalence de phase, soit du fait que ces vecteurs représentent le même état quantique.
D'où la nécessité alors d'utiliser (j'imagine ?) d'autres métriques, comme la fidélité ou la trace distance. Par exemple, la fidélité entre u et e^{iphiu} est maximale (égale à 1), et reflète donc leur identité (=l'absence de distance)...
À nouveau, c'est comme ça que je le.vois, mais je me gourre peut-être complètement...

[La Limule]

Nous sommes d'accord.

[Husserliana]

Bonjour ThM55, et merci !

Tu m'avais déjà très pédagogiquement exposé l'intérêt de se forger une intuition de la MQ à partir des produits scalaires.
J'entends que la distance puisse passer pour une redondance...
Mais si l'on se fait une interprétation géométrique de ce produit scalaire : dans l’espace de Hilbert, il se laisse alors interpréter comme une mesure de l’angle entre deux vecteurs d’état, non ? Si nul,.il indique que les vecteurs sont orthogonaux, et si maximals, alors ils sont colinéaires (=identiques à une phase près).
Eh bien dans cette mesure géométrique -- que je trouve pour le coup très intuitive-- j'ai du mal à ne pas.voir resurgir la notion de distance !
La distance de Hilbert entre deux états quantiques ψ et ϕ serait alors liée au produit scalaire par la formule : d(ψ,ϕ)=2(1−Re(⟨ψ∣ϕ⟩))​
(Je crois....?)
Certes, la distance dépend directement du produit scalaire, et donc de l’angle entre les vecteurs. Mais il me semble qu'il est aussi commode de les penser ensemble. Deux états sont orthogonaux quand l’angle entre eux est de 90 degrés, et la distance de Hilbert est maximale ; cela revient à dire que la distance est maximale quand l'angle est de 90, ce seraient juste deux sens de lecture possible (quand bien même la norme découlerait, mathématiquement, du produit scalaire)

Mais en outre, sommes nous d'accord sur le point suivant : toute la "géométrie" (angles ou distances) de l'espace de Hilbert permet de mesurer la similarité/dissimilarité des états, matrices, etc...?

[La Limule]

une distance sur l'espace ca se mesure en cm par exemple et des amplitudes de probabilité comme
dans les produits scalaires n'ont pas de dimension.

[ThM55]

Intuitivement en effet c'est une mesure de l'angle. En fait, une manière plus correcte et générale de penser les états quantiques est de les voir non comme des vecteurs, mais comme des rayons dans l'espace de Hilbert, c'est-à-dire des variétés linéaires de la forme où c est un paramètre complexe et est l'état normalisé. Le rayon représente un seul état physique. Vus du point d'un point de vue réel, ces rayons sont donc des plans, comme on parle du "plan complexe", mais mathématiquement il s'agit de droites complexes. Quand on normalise l'état, on fixe le module de c à 1, mais pas sa phase. Il se fait que tout le contenu physique de l'état est représenté par ce rayon. C'est pourquoi l'essentiel est le produit scalaire, autrement dit l'angle entre deux rayons. Si on pense cela de cette manière il est évident que la distance donnée par la norme n'est pas la bonne chose à considérer, c'est l'angle qui compte. On pourrait évidemment tout formuler avec la distance mais je vois cela comme une application du dicton "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué".

[Husserliana]

ThM55, merci à nouveau.
Je retrouve en effet la thèse selon laquelle les états quantiques sont mieux représentés par des rayons (ensembles de vecteurs de la forme {eiθψ, θ ∈ R}
plutôt que par des vecteurs individuels. Cela reflète le fait que la phase globale (θ) n’a pas d’impact observable sur l’état physique, seules les phaqes relatives dans une superposition ont un sens physique. Et donc, de loin en loin, on retrouve ce que rappelait Coussin, à savoir que les états ψ′ = eiθψ et ψ sont physiquement équivalent et ne sauraient être distingués.
Deux questions cependant :

1) si on met de côté l'aspect "intuitif" de la distance (j'avoue avoir plis de facilité à me figurer les choses ainsi, mais cela ne regarde peut-être que moi donc : pas pertinent), il me semble tout de meme que, dans certains contextes, la DISTANCE,plus que l'angle des rayons, capture la similarité recherchée. Particulièrement en theorie de l'info m.
Si je prends la distance de Hilbert-Schmidt :
dHS​(ρ,σ)=Tr[(ρ−σ)2]​
Ou encore la trace distance :
D(ρ,σ)=21​Tr∣ρ−σ∣
On a là deux mesures qui quantifient la différence entre deux matrices densité, permettant de comparer des états mixtes en fournissant une mesure de la “longueur” de la différence entre eux.
Il est explicitement question de distance ici, et non d'angle. Pourquoi ? Hypothèse (bien vague), parce que pour les états mixtes, les angles ne sont pas toujours bien définis ou intuitifs (le produit scalaire n'étant bien défini que pour les états purs). Les distances permettent de comparer ces états de manière plus complète et précise... ?
Et puis, tu m'accorderas peut-être que les distances permettent d’analyser la dynamique des systèmes quantiques et d’étudier la topologie des espaces d’états. Donc, ellles aident à identifier des structures géométriques et topologiques importantes pour comprendre les propriétés globales des systèmes quantiques.


2) mais plus important pour moi dans l'immédiat : es-tu d'accord quand au fait que dans l'espace des états, toute la géométrie (angles ou distances) ne sert jamais qu'à mesurer la similarité/dissimilarité entre les états (=les rayons, donc) ?

[La Limule]

Dans le titre il est indiqué "L'espace de Hilbert".
Mais du quel?
Pour un système a deux niveux il y aura un vecteur up , un down et leurs combinaisons linéaires.
pour le tien
quand on a la droite réelle il contient un vecteur orthogonant a tous les autres pour chaque valeur de l'abscisse?
et donc idem pour les 2 autres directions?
et il décrit les impulsions dans toutes les directions?

[lafysikCmoi]

Husserliana: Je voudrais me faire une idée précise de ce que mesure la distance entre deux états quantiques

La projection de tous les états de deux particules dans notre monde se traduit par des positions (et accessoirement des vitesses, des accélérations, des désintégrations). Finalement ce que nous appelons distance peut donc tout aussi bien s'appeler phase, géométriquement parlant la distance représente l'arc dont l'angle au centre, dans une sphère, un cercle, est la phase. Et lorsque nous regardons de la matière, les photons ne sont pas arrivés en ligne droite mais suivant un arc, à priori un demi-cercle lorsque les particules sont distantes au maximum
A l'inverse, peut-on supposer que les photons arrivent en ligne droite, et arriver à parler de phases entre les deux particules? c'est plus casse-gueule, à tel point que je me dis que toute tentative d'introduction de la géométrie euclidienne (déformée ou non par la gravité) dans le monde quantique sera veine
Plutôt que de parler de distance, on devrait parler universellement de phase

[La Limule]

Tu ne serais pas dans la phase délirante?

[lafysikCmoi]

la physique quantique parle de phase à peu près à toutes les sauces, tandis que la géométrie parle de distance, sans avoir à parler nécessairement de phase. Si la première a un problème avec la deuxième, ce que traduit l'incompatibilité PQ-RG, alors ce que je raconte n'est pas forcément déconnant. Je ne critique le concept de distance que pour dire qu'il est une approximation d'un concept plus fin, à base de phases, et après tout je en vois pas comment on pourrait mieux résumer la situation de la PQ au sein d'un monde perçu géométriquement
J'ai d'autres motivations pour arriver à cette conclusion