Proposition pédagogique — Dérivation alternative de l’équation de Schrödinger

[RM5physM]

Bonjour à toutes et à tous,
Je vous propose ici un document pédagogique que j’ai rédigé :
« Comprendre l'Équation de Schrödinger : Une Perspective Didactique via le Quadrivecteur Fréquences/Vecteurs d'Onde et l'Analyse Harmonique ».

Objectif : Ce texte n’a pas pour vocation de présenter une démonstration historique ou académique au sens strict, mais plutôt une construction didactique fondée sur une articulation originale entre :

• la relativité restreinte,
• les oscillateurs harmoniques abstraits,
• et la mécanique ondulatoire.

Résumé :
L’équation de Schrödinger et les principes fondamentaux de la mécanique ondulatoire peuvent être introduits de manière didactique en partant d'un modèle où une particule au repos est assimilée à un oscillateur harmonique abstrait. Cette approche, bien que n'étant pas une dérivation physique rigoureuse au sens historique, offre une construction mathématique originale et éclairante.

Voici les points clés qui mènent à cette conclusion :

• Le point de départ relativiste : L'exercice postule qu'une particule au repos peut être modélisée par un oscillateur harmonique dont la fréquence est liée à son énergie de masse (). En appliquant les principes de la relativité restreinte, cette oscillation se transforme en une onde progressive lorsqu'elle est observée depuis un référentiel en mouvement.
  
• Le rôle du quadrivecteur fréquences/vecteurs d'onde : Ce document accorde une importance centrale au quadrivecteur fréquences/vecteurs d'onde comme un pont conceptuel. Il permet de passer de la description relativiste de l'énergie et de l'impulsion à une formulation ondulatoire.
  
• Dérivation des équations de Schrödinger : À partir de la modélisation de l'onde progressive associée à la particule en mouvement, le document aboutit de manière successive aux équations de Schrödinger dépendante et indépendante du temps. Notamment, une équation de type Schrödinger est obtenue par une transition relativiste, sans recourir aux postulats quantiques traditionnels.
  
• Du modèle simple au modèle complexe : Le document étend la réflexion en introduisant le concept de paquets d'ondes pour une représentation plus réaliste d'une particule localisée. Il montre que la prise en compte de la dépendance relativiste de l'inertie rend l'oscillateur anharmonique, et que la décomposition de ce mouvement anharmonique en série de Fourier mène naturellement à la description par paquet d'ondes. La vitesse de groupe de ce paquet d'ondes coïncide avec la vitesse de la particule, assurant la cohérence du modèle.
  
• Interprétation et applications : La démarche débouche sur des concepts fondamentaux de la mécanique quantique tels que l'interprétation probabiliste de la fonction d'onde, le principe d'incertitude de Heisenberg comme une conséquence directe de la nature ondulatoire, et l'application du formalisme aux harmoniques sphériques pour décrire les orbitales de l'atome d'hydrogène.

En somme, ce document propose une perspective pédagogique unificatrice qui relie la relativité restreinte, l'analyse harmonique et la mécanique quantique. Il fournit une intuition sur la structure mathématique de la mécanique ondulatoire en montrant comment des outils conceptuels variés convergent pour décrire le comportement des particules.

Document de 51 pages
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[ThM55]

C'est une bonne idée de montrer comment l'équation de Schrödinger est obtenue à partir de Klein-Gordon par limite non relativiste. Le texte sur l'inégalité d'Heisenberg est très bien aussi, vous avez raison d'insister sur le fait que c'est une propriété du système observé.

Cependant, il faut faire attention quand on identifie les particules localisées avec des paquets d'onde. C'est correct si effectivement la particule est localisée à un instant donné, mais il faudrait aussi mentionner le fait que même si la particule est libre et sa vitesse de groupe constante, le paquet d'ondes s’aplatit à cause de la dispersion. C'est d'ailleurs clair quand on réfléchit au principe d'incertitude.

Voir par exemple dans ce cours: https://ocw.mit.edu/courses/6-974-fu...b_chapter4.pdf , l'équation (4.35) montre comment le paquet d'onde est "applati" (son delta-x augmente avec le temps). Le calcul qui conduit à ce résultat est intéressant. C'est pour cette raison que je trouve qu'identifier les particules à des paquets d'ondes, sans être une erreur, est un peu trompeur si on oublie de mentionner cette dispersion, qui est d'autant plus rapide que le paquet est initialement plus concentré (c'est évidemment conforme à Heisenberg).

[RM5physM]

L'équation à laquelle j'arrive dans mon document est (∂²Ψ(x,t)/(∂x²) - (v/c²)² (∂²Ψ(x,t)/(∂t²) = 0. Ce n'est pas tout à fait Klein-Gordon ( (1/c² ∂²/(∂t² )-∇²+(m² c²)/ℏ² )ψ = 0). Je passe par la relativité pour arriver à l'équation de Schrödinger, mais je ne passe pas par l'équation de Klein-Gordon.
Effectivement, expliquer le phénomène d'étalement du paquet d’ondes sera un bon ajout à faire à mon document.

[ThM55]

Ne prenez pas ce qui suit comme une critique de votre texte en particulier, mais je constate que la plupart des tentatives d'explication "pédagogiques" de l'équation de Schrödinger se limitent au cas à une seule particule et se concentrent sur cette fameuse "dualité onde-corpuscule" qui intriguait les physiciens autour de 1920. C'est passer à côté de la véritable nature de l'équation de Schrödinger qui s'applique dans le cas beaucoup plus général d'un nombre quelconque (mais fixe) N de particules. C'est en réalité une équation dans un espace à 3N dimensions. Et on se trouve alors confronté au problème de la symétrie ou de l'antisymétrie de la fonction d'onde, et ça c'est un énorme défi si on veut faire une dérivation "pédagogique" à partir d'un modèle ultra-simple et un peu obsolète (on n'est plus dans la doubles décennie 1905-1925). En ignorant cela, on se limite à l'étude des hydrogénoïdes, on passe à côté de l'intrication, on ne peut pas appliquer l'équation aux électrons dans un métal ou un semi-conducteur, ... etc...

Il faudrait donc annoncer d'emblée cette limitation. Il existe une méthode simple (quoique elle aussi incomplète) pour "déduire" l'équation de Schrödinger de manière heuristique. Elle consiste en la recherche d'une équation pour une fonction complexe dont la phase est proportionnelle à l'action qui est soumise à l'équation classique de Hamilton-Jacobi (coefficient: constante de Planck réduite). On arrive ainsi immédiatement à l'équation de Schrödinger à une ou plusieurs particules. La symétrisation ou l'antisymétrisation doit alors être posée comme un postulat.

Ensuite, toujours en restant dans le cadre non-relativiste, on a à mon avis grand tort d'omettre une description de l'équation de Pauli pour les particules de spin 1/2.

[A voir en vidéo sur Futura]