Impossibilité du clonage quantique

[La Limule]

Bonjour,

J'ai déja lu que si je clonage quantique était possible,
alors les transmissions pourrait etre instantannés plus vite que la que la
lumére.
Comment Bob et Alice feraient ils avec leus clones
-----

[albanxiii]

Bonjour,

Je ne comprends pas votre message.
Si quelque chose est impossible, il n'y a pas à se poser la question de comment on ferait si c'était possible...
Cela entre dans la catégorie "si ma tante en avait" et est susceptible de fermeture par la modération (car oui, on en a soupé de ces conneries).

Pour info : https://fr.wikipedia.org/wiki/Imposs...nage_quantique

L'impossibilité du clonage quantique est liée à l'impossibilité d'utiliser l'intrication quantique comme système de communication: si le clonage était possible, alors on pourrait en principe utiliser un système intriqué pour communiquer de l'information classique (potentiellement de manière instantanée).

[La Limule]

Ma question aavait un sens.
https://en.wikipedia.org/wiki/No-cloning_theorem
Regarder le wikipedia No cloning theorem.

j'en traduis un extrait
Pour le comprendre, considérons l'expérience de pensée EPR et supposons que des états quantiques puissent être clonés. Supposons que des parties d'un B soient intriquées au maximum.

et il decrit comment on aurait des communications instantanées.

C'est la ou il parlie de d'etats de Bell.

[ThM55]

Cette page Wikipédia décrit en effet une procédure pour transmettre un bit de Alice vers Bob en supposant la possibilité de cloner à volonté l'état possédé par Bob:

To see this, consider the EPR thought experiment, and suppose quantum states could be cloned. Assume parts of a maximally entangled Bell state are distributed to Alice and Bob. Alice could send bits to Bob in the following way: If Alice wishes to transmit a "0", she measures the spin of her electron in the z direction, collapsing Bob's state to either | z + ⟩ B {\displaystyle |z+\rangle _{B}} or | z − ⟩ B {\displaystyle |z-\rangle _{B}}. To transmit "1", Alice does nothing to her qubit. Bob creates many copies of his electron's state, and measures the spin of each copy in the z direction. Bob will know that Alice has transmitted a "0" if all his measurements produce the same result; otherwise, his measurements will have outcomes | z + ⟩ B {\displaystyle |z+\rangle _{B}} or | z − ⟩ B {\displaystyle |z-\rangle _{B}} with equal probability. This would allow Alice and Bob to communicate classical bits between each other (possibly across space-like separations, violating causality).

L'idée est que si Alice effectue une mesure, l'état de l'électron de Bob fait un collapse à un état propre donné de , le spin dans la direction z. Peu importe qu'il soit + ou -. A cet instant B clone cet état un grand nombre de fois (disons sur 100 électrons) et les mesure. Il aura donc toujours le même résultat. Si Alice n'effectue aucune mesure, l'état de l'électron de B ne fait pas ce collapse et est toujours en superposition de spins z et les mesures donneront des résultats + et - en nombre approximativement égaux. Le fait de pouvoir cloner l'état local de B permet de déduire ce qu'a fait Alice et cela instantanément dans leur référentiel commun. Un tel procédé permettrait aussi de casser toutes les méthodes de cryptographie quantique.

En fait, cette impossibilité est bien plus profonde que ces petits effets secondaires. La preuve de l'impossibilité est que le processus de clonage mis en oeuvre n'est pas unitaire dans l'espace des états. Si on autorise la violation, tout l'édifice de la théorie quantique devient inconsistant. Il n'est plus possible de parler de probabilité ni de les prédire. Donc, en effet cette question revient à poser des "si" pour en déduire des effets impossibles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[La Limule]

Je ne suis pas sur de tout de compredre.
Aussi je vais reformuler ce que je lis en anglais:
Un operateur crée entre Alice et Bob (entre les deux) des paires de Bell
(uu + dd) avec le coeff de normalisation
il les envoit a droite et a gauche.
il sont corrélés de facon maximale.
Alice recoit sa moitié de paire de Bell et fait une mesure sur le spin oriente vers z
une fois sur deux elle obtient U ou D
et on recommence
Ca ca correspond a le fait de transmettre 0

Sopposons que Alice veuulle transmetre des 1
juste avant elle a trans mis 1 sa paire de Bell en un remplace

et c'est la que l'on adment le non clonage
Alice Clone des copies de ce qu'elle a émis avant de passer au 1
et transmet a chaque fois la meme chose.
Et bob ne ne ne recoit plus autant de U que de D
mais maintenant toujours la meme reponse. Au disons de 10 mesures il sait que ce
n'est pas Alice a transmin un 1

[ThM55]

Non, ce n'est pas ce que dit le texte anglais (je dois dire que ce texte me semble douteux, mais je vais essayer de l'expliquer quand même).

Le texte dit qu'Alice fait un choix simple: si elle veut transmettre 0, elle effectue une mesure du spin dans la direction z; si elle veut transmettre 1, elle ne fait aucune mesure (elle laisse passer la particule sans interagir du tout avec elle).

C'est Bob qui est récepteur de l'information d'un bit qu'Alice veut lui envoyer. Avec une seule particule, celle qui fait partie de la paire de Bell et qu'il a reçue, il ne peut obtenir aucune information: en effet, le résultat de la mesure du spin pour lui est complètement aléatoire, il peut obtenir + ou - avec une probabilité 1/2, mais le résultat en lui-même ne lui apprend rien sur ce qu'a fait Alice. Il suffit de voir les cas possibles (je suppose un état intriqué de type |uu> + |dd>)

1) Alice décide de faire une mesure. Elle peut obtenir 2 résultats possibles, chacun avec proba 1/2:
1.1) Alice obtient le résultat u ; dans ce cas Bob obtient le résultat u également
1.2) Alice obtient le résultat d ; dans ce cas Bob obtient le résultat d

2) Alice décide de ne rien faire; mais dans tous les cas Bob fait une mesure et il obtient:
2.1) + avec proba 1/2
2.2) - avec proba 1/2.

Pour Bob, les cas 1.1) et 2.1) sont indiscernables; de même que les cas 1.2) et 2.2): donc il n'obtient aucune information sur ce qu'Alice a fait.

Par contre, selon le texte en anglais, si Bob parvient, malgré les lois connues de la mécanique quantique, à dupliquer l'état quantique de sa particule juste après l'instant où Alice est censée faire un mesure si elle le décide, ce serait différent. Il peut en effet mesurer simultanément les spins des N copies de sa particule. Je reprends les cas énoncés plus haut:

1) Alice fait une mesure
1.1) Elle obtient u; donc l'état de la particule de B sera simplement |u>; s'il duplique cet état sur N électrons, il obtient N fois u
1.1) Idem avec u remplacé par d; Bob mesure N fois d.
2) Alice ne fait aucune mesure; dans ce cas il faut expliciter ce que le clonage produit à partir de cet état. Initialement on a (N est le facteur de normalisation)

N(|u,u> + |d,d>)

La particule de Bob est toujours intriquée avec celle d'Alice, puisque celle-ci l'a laissé courir. Si Bob duplique l'état de sa particule et en produit par exemple 3 copies, on obtient (à mon avis, mais...)

N'(|u,uuuu> + |d,dddd>)

Selon Wikipedia, la mesure des 4 spins par B devrait donner des résultats aléatoires donc différents. C'est ceci que je trouve douteux car dans l'expression ci-dessus, les 4 copies sont intriquées exactement comme elles le sont avec la particule d'Alice et donc elles sont aussi intriquées entre elles. Ceci par transitivité. Leur mesure doit donc donner toujours le même résultat! La conclusion du texte serait donc fausse. Alors je présume que l'auteur a supposé que le clonage donnait plutôt des particules non intriquées, avec un état global comme celui-ci:

N''(|u,u>+|d,d>)(|u>+|d>)(|u>+ |d>)(|u>+|d>)

(les 3 parenthèses de droite sont les états des 3 copies).

Dans ce cas, je veux bien. Bob peut obtenir des résultats différents, mais je ne sais pas si on peut vraiment parler d'un clonage de l'état quantique, puisqu'une caractéristique importante de cet état, son intrication avec une autre particule, a disparu dans les copies. D'une certaine manière, c'est un clonage qui échoue car il ne parvient pas localement à reproduire l'intrication avec une particule distincte (ce qui n'est guère étonnant si on y réfléchit, mais en mécanique quantique il faut se méfier du "bon sens"). Ou bien on peut supposer qu'on "défait" l'intrication dans le mécanisme qui est supposé réaliser le clonage. Mais admettons. Dans ce cas, les N particules de Bob seront mesurées avec des spins aléatoire et Bob pourra deviner qu'Alice n'a pas interagi avec son électron. Et cela pourrait se faire instantanément dans leur référentiel inertiel commun.

La distinction entre les deux définitions est bien entendu sans grande importance, puisque le clonage des états quantiques n'est pas possible, du moins dans le cadre de la MQ connue (je fais tous les raisonnements dans ce cadre, à l'exception de l'hypothèse d'un clonage).

On pourrait se demander si une théorie future ne permettrait pas de quand même dupliquer des états. Mais à ma connaissance aucune interprétation ou théorie plus complète n'a proposé de moyen pour le faire, même pas la théorie de Bohm-De Broglie qui suppose pourtant une description plus "complète" des états, avec les positions de particules. Dans cette interprétation ou théorie, le résultat de la mesure du spin est prédéterminé par la présence de la particule dans une partie de l'onde pilote et son absence dans une autre partie. Mais cette présence ou absence est supposée incontrôlable dans les expériences de production de particules, il n'est donc pas question de la "recopier".

[La Limule]

J'ai proposé une autre proposition que celle dans No Cloning theorem
quad alice veut transmettre 0 elle mesure un spins selon l'axe Z.
et si elle veut transmettre 1
C'est elle qui fait le Clonign
et transmet toujours la meme chose

[ThM55]

J'ai proposé une autre proposition que celle dans No Cloning theorem
quad alice veut transmettre 0 elle mesure un spins selon l'axe Z.
et si elle veut transmettre 1
C'est elle qui fait le Clonign
et transmet toujours la meme chose

Oui j'ai bien compris. Mais ce n'est pas ce qui est expliqué sur Wiki et en plus cela ne répond pas à la question. Alice ne transmet rien, elle ne fait que mesurer le spin de sa particule. Et avec une seule particule Bob ne peut faire qu'une seule mesure, qui donnera soit UP soit DOWN, mais que peut-il faire avec ça? Cela ne lui apporte aucune information sur ce qu'Alice veut transmettre. Bien noter qu'on a au départ UNE SEULE paire de Bell, donc sans clonage possible on ne fait qu'une seule mesure. De toute façon, se demander comment on utiliserait cette fiction pour transmettre une information classique est pratiquement sans intérêt pour deux raisons: d'abord comme je l'ai expliqué la notion de clonage est ambigüe pour un seul membre d'une paire de Bell, mais surtout c'est impossible (non unitaire), donc à quoi bon imaginer un truc qu'on ne fera jamais?

Par contre, un quasi clonage est possible à condition de détruire le premier exemplaire. C'est ce qu'on fait dans la "téléportation" quantique d'un état. En utilisant cette fois une transmission classique.

[La Limule]

Je pense aussit que cette de Bob faisant des clonage est fause:
supposons que alice veules transmettre des 0. Alice mesure le spin sur l'axe des Z (ainsi que bob)
Bob va obtenir par exemple U U D U D U D D D U U D U U D U D D
En gros D et U avec les memes possibilite
supposons que allice veulles transmettre 1
wikipedia dit qu'elles ne fait rien
Bon va continuer a faire des mesures selon Z de va touver un up ou un down.
supposons que a la suite des l'exemple donné il mesure D
dans l'exempleil y a trois D pour cela il doit disaons 6
et pouc cela Alice doit transmettre 1 au mins fois
je ne vois pas comment bob pourrait utiliser le clonage pour acelerer les choise
je suppose que la demonstration est fausse.

[La Limule]

Il y aurait malgré tout cettr possibilite:
chaque fois que Bob recoit une particule il en fait des multiples copies
Alors il lui faut voir si c'est une particule venant d'une paire de bell ou
si Alice a mesuré sa propre paire de Bell et en a mesuré son spin selon Z.
Bob disposat dans l'idéal de faire des mesures suivat n'importe quel direction sut les spin
comment peut il faire?

[ThM55]

Je pense qu'il faut comprendre de quoi on parle, et il me semble que ce n'est pas le cas, ni dans ta question ni dans le petit texte en anglais que j'ai cité.

Ce paragraphe dans le texte Wikipedia a pour but de montrer que si le clonage quantique était possible, on en tirerait des conséquences absurdes comme par exemple la possibilité d'exploiter l'intrication pour transmettre des informations en franchissant la limite la vitesse de propagation de l'information. Une sorte de tentative de preuve par l'absurde. Le problème est qu'il y a quelque chose de faible dans la preuve, à savoir l'absence de définition claire et précise du clonage de l'état d'une particule qui est intriquée avec une autre comme dans la paire de Bell.

Pour démontrer que le clonage est impossible, d'habitude on donne une définition claire en terme d'états purs et on montre que le dispositif qui copie l'état d'une particule sur une autre ne peut pas être unitaire (il ne conserve pas le produit hermitien de deux états quelconques). Ici, on est dans un cas où on se retrouve plutôt dans un état mixte, qui doit être décrit par une matrice densité. En effet, l'état de la particule de Bob est soit un état pur |up> ou |down> (si Alice a effectué une mesure) soit dans un état mixte dans lequel elle est intriquée avec celle d'Alice par exemple |A-up,B-down>+|A-down,B-up> (si Alice ne fait rien) la pondération des deux cas étant avec une probabilité 1/2. Je n'ai pas connaissance de définitions claire du clonage d'un état mixte.

Sans définition claire, on ne peut pas dire grand chose de sensé.

[coussin]

Je n'ai pas connaissance de définitions claire du clonage d'un état mixte.

Sur ce point, j'ai trouvé cette question sur StackExchange : https://physics.stackexchange.com/qu...-a-mixed-state
C'est peut-être utile...

[La Limule]

Bonjour Coussin
Ce qui me gene avec la réponse de Stack exchane c'est la fait d'atribuer des
propriétés a ce qui n'existe deja pas (la non linéatiré du clonage quantique)

Pour moi ce qui va permetre (si le clonage etait permis) c'est l'utilisation des fentes de Young que Bob utiliserait
si alice mesure sur Z Bob recoit un purs. et il voit des interférences
si non on sait que dans les fentes de Young et sinon dans le extreme c'est un mélange sans interferences.

[ThM55]

Je trouve un peu futile de se demander ce qu'on pourrait faire si quelque chose d'impossible était faisable alors que la mécanique quantique avec les ressources qu'elle offre, comme l'intrication, permet de réaliser plusieurs tâches impossibles classiquement. Par exemple la "pseudo-télépathie" quantique, qui permet à des agents distants de coopérer pour résoudre un problème sans communiquer entre eux classiquement (voir https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0407221 ). C'est suffisamment remarquable pour éviter de perdre du temps avec des spéculations stériles.

[coussin]

Bonjour Coussin
Ce qui me gene avec la réponse de Stack exchane c'est la fait d'atribuer des
propriétés a ce qui n'existe deja pas (la non linéatiré du clonage quantique)

Pour moi ce qui va permetre (si le clonage etait permis) c'est l'utilisation des fentes de Young que Bob utiliserait
si alice mesure sur Z Bob recoit un purs. et il voit des interférences
si non on sait que dans les fentes de Young et sinon dans le extreme c'est un mélange sans interferences.

Personnellement, je ne comprends rien à ce qui se dit dans ce fil.
Je rebondissais juste sur ce que disais ThM55 sur le clonage d'un état mixte.

Pour un état pur Psi, on a un clone quand le système complet est dans Psi x Psi.
Pour un état mixte de densité rho, on a un clone quand la densité du système complet est rho x rho.
Comme souvent, ce qui se passe sur un état pur se passe sur la matrice densité pour un état mixte.

[ThM55]

Personnellement, je ne comprends rien à ce qui se dit dans ce fil.
Je rebondissais juste sur ce que disais ThM55 sur le clonage d'un état mixte.

Pour un état pur Psi, on a un clone quand le système complet est dans Psi x Psi.
Pour un état mixte de densité rho, on a un clone quand la densité du système complet est rho x rho.
Comme souvent, ce qui se passe sur un état pur se passe sur la matrice densité pour un état mixte.

Plus précisément, le clonage est défini comme un processus.

Au départ, avant de démarrer le processus, on a deux particules. Supposons qu'elles ont un degré de liberté qui correspond à un qubit, donc un espace de Hilbert à 2 dimension. La première particule est dans un état ; c'est l'état à cloner; l'autre est dans un état de départ choisi arbitrairement dans la base: . Le cloneur accepte ces deux particules et les rejette toutes les deux dans l'état .

On montre que si le cloneur fonctionne pour tous les choix de a et b (avec ), alors le processus n'est pas unitaire.

Si on avait un opérateur U qui opère sur le produit tensoriel en donnant et pour tous les états possibles, donc pour ces deux là en particulier, et si U était unitaire, en prenant le produit hermitien de ces deux équations, on obtiendrait



Donc le produit scalaire ne peut valoir que 0 ou 1, c'est-à-dire que les deux états sont identiques (même rayon dans l'espace de Hilbert) ou orthogonaux (ce qui est plus intéressant). Donc un cloneur général capable de copier tous les états est impossible. Si on pouvait cloner à volonter un état, on pourrait en effectuant autant de mesures que nécessaire identifier cet état et déterminer avec précision les coefficients a et b définis plus haut. Le fait que ce soit impossible montre que l'information quantique est en partie cachée et inaccessible.

Il y a une méthode p;us évidente et claire que celle décrite dans la page Wikipédia référencée plus haut. On a un état de Bell, par exemple (les indices désignent Alice et Bob et les valeurs propres sont celles du spin ). Alice peut choisir deux mesures de spin: soit le long de l'axe z, soit le long de l'axe x dans un repère cartésien (on suppose que la ligne A-B est le long de y).

Bob clone l'état de sa particule un grand nombre de fois et les répartis en deux ensembles disjoints. Il mesurera le premier ensemble avec des polariseurs alignés selon z et le second selon x.

Si Alice a mesuré le long de z, elle obtient un résultat défini (|0> avec proba |a|^2, |1> avec |b|^2). Mais l'état de la particule de B est alors déterminé pour z et complètement indéterminé pour l'axe x. Les particules de son premier groupe donneront toutes la même mesure. Les particule de l'autre seront aléatoire, environ la moitié donnent 0 et l'autre moitié 1.

Si Alice a mesuré de long de x, c'est juste le contraire: c'est le second groupe qui donnera des résultats tous identiques.

Ils peuvent convenir de faire les mesures à des instants très précis dans leur référentiel de repos commun synchronisé, par exemple à l'instant t pour A et à l'instant t+d(A,B)/2c pour B. Ainsi, B sera informé du choix de A par un signal qui aurait été transmis à la vitesse 2c (ou beaucoup plus vite si on choisit d(A,B)/kc avec k >> 1).

En fait il existe des possibilités de faire des copies imparfaites, qui fonctionnent pour un ensemble d'états plus petits et pas pour tous, en particulier pour des familles d'états orthogonaux. C'est ce qui explique que les états classiques (les bits ordinaires) peuvent être copiés. On a pu montrer qu'aucun schéma de ce genre ne permet de transmettre un bit de manière superluminique. Par contre cela a des applications pour la correction d'erreurs.

[La Limule]

Bob mesure toujours la meme chose sur Z
on peut rappeler ce que une matrice doit etre:
c'est un melange (pour des etats) de P Pu1 + q Pu2 avec deux etats purs munis de de deux
probobalités q + p egale a 1.
La paire de Bell en fait partie (pas un etat pur)
et qua Alice fait une mesure elle obtient un etat pur (de densité pur)
Le non clonage interdit de cloner les etats de densité pur on non pur
si alice ne fait rien Bob clonerar dans ce cas de melanges statistiques
tous egaux mais en mesurant sur Z il aurait en egale propo
rtion de U et D
c'est ce qui est ecrit (en anglais)

[ThM55]

C'est bien possible mais comme je l'ai déjà expliqué, cela dépend de la manière dont on définit la procédure de clonage.

En fait la procédure que j'ai expliquée avait été décrite dans un article de Dieks: https://www.sciencedirect.com/scienc...846?via%3Dihub en 1982 et c'est elle qui a motivé par la suite l'énoncé et la preuve du théorème de non-clonage.

Le théorème en lui-même dans sa forme la plus simple est ce que j'ai décrit et démontré dans mon message précédent. Dans le cas de la paire de Bell, si j'ai bien compris (ce qui n'est pas certain), on suppose que Bob clone son qubit après qu'Alice l'ait mesuré (soit selon z, soit selon x, selon son bon vouloir). Donc Bob se retrouve avec des clones d'un état pur, qu'il peut répartir comme je l'ai proposé en deux groupes qui sont soumis aux deux types de mesures.

Mais que se passe-t-il si Bob clone son qubit avant qu'Alice l'ait fait? J'ai quelques idées à proposer mais je vais m'abstenir cette fois car finalement ce n'est pas très intéressant. L'essentiel est que le théorème de non-clonage est démontré.

[La Limule]

Je vais suivre cet sage décision.
Et m'interesser au veritable théoreme de non clonage