Théories de Jauge.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Sur la page suivante : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_jauge , on définit une théorie de Jauge comme étant un couple , où est un fibré principal basé sur un groupe de Lie appelé : invariance de Jauge, et est une connexion principale ( de Koszul ).

J'aimerais savoir si, en physique théorique, il existe des extensions à une théorie de Jauge, pour le quel est remplacé par un fibré quelconque en toute généralité ( i.e, sans structure linéaire ), muni d'une connexion d'Ehresmann au lieu de connexion de Koszul pour les fibrés à structure linéaire ?

Merci d'avance.
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[ThM55]

A ma connaissance, non et cela peut s'expliquer par le fait que les théories de jauge ont été créées pour généraliser une forme d'invariance. Comme le lagrangien contient des dérivées des champs, cela conduit à exiger la covariance de ces dérivées, qui est perdue dans un cadre général.

Il ne faut pas oublier que l'interprétation des théories de jauge en terme de fibrés principaux est intervenue assez tard. C'est une réinterprétation a posteriori. Entretemps, les champs de Yang-Mills sont devenus les acteurs majeurs du modèle standard et cela dans le cadre de la théorie des champs quantiques, qui ne se prête pas facilement à une interprétation en terme de fibrés (à mon avis cette difficulté particulière est à rapprocher de celle qu'on a à quantifier la gravité: on n'a pas de théorie complètement quantique de la géométrie, ou en tout cas pas de théorie faisant consensus).

Ce n'est pas la première fois que des notions mathématiques développées indépendamment de la physique lui sont appliquées a posteriori. Dans ce contexte on peut par exemple mentionner la fibration de Hopf, formulée en 1931 lors d'une recherche sur les groupes d'homotopie des sphères, la même année que la théorie du monopôle magnétique de Dirac. Ces deux sujets ont été développés de manière totalement indépendante. Ce n'est que dans les années 1970 qu'on s'est aperçu de l'identité formelle entre ces deux sujets (par Wu et Yang).

Un article sur l'histoire du concept d'invariance de jauge par deux sommités, Jackson et Okun: https://arxiv.org/abs/hep-ph/0012061 .

[ThM55]

Mais évidemment rien n'empêche d'imaginer une théorie avec un fibré plus général et des non-linéarités. L'exemple que j'ai donné pour la topologie des sphères m'a rappelé le cas des modèles sigma non linéaires, des champs qui sont des fonctions à valeurs dans une variété, par exemple une variété riemannienne ou un groupe de Lie (dans le cas des champs de jauge de type Yang-Mills, l'image est une algèbre de Lie, un espace linéaire). Je ne sais pas si cela a été développé dans le langage des fibrés, mais pourquoi pas? Cela répondrait peut-être à votre question. Voir ici: https://en.wikipedia.org/wiki/Non-linear_sigma_model