Différences finis : discretisation quelconques ?

[membreComplexe12]

Bonjour tous,

j'ai une question assez bête : pourquoi utilise t on toujours la méthode des différences finis sur un maillage régulier ?

qu'es ce qui nous empeche d'appliquer par exemple un schema explicite sur une grille totalement quelconque comme un maillage element finis
(en considérant par exemple que le point de discretisation différence finis est au centre de l'element finis).

merci pour les renseignement que vous pourrez me donner
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[obi76]

Salut,

parce que sur un maillage non régulier (au moins 2D), il faut nécessairement faire une interpolation pour retrouver la valeur de la dérivée à l'endroit où on la veut. Si vous faites une DF4 par exemple, les points utilisés doivent tous être alignés, et ce n'est pas possible si le maillage n'est pas régulier.

C'est pour ça que c'estp lus facile (même si c'est fondamentalement assez différent) travailler en terme de flux : ça ne revient qu'à faire des bilans.

[membreComplexe12]

salut Obi76 et merci pour ta reponse.

j'ai quelques remarques/questions sur ce que tu m'as dis :
1) OK, je comprends ce que tu veux dire pour l'interpolation
2) je ne comprends pas ce que tu veux dire par contre par DF4 ?
3) peux tu m'en dire plus sur le travail en terme de flux ? car c'est une chose à laquelle je pensais.
Si j'ai un maillage quelconque je peux calculer le flux entre chaque couple d'element (avec une dérivée d'ordre 1 en espace)
et au final si j'additionne à chaque temperature initiale la temperature gagnée ou perdu alors j'aurais bien au final la meme chose
que si j'avais resolu directement l'equation de conservation ? (equation chaleur)
(as tu de la doc là dessus par hasard?)
4) si on travail en flux par contre comment savoir si le schema est stable ? si le schema explicite associé est stable alors le resonnement en flux sera stable aussi ?

merci pour toutes les infos que tu pourras me donner

[obi76]

Re,

2) je ne comprends pas ce que tu veux dire par contre par DF4 ?

Différence finie d'ordre 4 : il faut au moins 5 stencils

3) peux tu m'en dire plus sur le travail en terme de flux ? car c'est une chose à laquelle je pensais.

Ben on fait une équation bilan par variable extensive dans chaque maille. On regarde le flux sur chaque face de la maille, on en déduit l'évolution de la variable concernée dans la maille.

Si j'ai un maillage quelconque je peux calculer le flux entre chaque couple d'element (avec une dérivée d'ordre 1 en espace)
et au final si j'additionne à chaque temperature initiale la temperature gagnée ou perdu alors j'aurais bien au final la meme chose
que si j'avais resolu directement l'equation de conservation ? (equation chaleur)

Justement parce que les variables doivent être extensives : la température est intensive. L'énergie calorifique par contre elle est extensive

(as tu de la doc là dessus par hasard?)

heu je dois en avoir, il faudrait juste me laisser un peu de temps... Sinon sur google tu as tout ce qu'il faut.

4) si on travail en flux par contre comment savoir si le schema est stable ? si le schema explicite associé est stable alors le resonnement en flux sera stable aussi ?

A priori oui

[A voir en vidéo sur Futura]

[membreComplexe12]

merci de prendre le temps de m'aider

Différence finie d'ordre 4 : il faut au moins 5 stencils

qu'en tu dis d'ordre 4 c'est en espace ou en temps ?
-> en espace ? si oui, je ne connaissais pas je pensais que l'on pouvais faire en différence finis que de l'ordre 2 au mieux
-> j'ai regardé sur wikipedia ce lien : http://en.wikipedia.org/wiki/Five-point_stencil
et il a l'air pas mal. En fait l'idée c'est un peu pret de faire de l'interpolation polynomial ? mais du coup mieux vaut faire des elements finis ?

Ben on fait une équation bilan par variable extensive dans chaque maille. On regarde le flux sur chaque face de la maille, on en déduit l'évolution de la variable concernée dans la maille.

oui, je comprends ce que tu veux dire. D'ailleurs ça tombe bien moi j'étudie une variables extensive

Justement parce que les variables doivent être extensives : la température est intensive. L'énergie calorifique par contre elle est extensive

donc si je travaillerai avec des temperature je dois calculer l'energie calorifique de chaque maille si je raisonne en flux ? et additionner une perte ou un gain pour chaque
maille, il faut donc que je deduise l'energie calrofique de la maille à partir de sa temperature et à partir du flux de chaleur rentrant/sortant ?
(cf. c'est juste par curiosité car moi j'ai une variable extensive).

heu je dois en avoir, il faudrait juste me laisser un peu de temps... Sinon sur google tu as tout ce qu'il faut.

si tu as un cours un un peu detailler sur des comparatif différences finis / raisonnement en flux ça m'intéresse grandement.
j'ai regardé sur le net et je n'ai trouvé que des trucs sur les différences finis classiques, j'ai l'impression que le raisonnement en flux
n'est jamais utilisé en pratique, je me trompe ?

a priori oui

En fait j'aimerai bien arriver à prouver ceci car ça m'intrigue...
il faut que l'equation de flux que j'applique à chaque couple de maille soit stable ?

[obi76]

Ca fait longtemps que j'ai pas touché à ça, c'est possible que je dise des bêtises hein...

L'ordre 4 c'est en espace.

Ce n'est pas une interpolation polynomiale, loin de là, il sagit juste d'estimer une dérivée en fonction des valeurs discrètes de la fonction. C'est une simple combinaison linéaire.

Pour la température oui, il faut passer par l'énergie. Les variables conservatives sont nécessaires.

[membreComplexe12]

Merci Obi pour ces precisions, ça m'aide deja bien. En fait la seule chose qui me turlupine a present c comment montrer que le schema en flux est stable...

[obi76]

c'est à dire stable ?

[membreComplexe12]

comment vérifier que le schema (de type flux) est numeriquement stable ?
-> en différence finis on montre qu'un schema est stable si valeurs propres < 1
-> mais ici pas de matrice donc cette methode ne marche pas....

[obi76]

Ben si, la condition CFL dépendra de la plus grande dérivée temporelle et de la conservation des bornes lors d'un pas de temps.

Exemple bête : vous résolvez la température (donc l'énergie calorifique), il est évident qu'au bout d'un pas de temps il ne FAUT PAS que la température d'une maille devienne plus élevée que la plus haute température qui l'entoure si sa température était moindre à l'itération d'avant, ET que sa température ne peut pas passer en dessous de la plus basse température qui l'entoure si ça température était supérieure à l'itération d'avant.

Idem pour toutes les autres variables : la concentration par exemple ne peut pas être négative ou supérieure à 1 => hop, une condition de plus.

PS : c'était peut être un peu bourin, mais cette histoire de valeur propre de matrice ne m'importait que pour les termes d'ordre 2, où effectivement il faut passer par là.

Par exemple : vous résolvez conduction de la chaleur (second ordre donc). Hé bien si votre température est complètement homogène, votre terme du second ordre est censé être nul, MAIS la restriction CFL doit tout de même être respectée. Enfin après les matheux vous répondront mieux que moi là dessus.

[membreComplexe12]

merci obi76, ces reponses m'aide beaucoup, je pense avoir tout les elements à présent

A+