Annihilation electron positron

[Rebiaud]

Quand electron et positron qui ont une masse s'annihilent en production de photons sans masse, où est passée l'addition des 2 masses ?
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[pm42]

Quand electron et positron qui ont une masse s'annihilent en production de photons sans masse, où est passée l'addition des 2 masses ?

Dans l'énergie des photons. C'est le fameux E=mc² (version courte) qui dit que la matière peut se transformer en énergie.
Cela a donné Hiroshima mais aussi l'électricité qui alimente l'ordinateur que tu as utilisé pour taper ta question. Et le Soleil.

[mach3]

Par définition en relativité restreinte, la masse d'un système est la norme de sont quadrivecteur énergie-impulsion. En pratique cela donne la formule suivante :

m : masse du système
E : énergie totale du système (somme de toutes les énergies contenues)
p : quantité de mouvement totale du système (somme de toutes les quantités de mouvement)

Initialement, on a un électron et un positron se dirigeant l'un vers l'autre, l'un de quantité de mouvement (projetée sur l'axe qui les relie) et d'énergie , l'autre de quantité de mouvement et d'énergie , avec

Si on applique la formule à chacun des protagonistes, on retrouve bien comme masse pour chacun d'eux :

Si on applique la formule à l'ensemble, donc en considérant l'énergie totale et la quantité de mouvement totale , alors la masse de l'ensemble est , supérieure aux auquel on s'attendrait avec un raisonnement classique.

Après la collision, on a deux photons dont chacun à une masse nulle, donc , d'où . La quantité de mouvement totale se conserve donc les quantités de mouvement des deux photons sont égales et opposées, ce qui impliques que leurs énergies sont égales. L'énergie se conservant la somme des énergies des deux photons est toujours , donc chacun des deux photons à pour énergie (et donc, des quantités de mouvement dont la norme est ). La masse de l'ensemble est toujours .

La masse se conserve, mais n'est pas additive. La masse d'un electron et d'un positron se fonçant dessus est plus élevée que la masse de ces deux particules seules, et elle est la même que le système constitué des deux photons qui s'éloignent suite à l'annihilation qui ont pourtant une masse nulle si prise indépendamment l'un de l'autre.

m@ch3

note : l'énergie potentielle, qui compte dans le calcul, a été ici négligée, cela est valable si on considère une situation initiale où l'électron et le positron sont très loin l'un de l'autre

[ThM55]

J'aime bien faire cela sous forme graphique. Ce forum, qui est encore techniquement un peu primitif , ne permet pas d'afficher des diagrammes en quatre dimensions, donc je l'ai fait en 2 dimensions, qui suffisent pour expliquer l'idée.

C'est un diagramme minkowskien, mais pas dans l'espace-temps (pour les connaisseurs, il s'agit de l'espace co-tangent à l'espace-temps mais pas besoin de le savoir). L'axe vertical est l'énergie, et l'axe horizontal une composante de la quantité de mouvement (ou impulsion) des particules avant et après leur collision et annihilation.

Une particule de masse m vérifie la relation . Ici j'ai tout normalisé à 1 (c=1 et m=1) et on a donc , ce qui est représenté par l'hyperbole à deux branches en bleu. La particule physique a une énergie positive, elle est sur la branche supérieure. Il y a une particule au repos (p=0) représentée par le vecteur vertical en orange dont l'extrémité est sur l'hyperbole de masse. L'antiparticule est en mouvement, elle a p=0.5 et est représentée par l'autre vecteur en orange. Leur quadri-énergie totale est la somme de ces quadri-vecteurs et est représentée par le vecteur en rouge. Ce vecteur doit être conservé dans la réaction d'annihilation. Les diagonales représentent l'énergie impulsion possible du photon, dont la masse est nulle, donc obéit à l'équation , soit ou . Cela correspond au cône de lumière dans l'espace-temps.

Quand la particule et son antiparticule s'annihilent, on constate immédiatement un fait majeur: cela ne peut pas se faire sous la forme d'un seul photon. C'est immédiat, puisque le vecteur énergie-impulsion total n'est pas sur le cône de lumière, et sa conservation serait impossible. Par contre cela peut se faire sous la forme de deux photons. J'ai représenté une situation possible en projetant le vecteur rouge sur ce cône pris comme base, ce qui donne immédiatement les quadrivecteurs des deux photons (en vert).

Ce genre de diagramme permet souvent de comprendre rapidement des contraintes cinématiques, même dans des situations plus compliquées, sans faire trop de calculs. Ce n'est évidemment pas la recette absolue, dans bien des cas il faut passer par des calculs, parfois difficiles, mais cela peut servir de guide.

J'ai réalisé ce diagramme avec Maxima, un logiciel libre qui utilise gnuplot pour les graphiques.

[A voir en vidéo sur Futura]

[curiossss]

Une façon très simple de se représenter la masse est la suivante :
Toute énergie libre se propage à la vitesse (c). Mais imagine qu'une énergie soit contrainte de suivre un parcours qui n'est pas rectiligne : une hélice, des boucles, des allers-retours tarabiscotés, etc...
Elle se déplace toujours localement à (c), mais comme une partie de son déplacement est consacrée aux détours, sa progression moyenne dans la direction générale du mouvement de la particule dont elle fait partie est plus lente.
On peut alors se représenter la masse comme une mesure de cette non-linéarité du parcours de l'énergie : plus l'énergie est empêchée de se propager librement à (c), plus elle contribue à ce qu'on désigne par 'masse'.
Dans cette image, la masse n'est donc pas une sorte de substance supplémentaire collée à la particule, une 'propriété intrinsèque' terme qu'on utilise quand on ne sait pas trop ce que c'est. C'est une manière de comptabiliser l'énergie qui n'est pas disponible sous forme de mouvement libre.

Lorsqu'un électron et un positron s'annihilent, cette énergie change de forme et se retrouve dans les photons produits. L'énergie qui était associée à la masse des particules devient alors de l'énergie électromagnétique libre.
Les masses ne disparaissent pas, elles se transforment en leurs composantes. L'énergie qui contribuait à la masse change de mode de manifestation.

C'est juste une image mentale qui aide à comprendre qualitativement les formules, pas une démonstration rigoureuse, loin de là car c'est plus compliqué, l'énergie n'est pas localisée dans un point qui se déplace dans l'espace. Là on a bien simplifié, en la concentrant en un point parcourant une trajectoire.

[pachacamac]

@ThM55 : je suis quand même curieux de savoir ce qu'est l'espace co-tangent à l'espace-temps.

[ThM55]

C'est le dual de l'espace tangent.

[pachacamac]

Merci. Me reste plus qu'à comprendre pourquoi tu fais ta démonstration et tes graphiques dans cet espace là

[Anonyme007]

Merci. Me reste plus qu'à comprendre pourquoi tu fais ta démonstration et tes graphiques dans cet espace là

A mon humble avis, il me semble que ThM55 utilise cet espace cotangent, parce qu'il regarde l'énergie , comme étant l'Hamiltonien classique, d'une particule libre, définie sur qui est le fibré cotangent sur un espace de configuration qui est ici l'espace temps il me semble. Attendons son commentaire après qu'il se connecte au forum.
Les paramètres de l'espace cotangent sont tels que, , et, sont les impulsions ou covecteurs de l'espace cotangent qui est une fibre du fibré cotangent en une coordonnée .

[Anonyme007]

Ce que je n'arrive pas à comprendre en général, est cette différence entre une énergie et un hamiltonien .
Pour moi, un Hamiltonien est une fonction, tandis que, une énergie est une constante qui ne se paramétrise pas, car elle est conservative. Est ce que c'est vrai ?
Pour moi, l'énergie est la valeur de l'Hamiltonien , qui demeure constante le long d'un domaine. N'est ce pas ça selon vous ?

[ThM55]

Ce que je n'arrive pas à comprendre en général, est cette différence entre une énergie et un hamiltonien .
Pour moi, un Hamiltonien est une fonction, tandis que, une énergie est une constante qui ne se paramétrise pas, car elle est conservative. Est ce que c'est vrai ?
Pour moi, l'énergie est la valeur de l'Hamiltonien , qui demeure constante le long d'un domaine. N'est ce pas ça selon vous ?

Oui, c'est bien ça. En mécanique classique on parle plutôt de "fonction de Hamilton": c'est une fonction qui dépend des coordonnées et des impulsions, obtenue par transformation de Legendre de la fonction de Lagrange. Le terme de hamiltonien a été introduit en mécanique quantique, comme substantivation de "opérateur hamiltonien", mais il semble que l'usage se soit généralisé aussi en physique classique. C'est en effet l'énergie, mais elle n'est pas forcément conservée, par exemple si la fonction H dépend explicitement du temps (par exemple à cause d'un potentiel variable comme dans un cyclotron).

Comme je crois l'avoir mentionné, il est inutile pour mon propos de définir cela comme l'espace cotangent, je n'aurais pas dû en parler mais plutôt parler de l'espace des énergie-impulsion. C'est un bon outil pédagogique, par exemple pour voir qu'une paire e-p se désintègre en deux photons et jamais en un seul. Je suis plutôt visuel, je trouve cela plus facile à voir sur un graphique qu'avec de l'algèbre.

[Anonyme007]

Oui, c'est bien ça. En mécanique classique on parle plutôt de "fonction de Hamilton": c'est une fonction qui dépend des coordonnées et des impulsions, obtenue par transformation de Legendre de la fonction de Lagrange.

Tiens, j'ignorais qu'il y avait une notion de fonction de Lagrange qui a pour quantification un opérateur Lagrangien. Je ne connaissais que la notion de fonction de Hamilton qui avait comme quantification, l'opérateur Hamiltonien. Génial.
Donc, une fonction de Hamilton est le dual de Legendre d'une fonction de Lagrange, de même que l'opérateur Hamiltonien est le dual de Legendre de l'opérateur de Lagrange. N'est ce pas ?
Donc, si je saisis bien, il existe même une quantification de transformée de Legendre en une transformée de Legendre quantique. Non ?

Merci d'avance.

[ThM55]

? ?? Non, la transformation de Legendre c'est en physique classique. Enfin, c'est peut-être possible avec les opérateurs, mais je ne connais pas. On ne fait pas ce qu'on veut avec les opérateurs, la non-commutation entraîne des limitations sévères (par exemple théorème de Greonewold-Van Hove).