Intégrale de chemin.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Comment montrer que l'intégrale de chemin est une généralisation à un nombre infini de variables, représenté par des chemins, des intégrales ordinaires, et vérifie les mêmes propriétés algébriques de celles ci, mais présente en plus des propriétés nouvelles ?

Merci d'avance.
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[ThM55]

Pas certain de comprendre la question, car ce qu'on fait en général c'est la définir comme une limite formelle d'intégrales avec des intervalles de temps discrets quand le nombre de pas et leur durée tend vers zéro (en mécanique quantique; généralisation en théorie des champs). C'est donc, à mon avis du moins, par définition. Toutefois, on ne doit pas toujours revenir aux temps discrets pour la calculer car on peut le faire directement pour le cas gaussien, qui est celui de la particule libre et de l'oscillateur harmonique.

Je sais que certains ont formulé une théorie "rigoureuse" avec des mesures sur un espace fonctionnel, mais je ne connais pas bien ce sujet.

[Anonyme007]

Bonjour ThM55,

C'est écrit ici, https://arxiv.org/pdf/1303.2556 , page : 3. Mais, on ne développe rien sur la suite de ce point. On dit juste que c'est une généralisation de l'intégrale ordinaire à degré de liberté infini. J'aimerais bien pouvoir connaitre pourquoi l'intégrale de chemin est une généralisation de l'intégrale ordinaire ( de Lebesgue, il me semble ). Je ne trouve hélas aucun bouquin parlant de ça.

[ThM55]

Ben si, c'est décrit dans la section 2.3. Pourquoi dis-tu qu'on ne développe pas par la suite? Il suffit de le lire. Dans la définition habituelle, qui est celle de Feynman et qui est reprise dans ce document, il s'agit d'une intégrale définie par une somme de Riemann, avec une multiplicité de variables potentiellement infinie (on part d'une discrétisation qui donne une intégrale multiple à N variables, puis on fait tendre N vers l'infini). C'est donc bien une généralisation, de manière évidente, je ne vois bien ce que tu demandes.

Pierre Cartier avait publié un bouquin sur le sujet. Connaissant ce grand mathématicien (décédé récemment), j'imagine qu'il s'est attaché à définir cela de manière plus matheuse, mais je ne l'ai pas lu. Voici la référence: https://www.google.be/books/edition/...sec=frontcover .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Cette intégrale de chemin ne se met pas sous la forme d'une somme de Riemann, mais, c'est juste un simple produit de propagateurs suivant l'équation de Chapman- Kolmogorov. Non ? Et ce produit n'est pas une somme de subdivisions d'un intervalle de , mais juste le produit effectué sur les variables d'états du Lagrangien. Ce n'est pas la même chose. C'est loin d'être une somme de Riemann.

[ThM55]

Ce produit de propagateurs sur des intervalles de temps infinitésimaux (ou, si on prèfère, finis tendant vers une durée nulle) comporte pour chaque extrémité d'un intervalle une valeur des variables dynamiques. Mais on a un produit d'exponentielles qui transforme le produit en somme et cette somme est interprétée comme une somme de Riemann qui détermine l'intégrale donnant l'action pour un chemin particulier. Evidemment on doit ensuite sommer tous les résultats pour tous les chemins possibles. Si on passe par une discrétisation des variables dynamiques en plus de celle du temps (ou par un réseau d'espace-temps en théorie des champs), on peut assimiler ceci à une somme de Riemann: on a par exemple N points de dicrétisation sur l'intervalle de temps et M points sur les variables dynamiques, on a donc une somme de M*N points où l'exponentielle est évaluée, et on peut interpréter cela comme une somme de Riemann.

Une autre manière de voir, peut-être plus correcte, est de considérer l'exponentielle pour chaque chemin en particulier et d'essayer de l'utiliser pour définir une mesure sur l'espace fonctionnel formé par ces chemins, qui seraient vus comme des fonctions d'un paramètre. Le problème est le fait que l'exponentielle est oscillantes avec son exposant imaginaire. C'est une des raisons pour lesquelles en théorie des champs on fait une rotation de Wick pour traiter le problème avec un exposant réel négatif: on peut ainsi définir une mesure dite de Wiener, que celui-ci a utilisé pour décrire le mouvement brownien et le bruit blanc et considérer la somme sur les chemins comme une intégrale de Lebesgue. Dans les deux cas, on a bien, de manière évidente me semble-t-il, une généralisation de la notion d'intégrale en dimension finie.

[ThM55]

Excuse-moi, mon comptage des points dans mon message précédent est faux, ce n'est pas le produit c'est une puissance. On a en fait évaluations à calculer puisque pour chaque instant dans la discrétisation du temps on doit spécifier indépendamment M valeurs possibles et sommer toutes les combinaisons possibles. En théorie des champs sur réseaux, c'est encore pire, ce qui explique qu'on travaille par méthode de Monte Carlo sur des super-ordinateurs pour évaluer les intégrales fonctionnelles. Sans cela ce serait infaisable.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Ce fil date de quelques mois déjà. Je me permets de le déterrer une nouvelle fois.
J'aimerais savoir si vous connaissez des exemples de calcul d’intégrale de chemin qui sont calculables à la main,, et quelle est la méthode de calcul général à suivre ? Est ce qu'on passe par le calcul d'une primitive comme c'est le cas du calcul intégrale Riemannien ?

Merci d'avance.

[ThM55]

Je ne sais pas ce que signifie "à la main". Vexu-tu dire de manière exacte ou bien une approximation est considérée comme étant faite "à la main"? Je suppose que cela signifie avec du papier et un stylo.

Je ne connais que deux cas où l'intégrale de chemin est faisable de manière exacte, ce sont les cas de la particule libre et celui de l'oscillateur harmonique, ainsi que leur version champ (le champ libre, qui peut être scalaire ou spinoriel, massif ou non). Dans ces cas elle se réduit à un produit d'intégrales gaussiennes dont on connaît le résultat. Tous les autres cas sont abordés en traitant les termes non quadratiques comme des perturbations de la particule ou du champ libre, donc par approximations. Les calculs les plus simples se font "à la main" mais dès qu'on dépasse le deuxième ordre, en pratique, on a recours aux logiciels de calcul spécialisés (un package sur Mathematica ou d'autres). Pour calculer par exemple le moment magnétique du muon, il faut intégrer des milliers de diagrammes de Feynman, c'est pratiquement infaisable à la main. Une autre méthode est celle dite "sur réseau", qui discrétise l'espace-temps, et les calculs se font alors de manière numérique sur ordinateurs.

Une référence où c'est bien expliqué de manière pédagogique: "Quantum Field Theory in a Nutshell" par A. Zee.

[coussin]

Il s'agit d'intégrales fonctionnelles; il n'y a pas, à ma connaissance, de notion de primitive dans ce contexte.
La page Wikipedia en anglais fournit quelques exemples d'intégrales fonctionnelles Gaussiennes, qui sont à peu près les seules traitables analytiquement comme le signale ThM55.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Je me permets de déterrer à nouveau ce fil qui date de plus d'un an.
Merci à ThM55 et coussin pour leur participation à ce sujet.
Est ce que vous pouvez me dire, comment est définie, et sur quel espace, la mesure qui figure dans l'expression de l'intégrale de Feynman suivante, ?

Merci d'avance.

[Anonyme007]

Il me semble que l'espace sur quel est définie la mesure est une intégrale directe de la forme,, où, , est un champs d'espaces fonctionnels, avec, à déterminer, pour tout .
Pour, , fixé, est une mesure définie sur l'espace, .
Donc, la mesure, est un champs de mesures, telles que chaque mesure, est une mesure associée à, , pour tout .
Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.

[ThM55]

Pardon, mais je ne comprends rien du tout à la question. Ce que j'en sais c'est que l'intégrale de chemin repose sur une mesure complexe (voir le i dans l'exponentielle) à laquelle, à ma connaissance, on ne sait pas donner de signification mathématique précise. Cette intégrale de chemin sert aux physiciens d'outil efficace pour des manipulations formelles qui conduisent rapidement aux procédés de calcul dans diverses applications (voir par exemple l'astuce stupéfiante du déterminant de Faddeev-Popov pour les théories de jauge).

Si on veut lui donner un sens mathématique, on conseille en général de passer par un prolongement analytique qui fait dt->-idt et donc (dq/dt)^2 -> -(dq/dt)^2. Ceci pour un degré de liberté, la généralisation à plusieurs ou aux champs est immédiate. Dans ce cas on peut se mettre dans le cadre d'une théorie qui est mathématiquement bien définie, celle de la mesure conditionnelle de Wiener. Wiener l'a définie pour étudier le mouvement brownien. La mesure de Wiener classique est une mesure gaussienne, elle est définie ici: https://fr.wikipedia.org/wiki/Mesure...ener_classique . En physique quantique, on parle de mesure "conditionnelle": la "condition" c'est que dans le problème les chemins ont un point initial mais aussi un point final fixés.

[Anonyme007]

Ce que j'en sais c'est que l'intégrale de chemin repose sur une mesure complexe (voir le i dans l'exponentielle) à laquelle, à ma connaissance, on ne sait pas donner de signification mathématique précise.

Oui, tu m'en as tenu au courant une fois auparavant. Merci. Néanmoins, depuis ce temps là, mon attention s'est focalisée sur cette question d'essayer d'esquisser un cadre approprié dans lequel on puisse placer cette notion d'intégrale de chemin et de mesure dans une théorie mathématique déjà pré-établie, et je pense avoir réussi à déterminer ce cadre là. Il s'agit de la notion de système de Haar, ( Voir ici, https://etheses.whiterose.ac.uk/id/e...Categories.pdf , page, ), et de la notion d'intégrale directe topologique d'un champs d'espaces fonctionnels ( Voir ici, https://etheses.whiterose.ac.uk/id/e...Categories.pdf , page ).

Si on veut lui donner un sens mathématique, on conseille en général de passer par un prolongement analytique qui fait dt->-idt et donc (dq/dt)^2 -> -(dq/dt)^2. Ceci pour un degré de liberté, la généralisation à plusieurs ou aux champs est immédiate.

J'aimerais bien que tu puisses m'éclaircir comment s'effectue ce passage à un champs de mesures, parce que sa construction n'est pas triviale du tout, et demande d'introduire la notion de système de Haar à mon avis.

Dans ce cas on peut se mettre dans le cadre d'une théorie qui est mathématiquement bien définie, celle de la mesure conditionnelle de Wiener. Wiener l'a définie pour étudier le mouvement brownien. La mesure de Wiener classique est une mesure gaussienne, elle est définie ici: https://fr.wikipedia.org/wiki/Mesure...ener_classique . En physique quantique, on parle de mesure "conditionnelle": la "condition" c'est que dans le problème les chemins ont un point initial mais aussi un point final fixés.

D'accord, je comprends où se trouve le hic.
Ce qui différencie une mesure de Wiener conditionnelle, et un système de Haar dont je t'ai parlé, est que, un système de Haar, est en fait une généralisation de la mesure de Wiener mais, ''non'' conditionnelle, vérifiant, . C'est à dire, , avec, , et chaque mesure, est définie sur l'espace, . Donc, merci. Il me faut essayer de définir une version amélioré de la notion de système de Haar, que j’appellerai, système de Haar conditionnelle qui servirait finalement comme cadre ultime de la notion d'intégrale de Feynman.

[ThM55]

Je n'ai pas les compétences mathématiques pour répondre à cela. Mais il existe au moins un mathématicien qui a étudié rigoureusement l'intégrale de chemin, aussi appelée intégrale fonctionnelle, c'est le fameux Pierre Cartier (ancien membre du groupe Bourbaki, décédé en 2024). Il a écrit un traité sur le sujet avec la nom moins fameuse Cécile DeWitt-Morette: Functional Integration (Cambridge University Press). Je ne l'ai pas lu mais j'ai vu des critiques très positives. Cela pourrait t'intéresser.

On trouve aussi des articles de ces deux auteurs en accès libre sur numdam.org, dont certains qui remontent aux années 1960.

[ThM55]

Le livre de Cartier et Dewitt-Morette existe en version brochée à 70€ (en Belgique on l'a pour 64€) : https://www.amazon.fr/Functional-Int...s%2C178&sr=8-8

On peut trouver cela cher, mais ce n'est que le prix de trois romans rédigés par une IA et ça occupera le lecteur beaucoup plus longtemps!

[Anonyme007]

Merci ThM55 pour ces références bibliographiques que tu me cites.
Est ce que, tu sais plus pertinemment pourquoi Feynman introduit plus spécifiquement la notion d'intégrale de chemin définie par une mesure très particulière qui est la mesure de Wiener : , de densité de probabilité engendrée par un processus Gaussien, alors qu'il aurait choisi pour mesure de densité une autre densité autre que celle engendré par un processus Gaussien ?.
De ce que j'en sais, un mouvement Brownien ( qui est une généralisation de la loi normale en dimension infinie indénombrable ) est un processus Gaussien décrit par une mesure de Wiener, qui lui aussi un processus de Markov, dont, sa version ''conditionnelle'' est une matrice de transition Markovienne ( i.e, densité de probabilité conditionnelle généralisée ) engendrée par une mesure de Wiener conditionnelle.
Pourquoi alors, la plupart des phénomènes observés en mécanique quantique sont modélisés par des processus Browniens ( qui est un cas particulier de processus Gaussien, qui lui aussi est un cas particulier de processus de Markov ) ?
Feynman formule la théorie quantique des champs en effectuant des calculs uniquement pour les phénomènes Browniens qui nécessitent des mesures basés sur l'intégrale de chemin définie par une densité de Wiener ( Densité Brownien ), alors qu'elle aurait été définie par une autre forme de densité autre que la densité de Wiener. Est ce pour dire que tous les phénomènes de la mécanique quantique, la mécanique statistique, et la physique des particules, sont des phénomènes Browniens ? Pourquoi ?
Merci d'avance.

[ThM55]

Non, ce n'est pas uniquement gaussien! C'est gaussien pour les deux cas les plus simples (ou simplistes) en physique, qui sont d'ailleurs liés en théorie des champs: le mouvement libre et l'oscillateur harmonique. En effet l'action S[q] n'est pas forcément quadratique! Ce n'est le cas que pour le mouvement libre avec ou pour l'oscillateur harmonique. Ce n'est plus le cas pour l'oscillateur anharmonique avec un terme en q^4 dans le lagrangien. En théorie des champs, l'oscillateur représente seulement un champ libre, sans interaction (donc pas d'interaction électromagnétique ni avec un champ scalaire, pas de chromodynamique etc, ce n'est pas très utile en physique sauf pour décrire les états asymptotiques). En théorie des champs, l'intégrale de chemin de Feynman est un raccourci heuristique pour écrire les règles pour les diagrammes de Feynman: cela permet de passer directement du lagrangien aux diagrammes, et on peut se passer largement de la justification mathématique (en faisant toutefois attention, d'où les prescriptions "i epsilon").

Le pourquoi de l'analogie avec le mouvement brownien et plus généralement avec la physique statistique est, je crois, assez bien expliqué dans le livre de Feynman et Hibbs.

NB: il faut éviter d'utiliser le terme "intégrale de Feynman", sans préciser qu'il s'agit d'intégrale fonctionnelle ou intégrale de chemin. Celui-là devrait être réservé aux intégrales apparaissant quand on écrit les amplitudes de diagrammes qui contiennent des boucles et qui sont intégrales ordinaires.

[ThM55]

Mais je n'ai pas répondu à la première question. Feynman voulait élucider le rôle du principe de moindre action en mécanique quantique. Ce principe est dû en mécanique classique à Maupertuis, Euler, Lagrange et Hamilton. Curieusement la mécanique quantique était directement formulée selon la mécanique hamiltonienne, sans faire intervenir le principe de moindre action. Par exemple Dirac donnait une prescription pour passer de la mécanique classique à la MQ en remplaçant les crochets de Poisson par des commutateurs. Dirac s'est donc posé la même question et a démontré le rôle de la grandeur où S[q] est l'action , mais il a simplement mentionné le lien sans en chercher une utilité pratique. Feynman a montré que cette exponentielle est l'amplitude associée à une trajectoire particulière et que comme toujours en mécanique quantique on somme les amplitudes, d'où la notion d'intégrale fonctionnelle. Voilà d'où ces mesures quadratiques proviennent historiquement: simplement parce que les premiers termes du lagrangien sont quadratiques.

J'aurais dû commencer ma réponse précédente par ceci, ensuite mentionner pourquoi ce n'est pas toujours gaussien.

[Anonyme007]

Je n'ai pas bien saisi toute l'histoire. Je suis un peu perdu.
Est ce que tu es d'accord, que est une mesure de Wiener. Et comme toute mesure de Wiener est aussi Gaussienne, alors, est une mesure Gaussienne. N'est ce pas ? Donc, l'action est forcément quadratique. N'est ce pas ?
Si l'action n'est pas quadratique, alors, forcément la mesure qui définit l'intégrale de chemin n'est pas une mesure de Wiener.

[coussin]

Il y a une correspondance entre action classique et quantique quand le hamiltonien ne contient que des termes au plus quadratiques en les positions et/ou les impulsions.
C'est le cas, entre autre, pour le mouvement libre (seul terme en p²), l'oscillateur harmonique (un terme supplémentaire en x²) ou la chute libre (terme potentiel en z).
En général, dans le hamiltonien on peut avoir n'importe quoi.
J'ai juste l'impression qu'on dit tous la même chose dans des langages différents.

[coussin]

Notez que je parle de "correspondance", pas égalité. En particulier, il est connu que dans le cas de la chute libre il y a une phase supplémentaire à prendre en compte dans le cas quantique. Mais cette phase n'est qu'un facteur multiplicatif sur le mouvement "classique" du centre de masse du système quantique.

[ThM55]

Je n'ai pas bien saisi toute l'histoire. Je suis un peu perdu.
Est ce que tu es d'accord, que est une mesure de Wiener. Et comme toute mesure de Wiener est aussi Gaussienne, alors, est une mesure Gaussienne. N'est ce pas ? Donc, l'action est forcément quadratique. N'est ce pas ?
Si l'action n'est pas quadratique, alors, forcément la mesure qui définit l'intégrale de chemin n'est pas une mesure de Wiener.

Réponse aux questions: première question, NON, je ne suis pas d'accord, la mesure de Wiener est réelle, pas complexe; étant donné la réponse à la première question, la réponse à la deuxième est NON aussi; troisième: non, l'action n'est pas forcément quadratique, comme le montre l'exemple d'un électron dans l'atome d'hydrogène; et à la dernière question: (edit, je me suis trompé) NON car on calcule des intégrale de fonctionnelles F[qt)]=exp(G[q]) avec la mesure de Wiener, donc on n'est pas obligé de considérer uniquement des actions quadratiques.

[Anonyme007]

Réponse aux questions: première question, NON, je ne suis pas d'accord; étant donné la réponse à la première question, la réponse à la deuxième est NON aussi; troisième: non, l'action n'est pas forcément quadratique, comme le montre l'exemple d'un électron dans l'atome d'hydrogène; et à la dernière question: OUI (ouf, je suis tout de même soulagé de pouvoir écrire un oui ).

Et, qu'est ce qui est pour toi précisément une mesure de Wiener en intégrale de chemin de Feynman ?. Parce que, c'est toi qui a précisé au début que la mesure qui définit une intégrale de chemin est une mesure de Wiener, pas moi.

[ThM55]

J'ai donné le lien sur Wikipedia et j'ai expliqué comment cela surgit de la rotation de Wick t->-it. Je ne vois pas ce que je peux faire de plus.

[Anonyme007]

première question, NON, je ne suis pas d'accord, la mesure de Wiener est réelle, pas complexe

Non, il existe bien sûr une mesure de Wiener complexe lorsque le mouvement Brownien est à valeurs dans le plan complexe ( Au lieu de , c'est à dire, lorsque le mouvement Brownien est bi-dimensionnel ). Ce n'est pas ça, le problème ici. La mesure de Wiener est belle et bien, , au lieu de tout simplement. On a, , et non, . J'espère que je ne raconte pas de bêtise.

[Anonyme007]

Comme pour la loi normale ( centrée réduite ) classique : est pour ce que, est pour ( i.e, ou pour ).
On a, pour le mouvement Brownien, tout comme on a, pour la loi normale classique.

[ThM55]

Non, ce n'est pas une mesure de Wiener. C'est juste une ressemblance, avec derrière un théorème de prolongement analytique. Sur Numdam.org, on peut trouver un intéressant article de Cécile DeWitt-Morette, qui explique en mots simples, sans le jargon mathématique poudre-aux-yeux dont j'ai horreur, ce qu'est l'intégrale fonctionnelle:

https://www.numdam.org/item/AIHPA_1969__11_2_153_0.pdf

A la page 164, elle définit la mesure de Wiener à partir de l'amplitude de Feynman pour une masse imaginaire . Pourquoi? Parce que l'intégrale de Feynman ne converge pas, ou en tout cas on ne sait pas le prouver. Il suffit de se rappeler la difficulté des preuves de convergence de la transformée de Fourier. Ici, on a une transformée de Fourier en dimension infinie, c'est bien pire. En prenant une masse imaginaire dans le propagateur de la particule libre, il obtient une mesure gaussienne, c'est-à-dire avec un argument négatif dans l'exponentielle, qui est réelle. La mesure de Wiener est bien réelle. Passer aux temps imaginaire comme je l'ai mentionné dans une autre réponse, donnerait un résultat équivalent dans le cas de la particule libre. Page 165 elle montre l'expression de la mesure de Wiener sous la même forme que la "mesure" (avec guillemets) de Feynman, avec iS[q]; mais ici S[q] est imaginaire négatif. La mesure de Wiener est réelle. Il se fait que l'intégrale de chemin de la MQ devient l'intégrale fonctionnelle de Wiener pour mouvement brownien, avec toutefois une différence mineure en ce qui concerne l'intégration sur la condition finale, qui est absente car elle noie le résultat utile pour la physique.

Ensuite, page 167, je cite:

Nelson a montré que l’intégrale de Wiener reste définie lorsque la masse
devient réelle (sauf pour un ensemble de valeurs réelles de M de mesure
nulle)

C'est l'intégrale qui reste définie, pas la mesure! Dans ce cas, on a aussi des résultats très différents (l'équation de Schrödinger n'est pas l'équation de la diffusion), mais le calcul reste possible, et cela justifie le truc des physiciens (temps imaginaire ou prescription de Feynman). Il ne s'agit plus de la mesure de Wiener car on ne calcule plus la même chose. Il ne faut quand même pas tout mélanger.

De plus, comme je l'ai déjà dit, l'intégrale de chemin en MQ est beaucoup plus générale, car elle s'applique à des cas non gaussiens, par exemple ceux avec un potentiel; c'est d'ailleurs dans de tels cas qu'elle montre son utilité (pour une particule libre ou l'oscillateur harmonique, il est plus simple de passer par l'équation de Schrödinger).

Mais je vais arrêter de discuter de tout cela ici, c'est inutile car il existe de nombreux livres et articles sur le sujet, beaucoup sont en accès libre et ils expliquent tout cela beaucoup mieux que moi.

[Anonyme007]

J'ai une dernière questio, si je peux me permettre,

Ici, on a une transformée de Fourier en dimension infinie, c'est bien pire.

Si l'intégrale de chemin de Feynman est une sorte de transformée de Fourier généralisée, en dimension infinie, est ce qu'elle vérifie l'identité, , avec, le morphisme de parité, ?

Merci d'avance.

[ThM55]

J'ai une dernière questio, si je peux me permettre,



Si l'intégrale de chemin de Feynman est une sorte de transformée de Fourier généralisée, en dimension infinie, est ce qu'elle vérifie l'identité, , avec, le morphisme de parité, ?

Merci d'avance.

Bonne question. Si tu essaies de démontrer cela, tu comprendras vite pourquoi l'intégrale de chemin de Feynman est si mal définie mathématiquement.