Bonjour à toutes et à tous,
J'ai lu dans certains ouvrages que l'homogénéité et l'isotropie de l'espace-temps impliquent :
- l'invariance des lois de la mécanique
- le principe d'inertie
Cependant, il me semblait que c'était l'invariance des lois de la mécanique dans l'espace-temps qui impliquait le principe d'inertie.
Existe-il une démonstration générale permettant d'expliquer le principe d'inertie à partir de l'invariance des lois de la mécanique ?
Merci pour vos réponses.
J
Pour déduire le principe d'inertie de l'homogénéité du temps et de l'espace et de l'isotropie de l'espace, il faut une hypothèse supplémentaire. La plus fréquemment adoptée est celle du principe variationnel de Hamilton, qui postule l'existence d'une fonction lagrangienne dépendant des coordonnées et des vitesses du système mécanique et dont l'intégrale sur la trajectoire paramétrique du système est extrémale.
Sous cette hypothèse, pour un corps libre (sans forces extérieures), l'homogénéité du temps et de l'espace impliquent que le lagrangien ne peut dépendre explicitement du temps ni des coordonnées du corps. L'isotropie de l'espace implique que la dépendance dans la vitesse ne peut se faire que par sa norme, ou, de manière équivalente, de son carré:. L'équation d'Euler-Lagrange donne alors tout de suite la loi d'inertie
Ceci suppose qu'on est dans un système inertiel. Le principe de relativité, que ce soit sous sa forme galiléenne (pour les vitesses << c) ou sous la forme de Poincaré-Einstein, est compatible avec la loi d'inertie: il est immédiat que la vitesse du corps isolé reste constante dans un autre système inertiel, puisqu'il est en mouvement rectiligne uniforme par rapport à celui qu'on a choisi pour la déduction.
Ce que je viens de décrire est un système logico-déductif à partir de deux axiomes: le principe variationnel et le principe de relativité, ainsi que les hypothèses d'homogénéité et d'isotropie. C'est celui qui a été adopté par Landau et Lifchitz dans leur fameux cours de physique théorique (voir ici: https://archive.org/details/l.-landa...69%29/mode/2up ).
Mais dans les systèmes déductifs, on peut parfois échanger un axiome et un résultat élémentaire qui en a été déduit. Avant l'invention du principe variationnel, le principe d'inertie était postulé, ainsi que le principe de relativité. C'est ce qu'on peut voir dans des cours plus élémentaires que celui de Landau et Lifchitz, par exemple celui de Walter Greiner, qui fait partie d'une série de cours où tout est expliqué dans les moindres détails: https://archive.org/details/springer...97649/mode/2up .
L'idée d'un principe de relativité dans lequel toutes les lois de la mécanique sont invariantes par changement de coordonnées est dû en premier lieu, de manière explicite, à Poincaré, puis à Einstein. Je pense que cela est lié à l'influence des mathématiques de la fin du XIXème siècle, qui ont mis en avant et étudié en profondeur les propriétés d'invariance sous des groupes de transformation dans de nombreuses situations. C'était une révolution scientifique en mathématiques, initiée par Lagrange et Galois, à laquelle Poincaré avait d'ailleurs apporté ses contributions. Newton utilise implicitement ce principe, sans toutefois l'avoir explicitement inclus dans ses axiomes. Je suppose qu'il l'envisageait comme une conséquence des ses trois lois plutôt que comme un axiome.
Dernière modification par ThM55 ; Aujourd'hui à 09h24.
