intégrale à noyau

[La Limule]

Dans ce livre quand on pose l action classique c'est par opposition à quoi?
merci
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[ThM55]

Pourquoi une opposition? Au départ, l'oscillateur harmonique est un sujet de mécanique classique. Typiquement, une masse attachée à un ressort, ou bien les petites oscillations d'un système (comme le pendule, une structure comme un pont, un cristal...). La mécanique lagrangienne et hamiltonienne consiste à déduire les équations du mouvement à partir de l'extrémum d'une fonctionnelle, l'action classique, qui est l'intégrale de la fonction de Lagrange sur un intervalle de temps. Encore Feynman: il explique cela dans ses "Feynman Lectures". Voir chapitre 19, volume II: https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_19.html . A étudier avant Feynman & Hibbs, de même que tout ce cours.

Pour passer à la mécanique quantique, l'idée est de le "quantifier", c'est-à-dire de trouver un système "équivalent" dans lequel les variable de position et de quantité de mouvement sont remplacés par des opérateurs agissant sur la fonction d'onde. Feynman, en développant une idée de Dirac, remplace la dynamique par une intégrale de chemin, c'est un procédé technique, pas une théorie différente. C'est le processus historique: on part d'une théorie classique et on suppose qu'on peut la "quantifier" comme Dirac l'expliquait dès le début il y a un siècle. En réalité on ne peut faire cela de manière non ambiguë que dans de rares cas, en particulier pour l'oscillateur harmonique. Léon Van Hove (un brillant physicien belge un peu oublié) a montré clairement en 1951 que c'est en général impossible dès qu'on sort du cas quadratique, par exemple dès qu'un lagrangien possède des termes cubiques ou a fortiori des fonctions plus générales.

[La Limule]

Je pensais que classique était en opposition à son alternative par
les intégrales de chemin. Autre façon de présenter la mécanique quantique.

[ThM55]

D'accord, je comprends. En fait pour calculer le résultat quantique par intégrales de chemin, pour l'oscillateur harmonique le plus simple est de passer par le résultat classique. Cela devient clair quand on arrive aux paragraphes sur le sujet dans le chapitre 3.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Est ce que vous pouvez me rappeler où apparaît en physique, l'équation différentielle, ( Dans quel cours précisément ? ) ? Et quel est son lien avec la notion d'oscillateur harmonique ? Cela remonte à très longtemps que j'ai appris quelques part un cours qui portait sur cette équation différentielle, sans me rappeler où exactement ?

Merci pour votre éclairage.

[gts2]

Cette équation apparait "partout" : mécanique, électricité, acoustique, chimie ... Le problème est plutôt comment échapper à celui-ci dans un cours (peut-être en thermodynamique...).
Et le lien avec l'oscillateur !?! C'est l'équation de l'oscillateur.

[ThM55]

Bonjour à tous,

Est ce que vous pouvez me rappeler où apparaît en physique, l'équation différentielle, ( Dans quel cours précisément ? ) ? Et quel est son lien avec la notion d'oscillateur harmonique ? Cela remonte à très longtemps que j'ai appris quelques part un cours qui portait sur cette équation différentielle, sans me rappeler où exactement ?

Merci pour votre éclairage.

C'est l'équation du pendule. Si on suppose x(t) très petit (x(t) << 1), on peut développer le sinus en série de Taylor. Si on se limite au premier ordre, on a l'équation de l'oscillateur harmonique.

[stefjm]

Bonjour à tous,

Est ce que vous pouvez me rappeler où apparaît en physique, l'équation différentielle, ( Dans quel cours précisément ? ) ? Et quel est son lien avec la notion d'oscillateur harmonique ? Cela remonte à très longtemps que j'ai appris quelques part un cours qui portait sur cette équation différentielle, sans me rappeler où exactement ?

Merci pour votre éclairage.

https://www.wolframalpha.com/input?i...sin%28x%29%3D0

La solution fait intervenir les fonctions d'amplitude de Jacobi.

@gts2 : je ne l'ai jamais trop rencontrée en électricité.

[ThM55]

Elle apparaît aussi en théorie des solitons pour l'équation aux DP nommée, par un mauvais jeu de mots, "Sine-Gordon".

[gts2]

@gts2 : je ne l'ai jamais trop rencontrée en électricité.

Vous êtes sûr ? Pour commencer le circuit LC et tous les oscillateurs en électronique (à moins de réserver le nom électricité à un champ restreint).

Remarque : j'avais mal lu le message initial, depuis le temps que l'on parle de l'oscillateur harmonique, je n'avais pas vu le sinus !

Désolé pour tous les messages hors propos.

[stefjm]

C'est aussi une équation différentielle classique mais moins que .

J'ai du l'étudié quand j'étais moins mauvais en maths...

C'est facile de trouver une intégrale première en multipliant par x'(t).

On obtient la conservation de l'énergie :

Pour trouver x, c'est un peu plus trapu : intégrale elliptique de Jacobi et il y a plusieurs cas.
Petites oscillations, oscillations anharmoniques, rotation continue.

Cette équation apparait vraiment partout!
En fait, dès qu'on a un potentiel en 1-cos(x).

[ThM55]

En électronique: les jonctions Josephson. Mais ce n'est pas de l'électronique très commune dans les foyers...

[stefjm]

Oui, j'ai vu cela. GPT m'a fait un beau tableau avec une douzaines d'applications!