### **Contexte :**
Je travaille sur la simulation d'un écoulement dans un tube souple avec la méthode des volumes finies. Mon code fonctionne pour un **maillage rectangulaire complet**, mais je dois l'adapter pour une **forme en escalier** (domaine non rectangulaire) où certaines cellules sont absentes.
### **Problème spécifique :**
```python
# Ma situation actuelle :
# Rectangle plein N×M - toutes les cellules existent
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# Ce que je veux : Forme en escalier triangulaire
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```
### **Détails techniques :**
- **Équations** : Stokes + loi de compliance pour tube souple
- **Méthode** : Différences finies avec système couplé (ux, uy, p)
- **Défi** : Adapter la construction matricielle pour gérer les cellules manquantes
### **Questions précises :**
1. **Stratégie de numérotation** :
```python
# Approche actuelle : numérotation globale (i,j) → k
def num(i, j, N): return j * N + i
# Faut-il une numérotation locale seulement pour les cellules actives ?
# Comment gérer efficacement les voisins manquants ?
```
2. **Construction matricielle** :
```python
# Comment adapter les équations aux limites quand :
- Une cellule n'a pas de voisin à gauche/droite/haut/bas ?
- Comment gérer les dérivées spatiales aux interfaces du domaine ?
```
3. **Conditions aux limites** :
- Comment imposer P1 à gauche et P2 à droite sur un bord irrégulier ?
- Comment traiter les parois solides sur les bords de l'escalier ?
4. **Implémentation pratique** :
```python
# Est-ce que cette approche avec masque est la bonne ?
masque = np.array([[True, False, False, False],
[True, True, False, False],
[True, True, True, False],
[True, True, True, True]])
# Ou faut-il utiliser une liste de cellules actives ?
cellules_actives = [(0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (2,1), (2,2), ...]
```
### **Extrait de mon code actuel (simplifié) :**
```python
def matrice(N, M, dx, eta, dy_current, P1, P2):
# Construction actuelle pour rectangle plein
for i in range(N):
for j in range(M):
# Tous les voisins existent toujours
mat[k][num(i+1, j, N)] = eta/dx**2 # Problème : voisin peut ne pas exister!
mat[k][num(i-1, j, N)] = eta/dx**2
```
### **Résultats attendus :**
- Pouvoir résoudre les équations seulement sur les cellules actives
- Gérer proprement les interfaces entre cellules existantes et manquantes
- Conserver la précision numérique malgré la géométrie irrégulière
### **Points à souligner :**
- Je maîtrise déjà l'implémentation pour le cas rectangulaire
- Je cherche spécifiquement la méthodologie pour géométries irrégulières
- J'ai commencé une approche par masque mais je doute de son efficacité
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