Intégrale de chemin.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Comment montrer que l'intégrale de chemin est une généralisation à un nombre infini de variables, représenté par des chemins, des intégrales ordinaires, et vérifie les mêmes propriétés algébriques de celles ci, mais présente en plus des propriétés nouvelles ?

Merci d'avance.
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[ThM55]

Pas certain de comprendre la question, car ce qu'on fait en général c'est la définir comme une limite formelle d'intégrales avec des intervalles de temps discrets quand le nombre de pas et leur durée tend vers zéro (en mécanique quantique; généralisation en théorie des champs). C'est donc, à mon avis du moins, par définition. Toutefois, on ne doit pas toujours revenir aux temps discrets pour la calculer car on peut le faire directement pour le cas gaussien, qui est celui de la particule libre et de l'oscillateur harmonique.

Je sais que certains ont formulé une théorie "rigoureuse" avec des mesures sur un espace fonctionnel, mais je ne connais pas bien ce sujet.

[Anonyme007]

Bonjour ThM55,

C'est écrit ici, https://arxiv.org/pdf/1303.2556 , page : 3. Mais, on ne développe rien sur la suite de ce point. On dit juste que c'est une généralisation de l'intégrale ordinaire à degré de liberté infini. J'aimerais bien pouvoir connaitre pourquoi l'intégrale de chemin est une généralisation de l'intégrale ordinaire ( de Lebesgue, il me semble ). Je ne trouve hélas aucun bouquin parlant de ça.

[ThM55]

Ben si, c'est décrit dans la section 2.3. Pourquoi dis-tu qu'on ne développe pas par la suite? Il suffit de le lire. Dans la définition habituelle, qui est celle de Feynman et qui est reprise dans ce document, il s'agit d'une intégrale définie par une somme de Riemann, avec une multiplicité de variables potentiellement infinie (on part d'une discrétisation qui donne une intégrale multiple à N variables, puis on fait tendre N vers l'infini). C'est donc bien une généralisation, de manière évidente, je ne vois bien ce que tu demandes.

Pierre Cartier avait publié un bouquin sur le sujet. Connaissant ce grand mathématicien (décédé récemment), j'imagine qu'il s'est attaché à définir cela de manière plus matheuse, mais je ne l'ai pas lu. Voici la référence: https://www.google.be/books/edition/...sec=frontcover .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Cette intégrale de chemin ne se met pas sous la forme d'une somme de Riemann, mais, c'est juste un simple produit de propagateurs suivant l'équation de Chapman- Kolmogorov. Non ? Et ce produit n'est pas une somme de subdivisions d'un intervalle de , mais juste le produit effectué sur les variables d'états du Lagrangien. Ce n'est pas la même chose. C'est loin d'être une somme de Riemann.

[ThM55]

Ce produit de propagateurs sur des intervalles de temps infinitésimaux (ou, si on prèfère, finis tendant vers une durée nulle) comporte pour chaque extrémité d'un intervalle une valeur des variables dynamiques. Mais on a un produit d'exponentielles qui transforme le produit en somme et cette somme est interprétée comme une somme de Riemann qui détermine l'intégrale donnant l'action pour un chemin particulier. Evidemment on doit ensuite sommer tous les résultats pour tous les chemins possibles. Si on passe par une discrétisation des variables dynamiques en plus de celle du temps (ou par un réseau d'espace-temps en théorie des champs), on peut assimiler ceci à une somme de Riemann: on a par exemple N points de dicrétisation sur l'intervalle de temps et M points sur les variables dynamiques, on a donc une somme de M*N points où l'exponentielle est évaluée, et on peut interpréter cela comme une somme de Riemann.

Une autre manière de voir, peut-être plus correcte, est de considérer l'exponentielle pour chaque chemin en particulier et d'essayer de l'utiliser pour définir une mesure sur l'espace fonctionnel formé par ces chemins, qui seraient vus comme des fonctions d'un paramètre. Le problème est le fait que l'exponentielle est oscillantes avec son exposant imaginaire. C'est une des raisons pour lesquelles en théorie des champs on fait une rotation de Wick pour traiter le problème avec un exposant réel négatif: on peut ainsi définir une mesure dite de Wiener, que celui-ci a utilisé pour décrire le mouvement brownien et le bruit blanc et considérer la somme sur les chemins comme une intégrale de Lebesgue. Dans les deux cas, on a bien, de manière évidente me semble-t-il, une généralisation de la notion d'intégrale en dimension finie.

[ThM55]

Excuse-moi, mon comptage des points dans mon message précédent est faux, ce n'est pas le produit c'est une puissance. On a en fait évaluations à calculer puisque pour chaque instant dans la discrétisation du temps on doit spécifier indépendamment M valeurs possibles et sommer toutes les combinaisons possibles. En théorie des champs sur réseaux, c'est encore pire, ce qui explique qu'on travaille par méthode de Monte Carlo sur des super-ordinateurs pour évaluer les intégrales fonctionnelles. Sans cela ce serait infaisable.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Ce fil date de quelques mois déjà. Je me permets de le déterrer une nouvelle fois.
J'aimerais savoir si vous connaissez des exemples de calcul d’intégrale de chemin qui sont calculables à la main,, et quelle est la méthode de calcul général à suivre ? Est ce qu'on passe par le calcul d'une primitive comme c'est le cas du calcul intégrale Riemannien ?

Merci d'avance.

[ThM55]

Je ne sais pas ce que signifie "à la main". Vexu-tu dire de manière exacte ou bien une approximation est considérée comme étant faite "à la main"? Je suppose que cela signifie avec du papier et un stylo.

Je ne connais que deux cas où l'intégrale de chemin est faisable de manière exacte, ce sont les cas de la particule libre et celui de l'oscillateur harmonique, ainsi que leur version champ (le champ libre, qui peut être scalaire ou spinoriel, massif ou non). Dans ces cas elle se réduit à un produit d'intégrales gaussiennes dont on connaît le résultat. Tous les autres cas sont abordés en traitant les termes non quadratiques comme des perturbations de la particule ou du champ libre, donc par approximations. Les calculs les plus simples se font "à la main" mais dès qu'on dépasse le deuxième ordre, en pratique, on a recours aux logiciels de calcul spécialisés (un package sur Mathematica ou d'autres). Pour calculer par exemple le moment magnétique du muon, il faut intégrer des milliers de diagrammes de Feynman, c'est pratiquement infaisable à la main. Une autre méthode est celle dite "sur réseau", qui discrétise l'espace-temps, et les calculs se font alors de manière numérique sur ordinateurs.

Une référence où c'est bien expliqué de manière pédagogique: "Quantum Field Theory in a Nutshell" par A. Zee.

[coussin]

Il s'agit d'intégrales fonctionnelles; il n'y a pas, à ma connaissance, de notion de primitive dans ce contexte.
La page Wikipedia en anglais fournit quelques exemples d'intégrales fonctionnelles Gaussiennes, qui sont à peu près les seules traitables analytiquement comme le signale ThM55.