intégrale à noyau

[La Limule]

Bonjour
Je m'interesse aux intégrales a noyau. En anglais l'aticle de wikipedia
se nomme integral transsforu ce qui sonne plus général.

Un opérateur à noyau
est l'analogue mais de façon continue
de la multiplication d'une matrice
M_ij par un vecteur C_j
Elle s'écrit
(A psi) (x) = integrale de k(x,y) psi(y) dy
exemple la tranformée de Fourier utilise le noyau
k(x,k) = integrale de exp (-i kx) dx.
Pour le laplacien ca devient exp -xs
si ça vous dit quelque chose j'aimerais vous proposer des questions
sur le probleme des intégrales qui oscillent avec l'oscillateur harmonique.
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[La Limule]

j'ai oublié de vous dire merci

[ThM55]

De rien. C'est plutôt une question de maths, mais évidemment il y a des applications en physique. Un partie de l'analyse fonctionnelle consiste en effet à essayer d'exprimer des opérateurs linéaires comme une intégrale avec un noyau. Par exemple en physique on passe de l'équation de Poisson pour le potentiel à une intégrale avec une fonction de Green qui donne le potentiel à partir de la densité de matière ou de charge. L'unificateur en cette matière est la théorie des distributions (formalisée par Laurent Schwartz mais déjà présente en physique, en ingénierie et en maths plusieurs décennies avant lui).

[Anonyme007]

Bonjour,

Quel lien existe-t-il entre un intégrale à noyau, et un oscillateur harmonique ? Qu'est ce que un oscillateur harmonique ? L'exemple d'oscillateur harmonique que je connais est l'exemple d'un ressort qui fait des va et vient périodique, et horizontalement sur une table, sans que ces va et vient ne s'arrêtent, par alimentation en énergie mécanique. Est ce que c'est ça ? Javais vu ça en lycée quant j'étais encore plus jeune. Mais, j'ai tout oublié. Est ce que vous pouvez m'expliquer abstraitement ce qu'est un oscillateur harmonique comme un objet idéal indépendant de toute représentation à travers le mouvement perpétuel d'un ressort, ou d'un pendule, ou même d'un oscilloscope si je ne m'abuse ? Est ce que un oscilloscope est un exemple parfait de ce qu'est un oscillateur harmonique ? Merci d'avance.

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Une autre question si je peux me permettre,
Est ce que le mouvement d'un oscillateur harmonique est un mouvement perpétuel ?
Merci d'avance.

[gts2]

Bonjour,

En généralisant l'exemple du système masse-ressort qui est correct, c'est, en physique classique quelque chose qui obéit à , x étant n'importe quelle grandeur physique (dans le cas du ressort c'est l'allongement de celui-ci), ce peut-être un courant, une tension, une position angulaire ...

Sous cette forme idéale, le mouvement est perpétuel.

Un oscilloscope est un appareil de mesure : il peut mesurer la tension d'un oscillateur harmonique mais n'est pas un oscillateur.

[ThM55]

Oui une masse rappelée par un ressort et qui effectue de ce fait des oscillations périodique, est un oscillateur harmonique. L'équation est une forme particulière de la loi du mouvement de Newton dans laquelle la force est proportionnelle au déplacement. Par généralisation, on nomme oscillateur harmonique tout système physique qui obéit à la même équation, pas forcément une masse avec un ressort. C'est le cas, par exemple, pour un mode d'oscillation du champ électromagnétique dans une cavité. En l'absence de frottements, tout mouvement est "perpétuel". Mais si on veut tirer de l'énergie de ce mouvement pour, par exemple, moudre du blé, l'oscillateur sera couplé à quelque chose qui dissipe cette énergie et l'oscillateur va s'arrêter. Vu comme cela, ce n'est pas un mouvement perpétuel, un tel mouvement perpétuel est impossible.

Quand la force F ne dépend que de t, , on peut d'ailleurs écrire immédiatement la solution x(t) comme une intégrale de F(t) multipliée par un noyau. Comme ceci:



a et v sont des constantes (facile à vérifier en dérivant). Cela donne un exemple (le plus simple en fait) de ce genre de méthode. On peut aussi le faire pour l'oscillateur harmonique, c'est un peu plus compliqué. Le passage aux transformées de Fourier permet de manipuler ces fonctions comme des facteurs, mais il y a des difficultés qui surgissent quand le système présente des résonances.

[Anonyme007]

Merci beaucoup gts2 et ThM55 pour toutes ces explications.

Les solutions de l'équation qui régit le mouvement d'un oscillateur harmonique se présentent comme la superposition de deux harmoniques et .
Si on avait à la place d'une superposition de deux harmoniques, et , une superposition d'une infinité d'harmoniques et leurs conjuguées, pour tout , est ce que, alors, la solution d'une l'équation différentielle qui généralise éventuellement l'équation différentielle , décrit le mouvement d'un oscillateur harmonique également. Une telle solution vérifie , car est le développement en série de Fourier d'une autre fonction appelée signal périodique, tel que, , qui est souvent continue par morceaux sur . Bref, est ce que un signal périodique suivant la théorie de Fourier est une grandeur décrivant le mouvement d'un oscillateur harmonique idéal effectuant un mouvement perpétuel ?

Merci d'avance.

[La Limule]

je vais continuer avec mes integrales à noyau,
l'article wikipedia est intitulé "opérateur integral" et est tiré de son
équivalent anglais "integral transform" qui fait plus penser par exemple àla transfomation de Fourier p
Dans ces wiki il y a une table où sont listés de nombreux exemples
de telles transformations.
J'ai noté mais il me semble qu'ils ont oublié la convolution où f et g sont 2 fonctions
avec K = (f,g) = f - g et où on intègre sur dg.
En ce qui concerne l'oscillateur harmonique c'est un système décrit par un lagrangien
L = (m/2)(v au carré - (x fois omega) au carré
v est egal à dx/dt et omega dépend du ressort que maintient la particule près
de l'origine.
Ma question porte sur les K qui s'ecrivent
(X_f,T,X0,0)
ca concerne une evolution du temps de 0 à T
Est ce que ça a toujours un rapport avec les K precedents comme avec par exemple la transformation de Fourrier?
D'ou provient cette notation de noyau?
merci

[Anonyme007]

Bonjour La Limule,

Ma question porte sur les K qui s'ecrivent
(X_f,T,X0,0)
ca concerne une evolution du temps de 0 à T
Est ce que ça a toujours un rapport avec les K precedents comme avec par exemple la transformation de Fourrier?
D'ou provient cette notation de noyau?

La notation provient de la notion de propagateur ( qui est une généralisation de la notion de fonction de Green ) qui est une notion très célèbre en mécanique quantique utilisée pour définir l'intégrale de chemin appelée aussi intégrale de Feynman.

Cordialement.

[Anonyme007]

Voir,
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Propag...hr%C3%B6dinger
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_chemin

[La Limule]

Genial je vais voir si ca repond a mes questions (nombreuses)

[pachacamac]

@ThM55 : Bonjour , Dans l'équation à la fin de ton post #7 il est où le noyau ?

[Sethy]

@ThM55 : Bonjour , Dans l'équation à la fin de ton post #7 il est où le noyau ?

Je peux me tromper, mais le noyau est (t-u).

[pachacamac]

Merci. c'est aussi ce que je pense. Mais en fait ma vrai question serait plutôt c'est quoi un noyau dans une intégrale et ça apporte quoi?

[Anonyme007]

Merci beaucoup gts2 et ThM55 pour toutes ces explications.

Les solutions de l'équation qui régit le mouvement d'un oscillateur harmonique se présentent comme la superposition de deux harmoniques et .
Si on avait à la place d'une superposition de deux harmoniques, et , une superposition d'une infinité d'harmoniques et leurs conjuguées, pour tout , est ce que, alors, la solution d'une l'équation différentielle qui généralise éventuellement l'équation différentielle , décrit le mouvement d'un oscillateur harmonique également. Une telle solution vérifie , car est le développement en série de Fourier d'une autre fonction appelée signal périodique, tel que, , qui est souvent continue par morceaux sur . Bref, est ce que un signal périodique suivant la théorie de Fourier est une grandeur décrivant le mouvement d'un oscillateur harmonique idéal effectuant un mouvement perpétuel ?

Est ce que un signal périodique développable en série de Fourier est une grandeur décrivant le mouvement d'un oscillateur anharmonique au lieu d'oscillateur harmonique ?
Voir ici, https://en.wikipedia.org/wiki/Anharmonicity pour connaitre ce qu'est la notion d'oscillateur anharmonique.

Merci d'avance.

[Anonyme007]

Merci. c'est aussi ce que je pense. Mais en fait ma vrai question serait plutôt c'est quoi un noyau dans une intégrale et ça apporte quoi?

Un noyau dans une intégrale par rapport à une fonction continue par morceaux, est ce que représente une matrice par rapport à un vecteur colonne .
Un noyau est généralement solution fondamentale d'une équation différentielle linéaire ( ordinaire ou partielle ). Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Green

Cordialement.

[MissJenny]

Merci. c'est aussi ce que je pense. Mais en fait ma vrai question serait plutôt c'est quoi un noyau dans une intégrale et ça apporte quoi?

dans le cas d'une forme quadratique sur un espace de fonctions, de la forme intégrale de K(x,y)f(x)g(y), le noyau K est une fonction qui tend vers zéro assez rapidement pour que l'intégrale soit finie pour une classe de fonctions f et g assez large.

[ThM55]

Merci. c'est aussi ce que je pense. Mais en fait ma vrai question serait plutôt c'est quoi un noyau dans une intégrale et ça apporte quoi?

C'est ce qu'on appelle en physique les fonctions de Green, que Feynman appelait des propagateurs.

L'idée générale est celle d'un opérateur A qui applique une fonction f(x) sur une autre, g=A[f], et qui est linéaire. La question qui se pose est de savoir si cet opérateur peut (ou ne peut pas) être représenté par une intégrale de telle sorte que , l'intégrale étant brise entre certaines bornes (plus ou moins l'infini, ou autre). Le noyau est G. C'est un énoncé assez vague mais la physique donne de nombreux exemples plus précis où on a avantage à le faire, et dans certains cas cela n'a de sens que dans le cadre de la théorie des distributions. En théorie quantique des champs, on utilise cette méthode pour calculer les amplitudes de diffusion par approximations successives (méthode des perturbations), en transformant les équations différentielles en une équation intégrale qui se prête au calcul de perturbation.

Ce que cela apporte aussi, c'est que l'étude du noyau, soit dans le domaine temporel ou spatial, soit après transformation de Fourier, renseigne sur certaines propriétés du système physique qui sont plus difficilement visibles autrement. Un maximum local peut indiquer une résonance, c'est souvent utile de savoir si un système physique présente une résonance. Les pôles d'une fonction de Green correspondent mécanique quantique à des états qui peuvent se propager. Pour des états liés, leur nature permet de déterminer si une état est stable ou non, et de calculer sa durée de vie avant désintégration. C'est extrêmement utile. Le résidu en ces pôles joue un rôle important dans la renormalisation des théories de champ.

En électronique, pour un système linéaire permanent, c'est ce qu'on appelle la fonction de transfert (après transformation de Fourier ou de Laplace). La fonction de transfert est la transformée de la réponse impulsionnelle (réponse à un delta de Dirac).

[La Limule]

Dans le wikipedia sur les intégrale de chemin on y voir deux point A er B et des
lignes qui vont de A vers B. ce sont les diverses possibilités d'aller de A a B en
"zigzgant". j'aimerais savoir si A et B sont des points de l'espace temps ou de l'espce.
si le systeme est un oscillateur harmonique, j'ai lu que si les zigzag sont important
ca pose un probleme de definition des intégrales, qui oscillent trop
pourriez vous m'esplique ce probleme (j'en parlais tout a debut)
il seble que la solution est d'effectuet une rotation de Wick pour passer
en euclidien. Mais Wick ne m'interesse pas c'est la nature de probleme avec
l'osscillateur harmonique.
Et bien sur le K associé (x,t,x0,0)

[Sethy]

J'ai failli répondre à l'intervention d'Anonyme d'hier à 17h15 en suggérant de ne pas trop se disperser.

Les intégrales de chemin, c'est un cours de 60h niveau M1 (Bac +4), qui fait suite à un autre cours de 48h lui aussi de niveau M1.

Il faut énormement de bases en physique et en math pour suivre Feynman dans son raisonnement.

Source : https://www.ulb.be/fr/programme/ma-phys#programme (Quantum Field Theory II et I).

Donc oui, se restreindre à explorer ce qui se passe avec l'oscillateur harmonique est une bonne idée.

[La Limule]

A missjenny , tu parle d'une integrale que tend vets zero.
ca ne doit pas etre le cas pour l'oscilater haumonique. est la source du probleme?

[ThM55]

Le fameux physicien théoricien Sidney Coleman, mentor de toute une génération, a dit à peu près ceci: "La carrière d’un jeune physicien théoricien consiste à traiter l’oscillateur harmonique à des niveaux d’abstraction toujours croissants."

En effet, les petites oscillations d'une structure mécanique se décomposent en mode normaux qui sont des oscillateurs harmoniques indépendants. Un champ quantique libre se décompose lui aussi en oscillateurs indépendants dont les quanta sont interprétés comme des particules... le souci commence quand on les fait interagir.

Un premier exercice à résoudre est celui de l'oscillateur harmonique forcé. Son équation est . Trouver pour une force donnée par la fonction . On supposera d'abord des conditions modérées sur F(t): continue, à support compact, F(t)=0 pour tout t<0... On peut ensuite compliquer: fonctions F(t) moins favorables, considérer la dissipation (circuit RLC), les résonances, ajouter des termes en , , faire de x un vecteur à n dimensions, à une infinité de dimensions, le mettre dans une algèbre de Grassmann anticommutante, que fait la renormalisation, pourquoi elle ne fonctionne pas toujours, etc etc. On peut en faire le tour en deux ou trois ans de travail quotidien .

[stefjm]

Un exemple amusant est de prendre

[ThM55]

Landau-Lifchitz volume 1: https://archive.org/details/l.-landa...ge/85/mode/2up



Et j'oubliais: la résonance paramétrique!

[stefjm]

Et tellement plus facile à étudier dans l'espace de Laplace...

[La Limule]

je suis en train de lire un livre de Feynman "quantum mechanics and path integral"
il propose dans un probleme (pas de solution donnée) de calculer l'action pour un
l'oscillateur harmonique
il dit sans demonstrations que l'action est
S = ((m o)/sin (o T) ) mulitiplie par ((cos (o T)(x_b carré + x_a carré)) - 2 x_a x_b)
avec o pour omega. et T la difference de temperature entre a et b.
ça semble etrange d'avoir m et omega car dans le lagrangien de l'oscillateur harmonique
ils sont dans deux termes differents.

[ThM55]

je suis en train de lire un livre de Feynman "quantum mechanics and path integral"
il propose dans un probleme (pas de solution donnée) de calculer l'action pour un
l'oscillateur harmonique
il dit sans demonstrations que l'action est
S = ((m o)/sin (o T) ) mulitiplie par ((cos (o T)(x_b carré + x_a carré)) - 2 x_a x_b)
avec o pour omega. et T la difference de temperature entre a et b.
ça semble etrange d'avoir m et omega car dans le lagrangien de l'oscillateur harmonique
ils sont dans deux termes differents.

Pourquoi? Pour un oscillateur mécanique on a .

[ThM55]

Je dois être plus explicite: l'équation de l'oscillateur est

(ou pour l'oscillateur forcé).

Ce que l'on peut aussi écrire



Tu vois bien que m et apparaissent dans le même terme (le deuxième).

Exercice plus simple que calculer l'action: écrire la solution causale particulière pour une impulsion avec une fonction de Green retardée. Peut-on donner un sens à cette méthode en analyse classique?

[Anonyme007]

Bonjour,

écrire la solution causale particulière pour une impulsion avec une fonction de Green retardée

Tu cherches à résoudre au sens des distributions ( i.e, dans, ), l'équation différentielle ordinaire, .
Je laisse à La Limule le soin de trouver cette solution au sens des distributions.

Peut-on donner un sens à cette méthode en analyse classique?

L'équivalent au sens classique de l'équation différentielle ordinaire au sens des distributions, est, l'équation différentielle ordinaire,

Cordialement.