Bonjour à tous,
Comment montrer que l'intégrale de chemin est une généralisation à un nombre infini de variables, représenté par des chemins, des intégrales ordinaires, et vérifie les mêmes propriétés algébriques de celles ci, mais présente en plus des propriétés nouvelles ?
Merci d'avance.
Pas certain de comprendre la question, car ce qu'on fait en général c'est la définir comme une limite formelle d'intégrales avec des intervalles de temps discrets quand le nombre de pas et leur durée tend vers zéro (en mécanique quantique; généralisation en théorie des champs). C'est donc, à mon avis du moins, par définition. Toutefois, on ne doit pas toujours revenir aux temps discrets pour la calculer car on peut le faire directement pour le cas gaussien, qui est celui de la particule libre et de l'oscillateur harmonique.
Je sais que certains ont formulé une théorie "rigoureuse" avec des mesures sur un espace fonctionnel, mais je ne connais pas bien ce sujet.
Bonjour ThM55,
C'est écrit ici, https://arxiv.org/pdf/1303.2556 , page : 3. Mais, on ne développe rien sur la suite de ce point. On dit juste que c'est une généralisation de l'intégrale ordinaire à degré de liberté infini. J'aimerais bien pouvoir connaitre pourquoi l'intégrale de chemin est une généralisation de l'intégrale ordinaire ( de Lebesgue, il me semble ). Je ne trouve hélas aucun bouquin parlant de ça.
Ben si, c'est décrit dans la section 2.3. Pourquoi dis-tu qu'on ne développe pas par la suite? Il suffit de le lire. Dans la définition habituelle, qui est celle de Feynman et qui est reprise dans ce document, il s'agit d'une intégrale définie par une somme de Riemann, avec une multiplicité de variables potentiellement infinie (on part d'une discrétisation qui donne une intégrale multiple à N variables, puis on fait tendre N vers l'infini). C'est donc bien une généralisation, de manière évidente, je ne vois bien ce que tu demandes.
Pierre Cartier avait publié un bouquin sur le sujet. Connaissant ce grand mathématicien (décédé récemment), j'imagine qu'il s'est attaché à définir cela de manière plus matheuse, mais je ne l'ai pas lu. Voici la référence: https://www.google.be/books/edition/...sec=frontcover .
Cette intégrale de chemin ne se met pas sous la forme d'une somme de Riemann, mais, c'est juste un simple produit de propagateurs suivant l'équation de Chapman- Kolmogorov. Non ? Et ce produit n'est pas une somme de subdivisions d'un intervalle de, mais juste le produit effectué sur les variables d'états du Lagrangien. Ce n'est pas la même chose. C'est loin d'être une somme de Riemann.
Ce produit de propagateurs sur des intervalles de temps infinitésimaux (ou, si on prèfère, finis tendant vers une durée nulle) comporte pour chaque extrémité d'un intervalle une valeur des variables dynamiques. Mais on a un produit d'exponentiellesqui transforme le produit en somme et cette somme est interprétée comme une somme de Riemann qui détermine l'intégrale donnant l'action pour un chemin particulier. Evidemment on doit ensuite sommer tous les résultats pour tous les chemins possibles. Si on passe par une discrétisation des variables dynamiques en plus de celle du temps (ou par un réseau d'espace-temps en théorie des champs), on peut assimiler ceci à une somme de Riemann: on a par exemple N points de dicrétisation sur l'intervalle de temps et M points sur les variables dynamiques, on a donc une somme de M*N points où l'exponentielle est évaluée, et on peut interpréter cela comme une somme de Riemann.
Une autre manière de voir, peut-être plus correcte, est de considérer l'exponentiellepour chaque chemin en particulier et d'essayer de l'utiliser pour définir une mesure sur l'espace fonctionnel formé par ces chemins, qui seraient vus comme des fonctions d'un paramètre. Le problème est le fait que l'exponentielle est oscillantes avec son exposant imaginaire. C'est une des raisons pour lesquelles en théorie des champs on fait une rotation de Wick pour traiter le problème avec un exposant réel négatif: on peut ainsi définir une mesure dite de Wiener, que celui-ci a utilisé pour décrire le mouvement brownien et le bruit blanc et considérer la somme sur les chemins comme une intégrale de Lebesgue. Dans les deux cas, on a bien, de manière évidente me semble-t-il, une généralisation de la notion d'intégrale en dimension finie.
Dernière modification par ThM55 ; 14/04/2025 à 08h53.
Excuse-moi, mon comptage des points dans mon message précédent est faux, ce n'est pas le produit c'est une puissance. On a en faitévaluations à calculer puisque pour chaque instant dans la discrétisation du temps on doit spécifier indépendamment M valeurs possibles et sommer toutes les combinaisons possibles. En théorie des champs sur réseaux, c'est encore pire, ce qui explique qu'on travaille par méthode de Monte Carlo sur des super-ordinateurs pour évaluer les intégrales fonctionnelles. Sans cela ce serait infaisable.
