Une hypothèse superflue pour démontrer la conservation du débit volumique ?

[Methanoate]

Bonjour à tous,

Concernant la démonstration de la loi de conservation du débit volumique en mécanique des fluides.

Dans la plupart des démonstrations proposées, on suppose (1) un écoulement permanent et (2) un fluide incompressible (= masse volumique constante).

En utilisant l'équation de continuité (∂ρ/∂t + div(ρv) = 0), on trouve alors facilement que div(v) = 0. En intégrant cette équation sur un volume de contrôle et en utilisant le théorème de la divergence, on obtient v1 S1 = v2 S2 = cte qui traduit la conservation du débit volumique.

1) L'équation de conservation du débit volumique s'obtient à partir de div(v) = 0 qui traduit un écoulement incompressible. Donc quel est l'intérêt de supposer que le fluide est incompressible ? N'est-ce pas suffisant de supposer que l'écoulement est incompressible pour écrire l'équation de conservation du débit volumique ? N'est-ce pas une condition suffisante ?

2) Si le fluide est incompressible, on a ρ = cte donc pourquoi doit-on supposer aussi que l'écoulement est permanent ? Le fait que ρ = cte n'implique-t-il pas que ρ est indépendant du temps et donc que ∂ρ/∂t = 0 ? L'hypothèse d'un écoulement permanent me paraît superflue pour montrer la conservation du débit volumique pour un fluide incompressible. J'ai l'impression que le seul intérêt de supposer que l'écoulement est permanent c'est d'avoir un débit volumique qui ne dépend pas du temps (autrement-dit Q1 = Q2 = cte et non Q1(t) = Q2(t) = cte(t)).

J
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[gts2]

Bonjour,

On peut se limiter à écoulement incompressible, qui implique bien la conservation du débit volumique sans autre hypothèse.

Le problème est qu'il faut bien voir le cadre dans lequel s'applique la conservation : c'est un tube de champ, autrement dit en pratique un tuyau totalement rempli du fluide considéré.

Le rôle du régime permanent est pour des problèmes plus larges avec des réservoirs qui peuvent se remplir, et là l'hypothèse régime permanent est nécessaire : le grand classique du remplissage d'une baignoire qui fuit. lorsque le fluide au niveau du point M passe de l'air à l'eau.

[Methanoate]

Bonjour gts2,

Merci pour ta réponse mais je reste troublée par certaines choses :

Je comprends bien que le fait de supposer que l'écoulement est incompressible (div(v) = 0) permet d'en déduire la conservation du débit volumique.

1) Si je comprends ce que tu dis, dans les cours et démonstrations de la conservation du débit volumique, on suppose que le fluide est incompressible car dans la plupart des problèmes traités on s'intéresse à l'écoulement d'un fluide incompressible. Est-ce bien cela ? Bien que l'hypothèse d'un écoulement incompressible est suffisante pour justifier la conservation du débit volumique.

2) Si le fluide est incompressible, cela implique-t-il automatiquement ∂ρ/∂t = 0 (car ρ = cte) ? Dans les problème de base de mécanique des fluides, je ne comprends donc pas bien l'intérêt de supposer en plus que l'écoulement est permanent. Dans le cas de la vidange d'un réservoir de grande dimension (démonstration de la formule de Torricelli), nous n'avons pas besoin de supposer que le régime est permanent (ou quasi-permanent) pour justifier que ∂ρ/∂t = 0 puisque la nature même du liquide qu'il contient implique ∂ρ/∂t = 0 ? Par contre, on le suppose pour appliquer le théorème de Bernouilli dans sa version minimaliste ?

Ce qui me gène c'est la formulation que l'on voit écrit dans tous les cours "Écoulement permanent + fluide incompressible -> Qv= cte" alors qu'on pourrait simplement écrire "Écoulement incompressible -> Qv = cte". Non ?

J

[gts2]

1) Si je comprends ce que tu dis, dans les cours et démonstrations de la conservation du débit volumique, on suppose que le fluide est incompressible car dans la plupart des problèmes traités on s'intéresse à l'écoulement d'un fluide incompressible. Est-ce bien cela ? Bien que l'hypothèse d'un écoulement incompressible est suffisante pour justifier la conservation du débit volumique.

Il faudrait donner une référence précise pour qu'on puisse commenter.

2) Si le fluide est incompressible, cela implique-t-il automatiquement ∂ρ/∂t = 0 (car ρ = cte) ? Dans les problème de base de mécanique des fluides, je ne comprends donc pas bien l'intérêt de supposer en plus que l'écoulement est permanent.

Cela implique automatiquement SI il y a le même fluide partout constamment, donc élimine par principe même les régimes transitoires comme le remplissage d'un tuyau : le débit d'un robinet n'est égal au débit de sortie du tuyau que lorsque celui-ci a été rempli.

Dans le cas de la vidange d'un réservoir de grande dimension (démonstration de la formule de Torricelli), nous n'avons pas besoin de supposer que le régime est permanent...

Comment démontrez-vous Toricelli ? De mon côté, pour le démontrer j'ai besoin de la quasi-stationnarité.

Ce qui me gène c'est la formulation que l'on voit écrit dans tous les cours "Écoulement permanent + fluide incompressible -> Qv= cte" alors qu'on pourrait simplement écrire "Écoulement incompressible -> Qv = cte". Non ?

"Écoulement incompressible -> Qv = cte" est exact à condition de préciser la signification Qv=Cte dans un tube de courant.
La mécanique des fluides pratique s'occupe de tuyaux et de récipients plutôt que de tubes de courant et un tuyau est un tube de courant en régime stationnaire une fois les poches d'air évacuées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[FC05]

Il suffit de mettre en pression un tuyau un peu souple mais déjà plein (typiquement un tuyau d'arrosage en PVC souple), si il est fermé au bout, il y a un débit entrant et rien au bout.

[Methanoate]

Bonjour gts2,

Pour la référence, par exemple dans le livre PHYSIQUE CHIMIE BCPST 2 année (DUNOD), on peut lire au début du cours consacré à la dynamique des fluides :

En régime permanent pour un fluide incompressible, le débit volumique se conserve. Si la conduite se rétrécit, la vitesse de l'écoulement augmente, les lignes de courant se resserrent.

On retrouve cette formulation dans beaucoup d'autres livres et cours sur le web.

1) Quand on s'intéresse à l'écoulement d'un fluide homogène, quel est l'intérêt de supposer le régime permanent pour démontrer la conservation du débit volumique alors que le fait que l'hypothèse sur l'incompressibilité du fluide suffit ?

2) Si le régime n'est pas permanent, ne devrait-on pas écrire Q1(t) = Q2(t) (conservation du débit volumique mais ce débit dépend du temps) ? Alors qu'en régime permanent on aurait Q1 = Q2 (le débit ne dépend pas du temps).

J

[Black Jack 2]

Bonjour,

Tout dépend de la définition qu'on donne à "conservation du débit volumique "

Si le fluide est incompressible, le débit à un instant donné est le même dans n'importe quelle section du tuyau.

Si le débit en entrée varie, il variera de la même façon dans n'importe quelle section du tuyau ... mais bien entendu le débit volumique varie alors avec le temps.

Dans la plupart des cas, on parlera de "conservation du débit volumique " si le débit est le même ET CONSTANT dans n'importe quelle section du tuyau... C'est pour cela, je pense que les conditions pour avoir, à partir de cette définition, "conservation du débit volumique" il faut que le fluide soit incompressible ET que le régime soit stationnaire (écoulement permanent constant).

Ce n'est que mon avis.

[Methanoate]

Bonjour Black Jack 2

Merci. Je suis d'accord avec toi. Je pense aussi que c'est la raison pour laquelle on suppose l'écoulement permanent.

J

[gts2]

Quand on s'intéresse à l'écoulement d'un fluide homogène, quel est l'intérêt de supposer le régime permanent pour démontrer la conservation du débit volumique alors que le fait que l'hypothèse sur l'incompressibilité du fluide suffit ?

Comme dit par @Black Jack 2, "Tout dépend de la définition qu'on donne à conservation du débit volumique"
Si c'est conservation dans un tube de courant, il n'est pas nécessaire de faire l'hypothèse permanent.
Si c'est dans un tuyau si : il y a un transitoire de remplissage (message #4) et de déformation du tuyau (message #5 de @FC05), durant ces phases le début d'eau au niveau du robinet est différent de celui à la sortie du tuyau.
Exemple médical : le débit sanguin en sortie de coeur est très haché ce qui est différent du débit du sang dans les veines (certes le sang n'est peut-être pas tout à fait incompressible... mais les tuyaux ont aussi un rôle à jouer).

Le texte du livre de Dunod n'est pas précis, mais on peut penser qu'il parle de conduite (cf. deuxième phrase).
Il faut d'ailleurs interpréter "Si la conduite se rétrécit" comme une modification spatiale (à cause du "en régime permanent") et non temporelle : si c'est une modification temporelle, même avec un fluide incompressible, le débit ne se conserve pas.