Mass gap.

**Anonyme007** · 11/04/2025, 00h50

Bonsoir à tous,

Sur le lien suivant, https://en.wikipedia.org/wiki/Yang%E...e_and_mass_gap , on trouve la formule suivante :

$\text{[math]}$

Pouvez vous m'expliquer ce que signifie cette formule ?

Pour, $\text{[math]}$ , qu'est ce que c'est que cette notation bizarre ?

Merci d'avance.

**albanxiii** · 11/04/2025, 07h54

Bonjour,

C'est la notation de Dirac : https://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_bra-ket

**gts2** · 11/04/2025, 08h22

Bonjour,

Il y a oubli d'une barre verticale : $\text{[math]}$

**coussin** · 11/04/2025, 09h19

Dans ce contexte, je ne pense pas que ce soit une notation bra-ket. C'est plutôt une fonction de corrélation (ici, corrélation au même point d'espace pour des temps différents).

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Antonium** · 11/04/2025, 10h40

Bonjour,

oui il s'agit bien d'une fonction de corrélation, en notation bra-ket on pourrait écrire

$\text{[math]}$

où $\text{[math]}$ est un opérateur sur l'espace de Hilbert (en représentation d'Heisenberg) et $\text{[math]}$ est l'état propre du Hamiltonien avec la plus petite valeur propre, souvent mise à zéro (l'état de vide).

La formule signifie que s'il existe une particule de masse $\text{[math]}$ qui interagit avec les particules créées par l'opérateur $\text{[math]}$ , alors la fonction de corrélation décroit exponentiellement . C'est en contraste avec le cas où il n'y a que des particules sans masses, où on aurait alors une fonction de corrélation qui décroit comme une puissance

$\text{[math]}$

**ThM55** · 11/04/2025, 11h20

Oui, c'est une fonction de corrélation. $\text{[math]}$ est l'opérateur de champ en position x au temps t et la notation est la moyenne du produit de deux opérateurs dans le vide |0>.

Pour voir que cette expression indique l'existence d'un "mass gap" (ce qui signifie que le premier état excité a une masse finie), on peut prendre l'exemple évident d'un champ scalaire libre de masse m. Dans ce cas il y a évidemment un mass gap, chaque état excité d'impulsion p (quadrivecteur) est un état à une particule de masse m telle que m^2=^p^2, donc c'est vraiment évident, contrairement à Yang-Mills. Mais c'est généralisable au cas avec interaction. La fonction corrélation à deux points de la théorie s'écrit:

$\text{[math]}$

où T est l'opérateur d'ordonnancement dans le temps (pris ici imaginaire pour bien définir l'intégrale de chemin).

Les opérateurs de champ dépendent du temps, on est en représentation d'Heisenberg et on a $\text{[math]}$ .

On substitue dans G_2, on réécrit l'opérateur T comme une somme de deux termes avec les fonctions de Heaviside $\text{[math]}$ et on insère un ensemble complet d'états propres |n> du hamiltonien. On obtient ainsi:

$\text{[math]}$

On peut aussi translater dans l'espace les opérateurs de champs au moyen de l'opérateur d'impulsion (3-dim):

$\text{[math]}$

Dans un système invariant par translation, l'impulsion commute avec le hamiltonien (Noether!) et les états propres de celui-ci ont aussi une impulsion déterminée: $\text{[math]}$ .

En utilisant ce fait et en faisant $\text{[math]}$ on obtient finalement l'expression simplifiée qui est celle de Wikipedia:

$\text{[math]}$

Pour les grandes séparations de temps imaginaire $\text{[math]}$ , il y a un terme qui domine tous les autres, que je pose comme n=1. C'est l'état excité qui a la plus petite énergie, correspondant à un "mass gap" (écart de masse par rapport à l'état de vide). On voit que c'est cette décroissance exponentielle de la fonction de corrélation qui est le "marqueur" de ce mass gap. On peut montrer que cette décroissance exponentielle subsiste dans l'espace de Minkowski (temps réel).

La question qui est le sujet de la page Wikipedia est l'existence très probable d'un mass gap pour les champs de Yang Mills. Ces champs ont de manière intrinsèque, à cause de l'invariance de jauge non abélienne, des termes d'interactions dans le lagrangien qui sont des produits des champs (quadratiques). Cela pose de grosses difficultés pour la quantification pour des raisons mathématiques (les champs sont essentiellement des distributions à valeur opératorielle et on ne peut pas en général multiplier des distributions). On a des heuristiques qui permettent de les contourner mais cela reste incomplet, on ne dispose pas de preuves rigoureuses. Le fait qu'il y ait de tels produits fait penser qu'il doit exister un mass gap. Je dois dire que je ne comprends pas complètement pourquoi le Clay Institute offre toujours un prix, car le mass gap a été démontré par la méthode des champs sur réseau. Ils considèrent peut-être que ce n'est pas une bonne méthode parce que cela dépend de calculs numériques sur ordinateur, donc il voudraient une preuve plus analytique dans le cadre axiomatique de Wightman, avec des notions générales pour n'importe quel groupe de jauge non abélien. Ce genre de démonstration n'est certainement pas à la portée du premier venu, ni apparemment, même, des meilleurs théoriciens mondiaux.

Edit: croisement avec Antonium, qui a répondu plus vite.

**ThM55** · 11/04/2025, 11h35

En fait le problème posé par le Clay Institute a un autre volet, à mon avis plus large et plus profond que le sujet du mass gap, qui est de démontrer, dans le cadre axiomatique, que les théories de Yang-Mills ne sont pas "triviales" (qu'elles "existent" dans les termes de leur énoncé).

Ce terme "triviale" a une signification précise dans ce contexte, qu'il faut comprendre: une théorie devient triviale si en la résolvant exactement les interactions entre les particules disparaissent, les particules n'interagissent plus entre elles et n'ont donc plus d'états liés ni de processus de diffusion mutuelle. Cela rendrait la théorie complètement inopérante et inadéquate pour décrire la réalité. On a par exemple des raisons de penser que la théorie $\text{[math]}$ (champ scalaire avec un terme de degré 4 dans le lagrangien) dans l'espace de Minkowski est triviale après quantification, alors que classiquement il ne s'agit pas d'une théorie libre. C'est un phénomène purement quantique et difficile à comprendre dans sa généralité.

Résoudre exactement des théories quantiques de champ réalistes est extraordinairement difficile, si pas impossible. En fait, on ne connait de TQC résolubles exactement que pour certains modèles simplifiés sur un espace-temps à deux dimensions. C'est peu réaliste mais ces modèles sont intéressants malgré tout car comme on sait les résoudre on peut mieux comprendre ce qui se passe du point de vue mathématique avec l'espoir que certaines idées pourraient servir dans le cas à D dimensions (D >= 4).

**Anonyme007** · 11/04/2025, 16h48

Merci beaucoup à vous cinq pour vos réponses.

Un grand merci à ThM55 et Antonium pour leur réponses claires.

Est ce que vous pouvez m'expliquez le lien qui existe entre une fonction de corrélation ( 2 - point function ) et la borne inférieure du spectre associé à l'hamiltonien qu'on obtient par transformée de Legendre du Lagrangien associé à une théorie de Yang Mills de groupe de Lie $\text{[math]}$ quelconque ?

Merci infiniment pour vos réponses.

**ThM55** · 12/04/2025, 10h16

Envoyé par Anonyme007

Merci beaucoup à vous cinq pour vos réponses.

Un grand merci à ThM55 et Antonium pour leur réponses claires.

Est ce que vous pouvez m'expliquez le lien qui existe entre une fonction de corrélation ( 2 - point function ) et la borne inférieure du spectre associé à l'hamiltonien qu'on obtient par transformée de Legendre du Lagrangien associé à une théorie de Yang Mills de groupe de Lie $\text{[math]}$ quelconque ?

Merci infiniment pour vos réponses.

Si je pouvais l'expliquer, j'enverrais plutôt mon explication au Clay Mathematical Institute, avant de le poster ici.

**ThM55** · 12/04/2025, 10h37

Mais sans aller jusqu'aux champs de Yang-Mills, une petite explication s'impose peut-être: la dérivation que j'ai résumée dans le message #6 montre ce lien dans le cas d'un champ scalaire de Klein-Gordon: en mettant en sandwich entre les opérateurs les états propres complets du hamiltonien (supposés discrets dans ce cas), on voit que les énergies sont dans des exponentielles décroissantes et une seule domine.

Dans le cas de Klein-Gordon libre, on connaît déjà le spectre car on a une assemblée d'oscillateurs découplés donc cette dérivation n'apporte rien en ce qui concerne le spectre, elle sert seulement à montrer le lien de ce spectre avec la fonction de corrélation à deux points. Elle a un rôle de paradigme.

Dans le cas de Yang-Mills, c'est différent: ce champ est de masse nulle au départ, mais le lagrangien (donc le hamiltonien aussi) contient des termes d'interaction quadratiques et on sait que leur effet dynamique en théorie quantique des champs doit affecter le spectre et sans doute (comme la théorie sur réseau le laisse supposer) présenter un mass gap. Certains pensent que l'analyse de la fonction de corrélation donnerait des indications car c'est en quelque sorte la méthode de base en QFT. Cette fonction, ainsi que les fonctions à N > 2 points servent à répondre à toutes les questions expérimentales (amplitudes de diffusion, etc). Mais encore faut-il la calculer en tenant compte des effets non perturbatifs, et c'est là qu'est l'os!

**Anonyme007** · 12/04/2025, 17h13

Merci beaucoup pour toutes ces précisions ThM55.

Dans le pdf inséré ci-joint, pouvez vous m'expliquer un passage qui figure à la page : 317, et qui affirme ( en espagnol ),

Campos quanticos $\text{[math]}$ polinonios locales en la curvatura $\text{[math]}$ y sus derivadas covariates invariantes gauge.
Ejemplo : $\text{[math]}$ .

Même question à la page : 330, pouvez vous m'expliquer la phrase suivante :

Eligimos ( Choisissons ) puntos $\text{[math]}$ y ''operadores locales'' $\text{[math]}$ que sean polinomios en la curvatura y sus derivadas covariantes, invariantes por transformaciones gauge, en los puntos.

- Pourquoi $\text{[math]}$ est un polynôme local en la courbure $\text{[math]}$ et ses dérivées covariantes ?
- Que signifie que, les opérateurs locales $\text{[math]}$ sont des polynômes en la courbure $\text{[math]}$ et ses dérivées partielles ?
- Que signifie un polynôme local en la courbure $\text{[math]}$ et ses dérivées covariantes ?

Merci d'avance.

**ThM55** · 12/04/2025, 17h53

La courbure $\text{[math]}$ est une fonction tensorielle à valeur dans une représentation de l'algèbre de Lie du groupe de jauge. Il est évident que la trace d'un produit de deux matrices est un polynôme dans les éléments de matrice. Quand il disent que c'est local, je suppose que cela signifie, comme d'habitude en théorie des champs, que les coefficients sont tous évalués au même point de l'espace-temps. Un contre-exemple non local pourrait être $\text{[math]}$ où a est un 4-vecteur non nul.

Le truc fondamental en théorie quantique des champs est qu'on considère avant tout des grandeurs locale. Par exemple l'action est obtenue en intégrant une densité lagrangienne locale (tous les champs qui s'y trouvent sont au même point, on ne construit pas la densité lagrangienne en multipliant des champs pris en divers points séparés).

**Anonyme007** · 12/04/2025, 18h52

J'ai compris. Merci beaucoup ThM55.

Pouvez vous m'expliquer à l'aide d'une formule ce qu'est une série perturbative ? ( Voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_perturbative )
Je ne trouve pas de support sur le net parlant de cette notion malheureusement. C'est dans le cadre de la notion de liberté asymptotique d'une théorie des champs ( Voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Libert%C3%A9_asymptotique )

**ThM55** · 12/04/2025, 20h02

Une série perturbative est une méthode pour résoudre des équations impossibles à résoudre exactement, grâce à des approximations successives. Un exemple élémentaire est celui de l'oscillateur anharmonique, qui est un oscillateur harmonique avec un terme supplémentaire en x^3 dans le hamiltonien. On sait résoudre exactement le cas de l'oscillateur harmonique, on connaît son spectre et toutes les fonctions propres du hamiltonien, qui forment une base de l'espaces des états. On considère en général que l'oscillateur anharmonique n'a pas de solution exacte en terme de fonctions élémentaires (bon ce n'est pas tout à fait vrai, on peut s'en tirer avec des fonctions spéciales, mais cela n'a rien d'élémentaire et de n'est pas généralisable si le potentiel a d'autres termes que x^3). Si le terme supplémentaire est affecté d'un coefficient assez "petit" on peut partir de la solution de l'oscillateur harmonique et développer la correction en série de ce petit paramètre.

C'est ce que l'on fait depuis les années 1930-40 en électrodynamique quantique et 't Hooft, Veltman, Faddeev et d'autres ont démontré que c'est faisable aussi pour les champs de Yang-Mills.

Je suis un peu étonné de cette question alors que tu t'intéresses aux champs de jauge. Pour moi, vu ce contexte, cette question est absurde. La physique théorique moderne est une discipline qui demande à ses adeptes une initiation qui se fait étape par étape, chaque étape n'étant accessible qu'après avoir maîtrisé les précédentes. Par exemple pour arriver aux champs de jauge quantiques, il faut passer par: la mécanique newtonienne, la mécanique analytique, la relativité restreinte, l’électrodynamique classique (avec quelques applications: circuits, ondes, optique, etc), la mécanique quantique non relativiste (idem, quelques applications: atomes, noyaux, solides...), l'électrodynamique quantique avec les diagrammes de Feynman à deux boucles, des notions de théorie des groupes appliquées à la physique, et enfin on peut aborder les champs de jauge non abéliens. Dans cet ordre, et pas à l'envers en commençant par la fin

. NB: pour l'étape numéro 3 (RR) je recommande toujours de se concentrer sur les principes d'invariance et le calcul tensoriel, et d'oublier au plus vite les histoires de simultanéité et de voyageurs de Langevin, qui font perdre un temps fou avec des questions complètement inutiles

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**Anonyme007** · 12/04/2025, 20h19

Envoyé par ThM55

Je suis un peu étonné de cette question alors que tu t'intéresses aux champs de jauge. Pour moi, vu ce contexte, cette question est absurde. La physique théorique moderne est une discipline qui demande à ses adeptes une initiation qui se fait étape par étape, chaque étape n'étant accessible qu'après avoir maîtrisé les précédentes. Par exemple pour arriver aux champs de jauge quantiques, il faut passer par: la mécanique newtonienne, la mécanique analytique, la relativité restreinte, l’électrodynamique classique (avec quelques applications: circuits, ondes, optique, etc), la mécanique quantique non relativiste (idem, quelques applications: atomes, noyaux, solides...), l'électrodynamique quantique avec les diagrammes de Feynman à deux boucles, des notions de théorie des groupes appliquées à la physique, et enfin on peut aborder les champs de jauge non abéliens. Dans cet ordre, et pas à l'envers en commençant par la fin

. NB: pour l'étape numéro 3 (RR) je recommande toujours de se concentrer sur les principes d'invariance et le calcul tensoriel, et d'oublier au plus vite les histoires de simultanéité et de voyageurs de Langevin, qui font perdre un temps fou avec des questions complètement inutiles

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Oui. Merci. Je sais. Je suis mathématicien de formation. Je m’intéresse à la théorie de Yang Mills et à la physique en général juste par curiosité. Je pense avoir compris le principe de cette conjecture. Ce n'est pas difficile. Il reste juste quelques détails très spécifique pour compléter cette compréhension. J'ai arrêté les études il y a longtemps. Maintenant, j'apprends Yang Mills en autodidacte pour voir si je peux contribuer au développement d'une preuve à cette conjecture seul. J'ai appris l'électrodynamique quantique il y ' a longtemps sur youtube ( Integrale de chemins, diagramme de Feynmann ), mais j'ai tout oublié.

Hier, j'ai repris ces leçons, et j'avais oublié que j'avais appris ce qu'est la notion de 2-point function et fonctions de Green, mais, comme je t'ai dit, j'oublie vite ce que j'apprends, surtout si j'apprends un cours une seule fois sans retour.

Merci en tout cas pour ton aide ThM55. Je vois que tu as une large culture en sciences physiques.

Tu as de la chance, parce que tu peux aller plus loin dans la résolution de la conjecture de Yang Mills.

**Anonyme007** · 12/04/2025, 20h36

Envoyé par ThM55

Par exemple pour arriver aux champs de jauge quantiques, il faut passer par: la mécanique newtonienne, la mécanique analytique, la relativité restreinte, l’électrodynamique classique (avec quelques applications: circuits, ondes, optique, etc), la mécanique quantique non relativiste (idem, quelques applications: atomes, noyaux, solides...), l'électrodynamique quantique avec les diagrammes de Feynman à deux boucles, des notions de théorie des groupes appliquées à la physique, et enfin on peut aborder les champs de jauge non abéliens.

J'ai un prérequis assez solide de toutes ces disciplines que tu cites hormis la théorie de relativité restreinte. Je ne penses pas que ça pose problème pour moi. Ce qui me pose problème est mon échec de me familiariser avec l'électrodynamique quantique, parce que les diagrammes de Feynmann me font peur. Je suis familier un peu avec l'intégrale de chemin, et pour convertir les coefficients d'une fonction de partition en fonction d'une série de diagrammes de Feynmann, c'est ça ce qui me fait peur.

Je n'arrive pas à me familiariser avec la technologie de l'électrodynamique quantique ( Diagrammes de Feynmann, séries perturbatives, liberté asymptotique, renormalisation, cutoff, ... etc ) ça demande une patience insurmontable.

**ThM55** · 12/04/2025, 22h47

Il ne s'agit pas de maîtriser techniquement ces sujets dans leurs détails, ni de savoir tout calculer, comme les amplitudes de tous les processus, mais au moins de les comprendre dans les grandes lignes et dans leur principe. C'est en ce sens que j'entendais le mot "maîtriser".

Pour un mathématicien, je pense qu'il y a aussi un problème de vocabulaire et le fait que les physiciens font des choses qui n'ont pas la rigueur qui est considérée comme nécessaire en math. Par exemple quand on développe en série on suppose a priori que la série converge parce que la sagesse populaire dit qu'elle doit converger si la théorie est correcte, ce qui rend les mathématiciens fous parce que c'est tout simplement faux.

Michel Talagrand a écrit un livre sur la théorie des champs expliquée aux mathématiciens.
Petit secret:

Cliquez pour afficher

.

Il y a aussi les 3 livres d'Eberhard Zeidler sur la TQC, surtout le volume 2 consacré à l'électrodynamique quantique, dans lesquels il essaie de construire un pont entre les maths et la physique théorique. Malheuresement Zeidler est décédé avant de compléter cette série de livres et en ce qui concerne Yang-Mills son cours s'arrête au niveau classique. Et aussi le livre de Zee "Quantum Field Theory in a nutshell", qui rend les diagrammes de Feynman beaucoup plus faciles à comprendre, sans devoir tout calculer.

**ThM55** · 12/04/2025, 23h05

Il faut bien lire l'énoncé de ce problème rédigé pour le Clay Institute par Ed Witten. Ce qu'il demande en fait dépasse à mon avis la conjecture du mass gap à strictement parler. Il s'agit d'établir la théorie rigoureuse du champ quantique de Yang-Mills dans le cadre axiomatique et en déduire rigoureusement les propriétés spectrales.

Cela me rappelle une dernière référence, peut-être plus pertinente, qui décrit le cadre axiomatique de Wightman et se concentre sur les concepts: The conceptual framework of quantum field theory, par Anthony Duncan, Oxford University Press. Il y a tout un chapitre sur les propriétés spectrales dans ce cadre axiomatique, à mon avis le bon point de départ (mais trop dur pour moi).

**ThM55** · 13/04/2025, 09h46

Sur Arxiv, une recherche sur le problème du mass gap de Yang-Mills donne de nombreux résultats étalés sur trente ans:

https://arxiv.org/search/?query=mass..._first&size=50

**Antonium** · 13/04/2025, 10h47

Bonjour,

Pour une approche plus mathématiques au problème de Yang Mills il y a notamment les travaux de Martin Hairer (médaille Fields 2014), voir par exemple
https://arxiv.org/pdf/2201.03487

**Anonyme007** · 13/04/2025, 12h39

Merci beaucoup à vous deux ThM55 et Antonium.

Mass gap.

Mass gap.

Re : Mass gap.

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Re : Mass gap.

Re : Mass gap.

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