Les 10 équations accompagnants l'équation principale d'Einstein.

[Daniel1958]

Bonjour

J'ai une petite question pour vous. Mais importante pour ma culture. Certes je pourrais obtenir une réponse dans x années. Il faudrait aussi que je surélève mon niveau de manière exponentielle.

J'ai pu vu voir les 10 équations (épurées) supports de l'équation principale d'Einstein.

Elles sont souvent reprises mais noyées (pour moi) dans des démonstrations et autres calculs.

Elles ont pour la plupart des dérivées secondes (dérivée de la dérivée) et partielles. J'ai lu qu'une spécialiste de la théorie des champs trouvait que calculer les résultats de ces dix équations était nettement plus difficile que les maths dans sa spécialité. J'ai entendu des spécialistes de la RG dire que c'était d'une difficulté très importante et que mème l'ordinateur était utilisé pour les résoudre.

Je parle de la solution générale. On doit calculer les résultats de ces 10 équations.

Est-ce le principe de la covariance qui a conduit Einstein à supprimer 6 équations symétriques ????

Obtient-on un seul résultat par équation ???? En fonction de se l'on recherche bien sur

Le tenseur à 16 composantes dans l'espace à 4 dimensions est-il rempli par les 10 nombres des 10 équations ???
(et ne riez svp) doit-on faire ce travail pour chaque dérivée partielle.

Ha comment Eistein a-t-il pu calculer le problème lié au périhélie de Mercure face à une telle complexité ? A la mano ???
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[yves95210]

Bonjour,

L'équation d'Einstein est une égalité entre tenseurs de rang 2 dans un espace à 4 dimensions. Ces tenseurs ont donc 16 composantes. Mais ils sont symétriques, ce qui réduit à 10 le nombre de composantes indépendantes (les 4 composantes diagonales plus la moitié des 12 autres). L'équation tensorielle correspond donc à un système de 10 équations différentielles à 10 inconnues.
Le membre de gauche de l'équation (le tenseur d'Einstein, construit à partir du tenseur de Ricci) représente la courbure de l'espace-temps, et ses composantes dépendent des composantes de la métrique (également un tenseur de rang 2) qui sont les inconnues qu'on cherche à déterminer.
Einstein n'a pas "supprimé 6 équations", c'est la symétrie des tenseurs qui interviennent dans l'équation (le tenseur métrique, le tenseur de Ricci et le tenseur énergie-impulsion). Ce sont des considérations de conservation locale de l'énergie (se traduisant par le fait que le tenseur énergie-impulsion est de divergence nulle) qui ont conduit Einstein a construire son tenseur G=R-(1/2)Rg, où R est le tenseur de Ricci, R sa trace, et g le tenseur métrique.

C'est seulement dans les cas les plus simples, présentant des symétries permettant de réduire le nombre d'inconnues, qu'on peut trouver des solutions analytiques (et faire les calculs "à la main"). Par exemple celles de Schwarzschild (dans le vide autour d'une masse centrale) ou de Friedmann-Lemaître (dans un espace-temps spatialement homogène et isotrope, donc présentant également une symétrie sphérique quel que soit l'origine du système de coordonnée choisi).

Dans le système solaire, où toutes les masses peuvent être négligées par rapport à celle du Soleil, on peut utiliser la solution de Schwarzschild, par exemple pour traiter le problème du périhélie de Mercure. Mais en fait Einstein avait traité ce problème par approximation, avant d'avoir pris connaissance de la solution de Schwarzschild - historiquement la première solution exacte de l'équation d'Einstein.

[Daniel1958]

Merci
C'est vraiment gentil de me répondre. C'est clair simple (point de vue démonstration uniquement). Cela répond parfaitement à ma question. Je suis épaté par la lisibilité de ta réponse.

Concernant le périhélie de Mercure, pourquoi Einstein n'a-t-il pas fait valoir sa solution (à part bien sur les calculs) qui serait devenue sa métrique ?
Y-a-ti-il des personnes connues qui se sont attaquées à la Solution Générale (bon il y a déjà Gödel, je pense aussi à de Sitter (mais un espace sans matière donne une solution générale assez facile) pour la résolution de problème ?

[yves95210]

Concernant le périhélie de Mercure, pourquoi Einstein n'a-t-il pas fait valoir sa solution (à part bien sur les calculs) qui serait devenue sa métrique ?

Il l'a publiée, et ça a constitué le premier test expérimental de la RG. Mais comme dit ci-dessus, il n'avait su traiter le problème qu'en le simplifiant à l'aide d'une approximation au premier ordre, et n'avait donc pas trouvé une solution exacte permettant d'exprimer les composantes de la métrique en fonction des coordonnées choisies (pour arriver à cette solution il fallait choisir le "bon" système de coordonnées, ce que Schwarzschild a fait de son côté peu de temps après).

Y-a-ti-il des personnes connues qui se sont attaquées à la Solution Générale (bon il y a déjà Gödel, je pense aussi à de Sitter (mais un espace sans matière donne une solution générale assez facile) pour la résolution de problème ?

Il n'y a pas une "solution générale", mais des solutions dépendant du modèle d'espace-temps choisi, et dont le domaine de validité est restreint à la région de l'espace dans lequel ce modèle est supposé représenter correctement la réalité physique.

Par exemple le domaine de validité de la métrique de Schwarzschild est limité à la région de l'espace entourant un astre, dans laquelle l'influence gravitationnelle de toutes les autres masses est assez faible par rapport celle de l'astre central pour pouvoir être négligée. Et encore, elle ne s'applique qu'autour d'un astre statique, sans rotation (ou à la rotation assez lente pour que son effet puisse être négligé); autour des astres en rotation rapide ou des trous noirs, la géométrie de l'espace-temps est décrite par la métrique de Kerr, déjà plus compliquée.
A l'opposé, la solution de Friedmann-Lemaître (dont l'espace-temps de de Sitter est un cas particulier) ne s'applique qu'à une échelle assez grande (plusieurs centaines de millions d'années-lumière) pour pouvoir considérer que la densité de matière est homogène et isotrope.
Etc...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gilgamesh]

Je déplace la discussion dans la partie "Question de base et pédagogie" du forum, plus adaptée.

[Deedee81]

Salut,

Rappelons que les solutions exactes et analytiques (à la main) de l'équation d'Einstein sont rares. Elles se comptent sur les doigts de la main (allez, incluons les doigts de pieds). La raison est que ce sont des équations différentielles fortement non linéaires. Ce genre d'équations sont toujours difficiles à résoudre. Et il ne faut pas que les 10 équations précitées. Il faut aussi ajouter l'équation des géodésiques (4 équations en composantes) et une équation d'état pour la matière (donnant le tenseur énergie-impulsion qui est à droite des équations d'Einstein) souvent aussi très non linéaires et même très complexes (on est souvent loin des gaz parfaits, la fonction d'état d'une naine blanche est compliquée et celle d'une étoile à neutrons une horreur pleines d'incertitudes car ça fait intervenir la encore plus difficile interaction forte).

Au-delà faut du numérique et des super-ordinateurs. Et même là ça peut être ardu malgré les progrès théoriques/informatiques et l'augmentation de puissance des bécanes.

Donc, la solution générale..... faut pas rêver. C'est d'ailleurs assez général en physique. Autant les équations statiques ou cinématiques admettent-elles souvent des solutions générales, autant les équations de la dynamique sont-elles très difficiles à résoudre. Même s'il est possible souvent d'obtenir des tas d'informations sans résoudre les équations (comme le joli théorème de Penrose-Hawking sur les singularités par exemple)

Notons qu'on a quand même de la chance Les équations d'Einstein sont des équations hyperboliques (au sens des mathématiciens) :
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...s_hyperbolique

Ce sont des équations gentilles. On démontre que si on a N équations et M contraintes (les conditions aux limites) pour N+M grandeurs inconnues (10+10 pour la RG) et si les conditions initiales sont imposées sur une zone particulière (dite surface de Cauchy) alors la solution existe et est unique. On n'a pas toujours cette chance (de mémoire je crois que les équations de Navier-Stokes ne sont pas de ce type, malheureusement).

Et tout ça n'est évidemment qu'un biesse problème de calcul et pas de fondement de la théorie ou autre. Après tout même la bête équation de la gravitation universelle de Newton n'a pas de solution générale pour trois corps.

[Daniel1958]

Comme tu as un niveau d'excellence, je vais pratiquer "l'usus et l'abusus".

Là je n'avais jamais rien vu de tels comme explications aussi approfondies et claires.

1) concernant les equations différentielles aux dérivées partielles. A-t-on plusieurs résultats par équation ????
Exemple si une équation me donne 4 résultats différents (x,y,z,t) dois-je la passer 4 fois à la moulinette de l'Equation Générale de champ
Attention c'est que je ne sais pas. Maintenant on peut me dire qu'en fonction de se l'on recherche il n'y a qu'un résultat ?

2) j'ai lu que les équations supports d'Einstein présentaient des problèmes de covariance. Mais pourquoi n'a -t-il pas essayé de calculer le périhélie de Mercure avec son équation générale de champ (en faisant des simplifications) ???

3) N'a-t-on aucun doute sur la validité les 10 équations supports ?

[Deedee81]

1) concernant les equations différentielles aux dérivées partielles. A-t-on plusieurs résultats par équation ????
Exemple si une équation me donne 4 résultats différents (x,y,z,t) dois-je la passer 4 fois à la moulinette de l'Equation Générale de champ
Attention c'est que je ne sais pas. Maintenant on peut me dire qu'en fonction de se l'on recherche il n'y a qu'un résultat ?

Ce n'est pas clair. On dirait que tu confonds les solutions et les variables. Bon, on va faire plus simple pour expliquer. Disons que les grandeurs que l'on recherche sont des fonctions des variables x,y,z,t : F(x,y,z,t).
(le fait d'avoir 10 équations pour 10 composantes complique les choses mais c'est comme avoir 10 fonctions différentes à trouver, c'est tout).
Et une équation différentielle du premier ordre. Dans ce cas on va avoir une équation du type "variation de F dans l'espace" = une constante * "variation de F dans le temps" (par exemple, ça peut être plus compliqué).
La solution générale d'une telle équation peut-être cherchée.... quand c'est possible.... et on va avoir un ensemble infini de solutions F.
Mais pour un problème particulier on v a dire "sur telle surface définie par x,y,z et à l'intant t0 la fonction F vaut çà". Ce sont des conditions initiales
(ça peut être plus compliqué avec des conditions aux limites)

Normalement la résolution de l'équation différentielle pour les conditions initiales va donner une seule solution F. C'est le cas des équations d'Einstein et de bien d'autres.

Et que se passe-t-il si les conditions initiales étant fixées on trouve... deux solutions F1 et F2 ? Là clairement il y a un soucis, qui peut même avoir un caractère fondamental (quelque chose de mal compris dans les bases de la théorie). Dans ce cas, faute d'autre chose, on va choiri F1 ou F2 à l'aide d'autres règles physiques ou en ajoutant une condition supplémentaire (par exemple F1 peut diverger à l'infini et être considérée comme non physique). Dans certains cas c'est pire : il n'y a pas de solution et là on est dans la m....

Sais-tu qu'on n'est même pas sûr que les équations de Navier-Stokes se comportent bien (de ce point de vue) ? Numériquement ça marche bien (forcément l'ordi lui fait des itérations et treouve une solution). Pour le vérifier c'est ardu et il y a un prix d'un million de dollars à la clef (c'est un des problèmes du Millenium, en fait plus centré sur les singularités/divergences mais ça aussi peut être un soucis).

2) j'ai lu que les équations supports d'Einstein présentaient des problèmes de covariance. Mais pourquoi n'a -t-il pas essayé de calculer le périhélie de Mercure avec son équation générale de champ (en faisant des simplifications) ???

Je n'en sais fichtre rien. On a de la chance nous quand on potasse la théorie : on bénéficie des travaux de ceux qui nous ont précédé et parfois on trouve ça "faussement évident". Là c'était les débuts, l'utilisation du calcul tensoriel encore balbutiant en physique,.... C'est peut-être juste bêtement ça.

3) N'a-t-on aucun doute sur la validité les 10 équations supports ?

Bien sûr que si. Toute théorie a un domaine de validité qui reste parfois à préciser. Et toute théorie est un jour dépasée par une meilleure théorie.

Même si on prend les postulats de base de la relativité, on n'est pas sûr. Car si construire les équations d'Einstein, c'est du béton, il n'en reste pas moins que l'on fait d'autres hypothèses en cours de route. Ces équations sont juste les plus simples. Il existe d'autre variantes comme la théorie de Brans et Dicke et bien d'autres. On a élaboré une méthode appelé "formulation post-newtonienne" qui permet d'obtenir une série de paramètres qu'on peut comparer entre des théories très différentes.
https://en.wikipedia.org/wiki/Parame...nian_formalism

Cela a permit de tester finement ces théories et la RG s'en sort toujours et les autres seulement pour des valeurs de paramètres (quant il y en a) qui les rendent.... identique à la RG !!!!

Cela ne prouve pas la validité de cette formulation d'Einstein. Juste qu'elle est solide mais qu'il existe peut-être mieux .... à découvrir un jour.

[0577]

Bonjour,

Notons qu'on a quand même de la chance Les équations d'Einstein sont des équations hyperboliques (au sens des mathématiciens) :
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...s_hyperbolique

Ce sont des équations gentilles. On démontre que si on a N équations et M contraintes (les conditions aux limites) pour N+M grandeurs inconnues (10+10 pour la RG) et si les conditions initiales sont imposées sur une zone particulière (dite surface de Cauchy) alors la solution existe et est unique. On n'a pas toujours cette chance (de mémoire je crois que les équations de Navier-Stokes ne sont pas de ce type, malheureusement).

Pour les équations d'Einstein, étant donnée une condition initiale au "temps t=0", on ne peut en général que garantir l'existence et unicité de la solution "en temps petit", c'est-à-dire pour des "temps" pour un T>0. En général, on peut avoir des singularités qui empêche d'avoir une solution en "temps long", c'est-à-dire pour tout , par exemple un trou noir avec des géodésiques atteignant la singularité en temps propre fini.

Les équations de Navier-Stokes (en dimension d'espace 3) ne sont pas hyperboliques mais on sait aussi qu'on a existence et unicité de la solution en "temps petit". Ce qui n'est pas connu est si on a toujours existence "en temps long", c'est-à-dire si des singularités peuvent ou non apparaître en temps fini (comme les trous noirs pour les équations d'Einstein).

[Deedee81]

Merci pour ces précisions. Effectivement j'oubliais ces foutues singularités.

[Daniel1958]

Bon je n'essaye pas de comprendre le complément de 0577 qui parle de singularités temporelles. C'est vraiment trop haut. Je sais que c'est la cerise sur la gateau pour les spécialistes. J'en comprends le sens mais ça complique d'autant plus toutes les conditions qui rentrent dans les phénomènes.

Pour résumer il faut à chaque fois définir un ensemble de conditions initiales (pour notre calcul) dont on obtiendra 10 ou moins de solutions numériques à entrer pour le calcul tensoriel de l'équation de champs.
Si on veut tout faire c'est un ensemble infini ?

Tu parles aussi de fonctions à trouver. Mais pourquoi pas n'existe- t-il pas une table d'équivalence du genre pour les 10 équations > fonction A ou fonction B ou fonction C. Après calcul de celles-ci on rentre les données numériques dans les tenseurs.

C'est naïf mais en physique il y a l'art de simplifier en eliminant les constantes fixes pour prouver plus facilement les relations.

[ordage]

Bonjour

Sur les 10 équations, il n'y en a que 6, au maximum, qui sont nécessaires du fait de l'invariance par difféomorphisme de la théorie.

Cordialement

[Daniel1958]

Merci

Mais cela reste un sommet des maths pour la physique. Pour simplifier c'est donc la théorie qui sur le plan topologique et bijectif montre que quatre équations sont obligatoirement liées avec l'une ou les 6 autres donc non necessaires. Est-ce ça ?

[ordage]

Merci

Mais cela reste un sommet des maths pour la physique. Pour simplifier c'est donc la théorie qui sur le plan topologique et bijectif montre que quatre équations sont obligatoirement liées avec l'une ou les 6 autres donc non necessaires. Est-ce ça ?

Bonjour
Non, les 4 équations non nécessaires sont libres, tu peux t'en servir pour fixer une jauge (un contrainte) par exemple. C'est différent du cas des symétries, comme en cosmologie, où il y a 2 équations "indépendantes" pour déterminer la solution, sachant qu'une est celle de la composante "temps" et que celles des 3 composantes de l'espace sont identiques, compte tenu de la symétrie maximale de l'espace.

Cordialement

[Daniel1958]

Bonjour

Un grand merci pour ces précisions. C'est toujours agréable de retrouver le bon chemin.

[pachacamac]

On peut rajouter aussi que pour les équations aux dérivées partielles, il existe des labos de mathématiques qui se consacrent uniquement à l’étude d'une seule de ces équations. (source Cédric Villani)

[Daniel1958]

Bonsoir

il parait que c'est un sommet des mathématiques. Redouté par tous. je lisais qu'une personne qui travaillait sur les maths des particules (maths mécanique quantique avec groupe de Lie) trouvait la résolution des 10 équations de la RG comment étant le top niveaux des maths (physiques).

Dérivées partielles (x,y,z,t) et dérivées secondes. Si je ne dis pas de bêtises. J'ai lu que c'était du domaine des ordinateurs tant la difficulté et les calculs étaient complexes.

Cordialement

[Archi3]

Daniel, pour revenir aux bases, je ne sais pas si tu as bien réalisé que les équations différentielles sont fondamentalement différentes des équations algébriques dans la mesure où les solutions cherchées sont des fonctions et pas des nombres. C'est évident pour tous ceux qui te répondent mais comme tu as l'habitude de poser des questions très au-dessus de tes compétences en mathématiques (ce qui rend très difficile de te répondre à un niveau approprié même si ça rend facile d'illustrer l'abime qui sépare tes connaissances de celles de ceux qui te répondent), je ne suis pas sûr que tu aies bien compris la différence.

Une équation différentielle est très différente d'une équation du genre ax^2 +bx+c = 0 où tu cherches juste "la" valeur de x.

Les fonctions forment un espace de dimension infinie, contrairement aux nombres qui sont un espace de dimension "zéro" (éventuellement des équations à plusieurs inconnues peuvent être sous déterminées et il peut y avoir une infinité de nombres solutions, par exemple si tu écris un systèmes de 3 équation à deux inconnues, mais ces solutions sont des espaces de dimension finie, par exemple se placent sur une droite ou sur un plan, ce qui est bien plus simple à décrire que des espaces de dimension infinie où tu n'auras jamais une description simple de "toutes les solutions possibles")

C'est déjà vrai en physique de Newton où le principe de la dynamique donne des équations différentielles donc une infinité de solutions qu'on ne connait pas toutes ! en revanche ça reste des équations différentielles assez simples car les inconnues sont certes des fonctions, mais des fonctions d'une seule variable x(t), y(t), z(t) : le calcul nécessite déjà souvent des ordinateurs mais quand même c'est assez simple de trouver des solutions approximatives mais assez précises.

C'est beaucoup plus compliqué quand on a affaire à des fonctions de plusieurs variables, c'est à dire des "champs" A(x,y,z,t) ou l'espace des solutions est encore bien plus "grand" et les méthodes numériques bien plus complexes. La relativité générale appartient à cette catégorie mais c'est déjà le cas dès que tu décris des fluides comme en hydrodynamique, où tu ne cherches pas la solution du mouvement d'une particule mais d'un "champ" continu qui doit être décrit partout et tout le temps. De façon générale les solutions sont complexes à calculer (même en hydrodynamique, d'où la comparaison avec Navier -Stokes), et pour la RG c'est particulièrement "velu".

[ordage]

Bonsoir

1- il parait que c'est un sommet des mathématiques.

2-Redouté par tous. je lisais qu'une personne qui travaillait sur les maths des particules (maths mécanique quantique avec groupe de Lie) trouvait la résolution des 10 équations de la RG comment étant le top niveaux des maths (physiques).
Cordialement

Bonjour
1- Faut pas exagérer il y a des choses beaucoup plus complexes en mathématiques. Simplement certaines équations, ou systèmes d'équations, n'ont pas de solution "analytique". On peut alors utiliser d'autres méthodes (numériques par exemple).
2- Dans les 10 équations de l'équation d'Einstein, il n'y en a "au maximum" que 6 de linéairement indépendantes car la métrique est représentée par un tenseur à 2 indices, symétrique. Il peut y en avoir moins s'il y a des symétries, par exemple en cosmologie en métrique de RW il n'y a que 2 équations indépendantes.
La difficulté est que c'est, dans le cas général, un système de 6 équations différentielles partielles couplées, du 2ième ordre, non linéaires et que cela a rarement une solution analytique.
Pour autant cela ne veut pas dire quelles n'ont pas de solutions (elles en ont une), qu'on essaie d'approcher par des méthodes numériques , par simulation, et autres.
Il y a eu aussi des travaux mathématiques sur le sujet pour améliorer les choses, comme la méthode proposée par Newmann et Penrose qui subsituent un jeu de 30 équations au dérivées partielles, mais du 1er ordre et "presque" linéaires. Le "presque peut faire sourire, mais pour des calculs numériques c'est plus fiable. Il y en a sans doute, d'autres. Un travail intéressant pour les mathématiciens...
cordialement

[JPL]

Fermé à la demande de Daniel1958.