Contraction levi civita ordre 4

[Bolero2Ravel]

Bonjour à tous, j'ai une erreur de signe que je n'arrive pas à comprendre sur un calcul avec le tenseur electromagnétique.

Je cherche à montrer que
Donc pour faire ce calcul je pars du tenseur dual et je pose mu=0 et nu=i (ne varie que sur les indices spatiaux)

J'ai déjà montré que

Je me dis que je n'ai alors qu'à échanger les indices covariants et contravariants pour trouver mon résultat, seulement j'ai une erreur de signe. En effet:



Avec:

Sachant que et


Je trouve

En contractant grâce au delta et comme le premier indice du epsilon bloqué à zéro les autres indices ne peuvent pas prendre d'autres valeurs que j et k:

Où est mon erreur ?

Merci d'avance
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[Bolero2Ravel]

Mais je suis complètement à coté de la plaque, j'ai oublié le - :/
Comment passer dix minutes à piquer du latex pour rien. Merci quand même

[Bolero2Ravel]

Non je suis doublement à cote de la plaque, si un modérateur pouvait supprimer ce message et modifier le premier pour écrire que [TEX]F^{*}^{0i}=-1/2\epsilon_{ijk}F^{jk}=+B_i[\TEX]

Ce qui est l'opposé de ce que je veux montrer. Merci

[Bolero2Ravel]

Serait il possible que ? Cela reglerait les problèmes

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Non, ce n'est pas correct car dans il y a la composante où i=1, j=2 et k=3 et elle vaut 1 par définition, tout comme le symbole à 3 indices pour ces mêmes indices dans cet ordre.

Une astuce: quand on contracte des indices de tenseurs, on peut échanger leur caractère covariant et contravariant. Par exemple: . Ca se démontre avec la métrique et son inverse une fois pour toute, il n'est pas nécessaire de refaire la démonstration à chaque calcul et c'est valable quel que soit le nombre d'indices que l'on convertit ainsi et quelle que soit la signature de la métrique (je vois que tu utilises +---). Je propose d'appliquer ce théorème au calcul du dual:



car si un des indices est 0, les autres ne peuvent être que des indices spatiaux (antisymétrie complète).

grâce au théorème que j'ai signalé en préambule. Maintenant, je vais descendre l'indice i. Pour faire cela, on contracte avec un et on renomme l'indice m en i. Donc on doit changer le signe:

or, comme je l'ai montré: donc:

[ThM55]

Mais je trouve le même résultat que toi. Pourquoi dis-tu qu'il y a une erreur de signe? On retrouve bien comme demandé, non?

[Bolero2Ravel]

Merci pour votre réponse.

Effectivement je suis d'accord avec vous mais des choses surprenantes se passent avec ce tenseur antisymétrique. Par definition qui ne peur être non nul que pour alpha=0, beta=1, mu=2 et nu=3.

Alors: ??

Je suis aussi d'accord avec le reste de votre calcul (merci pour l'astuce) mais le resultat est toujours l'opposé de ce que je dois trouver.

[Bolero2Ravel]

Dans mon sujet de on me demande de montrer cette égalité mais avec un signe moins. Aussi quand je calcule explicitement chaque composante je trouve bien un signe moins sur la colonne mu=0

[gts2]

Il me semble que le symbole de Levi-Civita n'est pas un tenseur.

[Bolero2Ravel]

Par symbole de levi civita je voulais dire tenseur totalement anti symétrique d'ordre quatre

[mach3]

Alors: ??

Oui, enfin, c'est ce qui est indiqué dans le MTW, page 87, equation 3.50f

m@ch3

[ThM55]

Il me semble que le symbole de Levi-Civita n'est pas un tenseur.

C'est une densité je crois.

[ThM55]

Oui, enfin, c'est ce qui est indiqué dans le MTW, page 87, equation 3.50f

m@ch3

Oui c'est exact. En effet: en signature +---, on descend 3 indices, nombre impair donc signe moins; en signature -+++ (celle du MTW) on descend l'indice 0, et g00=-1 donc aussi signe moins.

[ThM55]

Merci pour votre réponse.

Effectivement je suis d'accord avec vous mais des choses surprenantes se passent avec ce tenseur antisymétrique. Par definition qui ne peur être non nul que pour alpha=0, beta=1, mu=2 et nu=3.

Alors: ??

Je suis aussi d'accord avec le reste de votre calcul (merci pour l'astuce) mais le resultat est toujours l'opposé de ce que je dois trouver.

Excuse-moi mais je ne vois pas pourquoi tu dis que le résultat est opposé à celui que tu dois trouver. Mon résultat est . C'est bien ce que tu demandes de montrer dans le premier message. Ou alors il y a quelque chose que je n'ai pas vu.

Concernant le Levi-Civitta, juste une petite remarque en passant, j'ai mentionné que c'est une densité. En fait tu considères dans l'énoncé le cas d'une métrique diagonale constante. Dans le cas général riemannien ou Minkowski en coordonnées curvilignes, la métrique n'est pas diagonale. Il faut alors noter que le second membre implique la somme pour toutes les valeurs possibles des indices et ce qu'on a c'est le déterminant de la métrique. Cela dit comme on ne considère qu'un point, on peut toujours diagonaliser g en ce point et le déterminant est 1, donc la remarque est un peu hors sujet.

[mach3]

C'est une densité je crois.

oui, je confirme, c'est indiqué ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Levi-C...Tensor_density et juste après il est expliqué comment construire un vrai tenseur à partir de ça dans le cadre RG.

m@ch3

[ThM55]

C'est vrai mais c'est un tenseur pour le groupe de Lorentz en relativité restreinte. C'est une densité pour le groupe des difféomorphismes en relativité générale. Mais ici, dans ce problème particulier ce n'est pas important car on ne considère qu'un seul point de l'espace-temps où le tenseur F est donné et on demande de calculer son dual. On peut donc choisir une classe de systèmes de coordonnées qui diagonalise le tenseur métrique (classe invariante sous Lorentz), son déterminant est 1 et on peut ignorer ce fait. Ce ne serait plus vrai si on devait calculer des dérivées ou des intégrales.

[ThM55]

Le lien entre le tenseur de Faraday F et les champs électrique et magnétique E et B demande toujours un peu d'attention et j'ai remarqué pendant des années que plein de cours et bouquins contiennent des erreurs de signe. Le plus récent pour moi est le livre, par ailleurs excellent, "Elementary Particle Physics" de Jean Iliopoulos et Theodore Tomaras, qui oublient un signe moins pour le champ magnétique. Si je compare avec le texte de théorie quantique des champs du même Iliopoulos, où tout est correct, je vois où il s'est trompé: il a remonté un indice spatial en signature +--- sans changer le signe. C'est sans conséquence pour le cours d'Iliopoulos-Tamaras car en théorie quantique on travaille plutôt avec le potentiel quadri-vecteur. Je recommande d'ailleurs chaudement ce bouquin si vous voulez apprendre tout du modèle standard!