intégrale à noyau

[stefjm]

Exercice plus simple que calculer l'action: écrire la solution causale particulière pour une impulsion avec une fonction de Green retardée. Peut-on donner un sens à cette méthode en analyse classique?

Il me semble que la réponse à un dirac d'un système relaxé (conditions initiales nulles) est la même que celle de ce système pour une condition initiale non nulle et correspondant à la réponse précédente.

En très gros, les , , du second membre deviennent les conditions initiales , , de l'équation homogène sans excitation (sans second membre).
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[Anonyme007]

Pardon, , au lieu de . Je m'excuse.

[Anonyme007]

Ah oui, je comprends la réponse de stefjm.

Oui, les conditions initiales sont, , et , parce que,

avec,
est équivalente à,

[gts2]

Point de vue de physicien : un Dirac de force, c'est un choc, donc discontinuité de vitesse, pas discontinuité de position ?

[Anonyme007]

Point de vue de physicien : un Dirac de force, c'est un choc, donc discontinuité de vitesse, pas discontinuité de position ?

Oui. Voir ici, https://perso.isima.fr/leborgne/Isim...ns/distrib.pdf , page, 8.

[La Limule]

L'auteur n'utilise pas les distributions (c 'est en page 18)
il introduit les lagrangiens puis l'action en l' intégrant.je pense qu' il donne la solution il veut qu'on retrouve le lagrangien et
que c'est un oscillateur harmonique .

[Anonyme007]

Pardon, je voulais dire, page, 108.

[La Limule]

je me suis trompé le probleme est en page 28 et c'est le deuxieme , le premier
concernait la particule libre.
sur mon edition la page 108 concerne Mesurements of qm variables.

[Anonyme007]

Non. Page, 108, sur le document que j'ai mis moi même en ligne. Il suffit d'un clic pour y accéder.
Initialement, j'ignore de quel document tu parles.

[ThM55]

Ce cours me semble très matheux et formel. Une alternative plus facile est le bouquin de Walter Appel.

[La Limule]

Dans ce qui suit je note Om la constante Omega qui a la dimension de l'inverse d'un temps
ce qui fait que les sinus et cosinus de (Om t) sont des nombres sans dimension.
X(t) = X0 cos(Om t) (sin(Om t)/sin(Om T)) ((X_b - X0 cos (Om T)))
Si je ne me suis pas trompé avec les parentheses ca donne
la valeur de X en fonction du temps (de 0 a T) et si on dérive deux fois
par rapport au temp ça donne l'equation du mouvement de l'oscillateur harmonique (je ne l ai pas fait)
De plus du point de vue du propagateur (le K) c'est un des rares cas
où on peut expliciter ce K

[Anonyme007]

Ta formule est trop compliquée. D'où sors tu cette formule ?

[stefjm]

X(t) = X0 cos(Om t) (sin(Om t)/sin(Om T)) ((X_b - X0 cos (Om T)))

Je comprends pas ce que tu as écris.

et

donc division par 0 ?

Il faudrait éclaircir ce point.

[La Limule]

la formule que j'ai trouvée avec le sin et le cos de Om t
vient du livre ecrit par Feynman et Hibbs
quand on derive deux fois en fonction de t les sin et les cos sont multipliés
par - Omega au carré.

En suite on derive par t x fois dx/dt ca donne
dx/dt^2 + x fois l'acceleration
Est ce que tu vois ce que ca donne?

[gts2]

Le plus simple serait que vous donniez la référence : la page, le numéro de l'équation.

[La Limule]

J'ai ecrit
je suis en train de lire un livre de Feynman "quantum mechanics and path integral"

je ne l'ai pas entre mes mains mais dans mon ordinateur.
il indique sans le prouver que l'action classique s'écrit (voir mon message)
Ce livre coute plus de 150 euros d'occasion actuellement.
il y a bien des années Pm42 avait indiqué comment pouvoir accéder
a des livres scientifiques gratuitement (mais il y a prescription)
J'ajoute également que ce livre a comme coauteur Hibbs.

[gts2]

Si vous l'avez dans votre ordi, vous pouvez indiquer le numéro de l'équation.

L'accès est là : https://archive.org

[stefjm]

L'EDO d'un oscillateur harmonique est


Sa fonction de transfert en Laplace :

Sa réponse impulsionnelle (ou fonction de Green) :

[La Limule]

Ce n'est pas une equiation mais le probleme numero 2 situe page 28
concernant l'oscillateur harmonique.
tu a donné un lien. si tu le peux accede a celle page 28

[gts2]

X(t) = X0 cos(Om t) (sin(Om t)/sin(Om T)) ((X_b - X0 cos (Om T)))

L'exercice 2 demandait de trouver l'action.
Ici vous donner x(t).
Les notations du texte utilisent Xb et Xa, quelle est la signification de X0 ?
Votre équation donne en Latex X(t) = X_0 \cos(\omega t) \frac{\sin(\omega t)}{\sin(\omega T)} (X_b - X_0 \cos (\omega T)) soit
Je suppose que ce n'est pas cela que vous vouliez dire.
Pour @stefjm T n'est pas la période, mais l'intervalle T=(tb-ta), tb et ta étant les bornes de l'intégrale d'action.

[ThM55]

Je me suis souvenu que je possède le livre de Feynman et Hibbs. Je ne l'avais plus ouvert depuis mes études, je l'ai retrouvé dans l'armoire du grenier où j'ai rangé mes anciens cours. J'ai ouvert à la page 28, je vois le problème 2.2 et miracle j'avais noté au crayon une indication:

"prendre la solution "

Il y a une astuce. Il est évident que c'est une solution de l'équation de l'oscillateur, mais habituellement, on résout une équadiff avec des conditions initiales, position et vitesse; ici c'est avec une position initiale et une position finale: pour la vérifier il suffit de faire 1) t=t_a : le terme en sinus s'annule et le cosinus vaut 1, cela donne x_a, puis 2) faire t=t_b et on voit que les termes en cosinus se détruisent, le sinus se simplifie et il ne reste que x_b).

Ensuite on met cette solution dans et on intègre de t_a à t_b.

J'étais encore en forme à cette lointaine époque.

[ThM55]

Coquille: au dénominateur c'est ou

[ThM55]

Ce livre de Feynman est singulier: il expose la mécanique quantique en partant de l'intégrale de chemin. Il en déduit l'équation de Schrödinger avec les opérateurs pour les observables. Dans la plupart des cours on fait le contraire: on part de Schrödinger et on en déduit l'intégrale de chemin.

Pour cette approche, une référence réputée avec de nombreuses applications est le livre de Schulman, Techniques and Applications of Path Integration (https://www.amazon.fr/Techniques-App...s%2C374&sr=8-1). Pas l'édition Wiley originale hors de prix, mais la réédition brochée chez Dover publications, à moins de 30€. Très jolies et astucieuses démonstrations, par exemple, une parmi des dizaines: il explique pourquoi le potentiel vecteur electromagnétique doit être évalué au milieu de l'intervalle quand on discrétise.

[La Limule]

Effectivement ça tient du miracle de plus que tu l'avais annoté ....
Je vais etudier tes reponses avec plaisir.

[Anonyme007]

Est ce qu'il y a une raison de choisir la solution de cette forme en tant que telle :
"prendre la solution "
où bien ce choix fait est le fruit du hasard ?
Merci d'avance.

[gts2]

@ThM55 a bien écrit : "Il y a une astuce."

1- on sait que la solution est du type
2- sauf que la recherche de A et B est un peu pénible (Mathematica me les a trouvé mais à la date du livre de Feynman...), on décale donc l'origine des temps de manière à avoir une solution évidente

3- il est alors évident que A=x_a, il ne reste plus qu'à trouver B en faisant

[ThM55]

C'est probablement ce que j'avais fait, à moins qu'un prof assistant ne m'ai soufflé le truc. Je n'en ai aucun souvenir, cela doit remonter à 1983 ou 84. Maintenant il reste à faire le calcul de l'action (calculer la dérivée, élever les termes au carré, substituer dans L, intégrer): un peu long mais sans difficulté.

[ThM55]

Pour simplifier, on peut aussi poser et puisque l'action est invariante par translation temporelle. D'autre part, les doubles produits tombent.

[ThM55]

On peut aussi calculer l'action classique en intégrant le premier terme parties ( et en y substituant l'équation du mouvement pour éliminer la dérivée seconde: (j'ai posé m=1).

Mais cela donne l'action en fonction des positions et des vitesses. Pour éliminer les vitesses il faut utiliser la solution que j'ai indiquée. C'est peut-être un peu plus simple (moins de calculs).

[ThM55]

Ceci donne l'action classique. Etape suivante: par l'intégrale de chemin, calculer l'action quantique ou le propagateur en intégrant sur tous les chemins. C'est le seul cas connu (avec le mouvement libre, qui en est une limite de couplage nul et le mouvement dans un champ externe constant), où on sait calculer l'intégrale de chemin exactement, grâce au fait que les fluctuations quantiques se découplent. Cf Feynman-Hibbs §3.5 et problèmes 3-8, 3-9, 3-10 et 3-11. Ce dernier concerne l'oscillateur quantique forcé.

Ce bouquin est génial, il faudra que je le relise.