Bonjour, je me posais cette question: Si nous observons depuis la Terre une planète en orbite très rapprochée autour d'un trou noir supermassif (au plus près du trou noir sans que la planète ne soit engloutie ou détruit par les forces de marée), verrait on la planète en question avoir une période de révolution autour du trou noir plus lente que ce qu'elle devrait à cause du phénomène de ralentissement des horloges indiqué par la relativité générale ?
Merci!
Je cite/traduits cette page : Orbiting the Black Hole
De façon assez remarquable, la période orbitale d'un objet en orbite circulaire autour d'un trou noir de Schwarzschild (sphérique) est exactement égale à la période orbitale donnée par la troisième loi de Kepler, à condition que le rayon et la période soient définis de manière appropriée. La période orbitale T d'un objet en orbite circulaire de rayon R d'un trou noir de masse M, telle que mesurée par un observateur extérieur (à l'infini), est donnée précisément par la troisième loi de Kepler,
T2/R3 = GM/4π²
Pour être précis, le rayon R ici est le rayon « circonférentiel », celui défini tel que 2πR est la circonférence propre d'une sphère de rayon R, tel qu'utilisé dans la métrique de Schwarzschild. La période orbitale propre, c'est-à-dire la période orbitale du point de vue de la personne qui effectue réellement l'orbite, est plus courte, d'un facteur de √(1−(3Rs/2R)) où Rs est le rayon de Schwarzschild
Par rapport à un observateur au repos à 2 rayons de Schwarzschild (c'est-à-dire au repos par rapport aux étoiles lointaines), notre vitesse est √(1/2) c = 0,7c où c est la vitesse de la lumière. Par rapport à un observateur tombant librement radialement vers l'intérieur depuis le repos à l'infini, notre vitesse est 3/4 c.
Dernière modification par Gilgamesh ; 05/11/2022 à 12h22.
Parcours Etranges
Comment la troisième loi de Kepler nous donnerais précisément la période orbitale que l'on observerait par exemple depuis la Terre? la troisième loi
de Kepler ne prend pas en compte la dilatation du temps, elle serait donc censée nous donnés une période orbitale plus courte que celle que l'ont
observerait depuis la Terre, non?
Le "loup" est que le R utilisé est celui donné par la métrique de Schwarzschild.Envoyé par Centaury
Parcours Etranges
Bonsoir,
Tout d'abord, excellente question, merci de l'avoir posée ! c'est pour ce genre de perle qu'on continue à passer presque quotidiennement sur le forum.
Mais pourquoi, pourquoi je ne m'étais jamais posé cette question ??
La réalité, c'est ce qui reste quand on cesse de croire à la matrice logicielle.
Pour le lecteur silencieux qui souhaiterait en savoir un peu plus, la démonstration formelle est relativement courte. La métrique de Schwarzschild est :
(on a pris G=c=1)
avec t une coordonnée temporelle correspondant au temps propre d'observateurs immobiles très éloignés, r le rayon aréal (tel que les sphères de r constant sont de surface
On considère un corps en orbite circulaire dans le plan équatorial défini par
Comme la métrique est diagonale, on a
Comme la métrique est diagonale (encore),
Toujours parce que la métrique est diagonale,
Il nous reste donc :
On a
et
donc :
Le carré de la vitesse angulaire mesurée par un observateur immobile distant vaut M/r3, ce qui correspond bien au résultat newtonnien (si on pose G=1 bien-sûr). r correspondra en bonne approximation à la distance au centre de l'astre massif si ce rayon aréal est très grand devant 2M.
Si on veut connaitre la vitesse angulaire mesurée par un observateur sur la planète en orbite circulaire, il faut s'en remettre à la métrique :
On a dit que
Donc :
La vitesse angulaire mesurée par l'observateur sur la planète doit donc être corrigée d'un facteur
Il serait intéressant de savoir quel est le rayon apparent (taille angulaire multipliée par la distance) de l'orbite pour l'observateur distant, car pour r proche de 2M, ce diamètre sera plus grand que r (l'astre massif central courbant les rayons lumineux). En ce sens, un observateur distant aura l'impression que les astres qu'il juge proche du trou noir (via la mesure du rayon apparent de l'orbite) tournent plus vite qu'ils ne le devraient, ce qui est l'inverse de ce qu'on pourrait attendre intuitivement en pensant à la dilatation du temps !
m@ch3
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Merci à vous tous!
Donc le rayon orbital observé par un observateur lointain serait plus grand que le rayon orbital vu par un observateur sur la planète en orbite
autour du trou noir?
Le rayon orbital apparent (celui qu'on déduirait en multipliant la taille angulaire par la distance entre le trou noir et l'observateur lointain) est un peu plus grand que le r qui intervient dans le calcul de la vitesse ou période orbitale. Le trou noir dévie les rayons lumineux et cela donne un genre d'effet grossissant. Si l'observateur lointain interprète "naïvement" son observation, il déduira que l'orbite est plus grande que s'il l'interprète en prenant en compte la déviation des rayons lumineux.
Concernant le rayon orbital vu par l'observateur sur la planète en orbite autour du trou noir, c'est un concept plus problématique. Proche d'un trou noir, la géométrie n'est plus du tout euclidienne et le périmètre d'un cercle ne vaut pas 2pi fois son rayon. De plus, un rayon, ça signifie une distance entre un point du périmètre et le centre, or dans le cas d'un trou noir le concept même de centre est problématique. On peut parler de distance à l'horizon (plus rigoureusement de distance à un objet arbitrairement proche de l'horizon), mais pas de distance au centre (à la rigueur on peut considérer un astre massif à la limite du trou noir pour régler ce problème, mais attention le périmètre de cet astre ne vaudra pas 2pi fois son rayon de toutes façons). Donc l'observateur sur cette planète en est réduit à devoir mesurer le périmètre de son orbite et il trouvera des valeurs différentes suivant la façon dont il s'y prend. En effet, il y a différentes façons de mesurer une distance mais celles-ci ne donnent le même résultat que si la courbure de l'espace-temps est négligeable et si on a une vitesse faible par rapport à ce qu'on veut mesurer (du coup dans la vie quotidienne on ne se rend pas compte que ces différentes mesures correspondent à des choses différentes). Néanmoins s'il n'analyse pas ses résultats naïvement, c'est à dire en prenant en compte qu'il est proche d'un trou noir, il pourra déterminer r (qui n'est pas le rayon de son orbite, attention, mais le rayon qu'aurait l'orbite s'il était dans un espace-temps plat).
m@ch3
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Merci mach3
Comme pour la chute libre à l'intérieur d'un trou noir indiqué sur le lien donné par Gilgamesh, j'imagine que si un observateur lointain pouvait observer une horloge sur la planète en orbite autour du trou noir il la verrait fonctionner au ralenti?
Dernière modification par Centaury ; 11/11/2022 à 15h46.
Salut,
Là oui car on a non seulement le ralentissement gravitationnel mais aussi le ralentissement dû à sa vitesse orbitale.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
En fait il y a plusieurs facteurs, dont le rayon orbital.
Pour un astre "normal" quand tu vois passer un objet en orbite aligné avec l'astre il aura un ralentissement (redshift) lié à sa vitesse qui vaudra pile le facteur de Lorentz. Quand l'objet s'éloigne par la droite (au pif) il sera aussi redshifté, d'un facteur qu'on pourrait calculer mais c'est pas le sujet... et quand il revient par la gauche il va être vu en accéléré (blueshifté).
Pour un trou noir il y a le redshift gravitationnel qui vient se multiplier au premier (Doppler). Si l'objet en orbite est très proche du trou noir il y a toutes les chances pour qu'il soit vu constamment redshifté. Mais s'il il n'est pas trop proche il y aura peut être un moment ou le redshift gravitationnel sera annulé par le blueshift de rotation dans sa phase d'approche. Il sera alors vu sans shift, normalement, peut être même avec un blueshift. Tout ça se calcule, mais dès que tu sors du cas radial c'est pas un cadeau...
Dans les faits, comme tout ce qui se trouve derrière un trou noir sera vu, alors en disparaissant par la droite il réapparaît instantanément par la gauche. Parler de vitesse apparente autrement qu'en faisant une moyenne entre le rayon orbital vu et la période d'une révolution est illusoire...
A+
Trollus vulgaris
Merci !
Intéressant, je savais pas qu'un objet ayant une vitesse élevée et avançant vers l'observateur serait observé avec un blueshift et que son temps semblerait se dérouler plus rapidement. Je croyais que si un objet se déplaçait à une vitesse élevée, peu importe qu'il se dirige vers l'observateur ou non, l'écoulement du temps que l'on pourrait observer sur ce dernier (grâce à une horloge sur l'objet par exemple) serait automatiquement ralentie.Pour un astre "normal" quand tu vois passer un objet en orbite aligné avec l'astre il aura un ralentissement (redshift) lié à sa vitesse qui vaudra pile le facteur de Lorentz. Quand l'objet s'éloigne par la droite (au pif) il sera aussi redshifté, d'un facteur qu'on pourrait calculer mais c'est pas le sujet... et quand il revient par la gauche il va être vu en accéléré (blueshifté).
Comment peut-il être observé en accéléré alors qu'il se déplace à une vitesse élevée et donc que son temps apparent est ralentie?
Dernière modification par Centaury ; 15/11/2022 à 23h22.
C'est l'effet Doppler. Déjà en physique classique (donc indépendamment des effets relativistes) un objet qui s'approche est vu en accéléré et un objet qui s'éloigne est vu au ralenti. Cela est dû à la vitesse finie de la lumière.
Imaginons un objet à une année-lumière, sa lumière met un an à nous parvenir. Supposons qu'il s'approche de nous à 1/12e de la vitesse de la lumière, alors si on regarde un an plus tard, sa lumière met 11 mois à nous parvenir vu qu'il se trouve maintenant à 11 mois lumière. Si on l'avait regardé en continu sur un an, on aurait vu ce qui se déroule sur cet objet durant 1 an et un mois (au début de l'observation ce qu'on voit à un an de retarde et à la fin ce qu'on voit à 11 mois de retard). 1 an et 1 mois vus en seulement 1 an. Même raisonnement s'il s'éloigne.
En physique classique, si on corrige les observations du temps de parcours de la lumière, on retrouve bien un temps "normal", compatible avec le temps absolu.
En relativité, l'effet Doppler est modifié et si on corrige du temps de parcours de la lumière il reste un décalage, l'objet en mouvement apparait comme ralenti une fois les corrections faites.
m@ch3
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