Absoluité de la vitesse de la lumière et trou noir

[Hapei]

Bonjour, ma question est sans doute bête (je passe probablement à coté d'un truc de base), mais j'ai quand même besoin d'avoir une réponse.

Si on s'en fie aux postulats de la relativité restreinte, la vitesse de la lumière est la même quelque soit le référentiel inertiel dans laquelle elle est observée et indépendamment de la vitesse relative de sa source lumineuse par rapport au référentiel d'observation.

Pourquoi alors un observateur extérieur (dont le référentiel rattaché est supposé galiléen) verrait son ami qui "tombe" dans un trou noir se rapprocher de plus en plus lentement du rayon de Schwarzschild, sans pour autant ne jamais le franchir (et ce même s'il pouvait l'observer pour un temps propre aussi grand qu'il le voulait). Autrement dit, pourquoi les rayons lumineux sont (manifestement, mais peut-être me trompe-je) ralentis du point de vue de l'observateur, cela ne contredit-il pas les postulats de la relativité restreinte ?

Dans la même idée, on peut généraliser ma question à "pourquoi les trous noirs existent" ? (même expérience de pensée mais cette fois-ci mon ami et dans le trou noir).

Mon idée c'est que ça bloque parce que j'essaye de faire de la relativité générale avec des outils de relativité restreinte, mais j'aimerais bcp en savoir plus !

Merci.
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[Gilgamesh]

Bonjour, ma question est sans doute bête (je passe probablement à coté d'un truc de base), mais j'ai quand même besoin d'avoir une réponse.

Si on s'en fie aux postulats de la relativité restreinte, la vitesse de la lumière est la même quelque soit le référentiel inertiel dans laquelle elle est observée et indépendamment de la vitesse relative de sa source lumineuse par rapport au référentiel d'observation.

Pourquoi alors un observateur extérieur (dont le référentiel rattaché est supposé galiléen) verrait son ami qui "tombe" dans un trou noir se rapprocher de plus en plus lentement du rayon de Schwarzschild, sans pour autant ne jamais le franchir (et ce même s'il pouvait l'observer pour un temps propre aussi grand qu'il le voulait). Autrement dit, pourquoi les rayons lumineux sont (manifestement, mais peut-être me trompe-je) ralentis du point de vue de l'observateur, cela ne contredit-il pas les postulats de la relativité restreinte ?

Dans la même idée, on peut généraliser ma question à "pourquoi les trous noirs existent" ? (même expérience de pensée mais cette fois-ci mon ami et dans le trou noir).

Mon idée c'est que ça bloque parce que j'essaye de faire de la relativité générale avec des outils de relativité restreinte, mais j'aimerais bcp en savoir plus !

Merci.

Le fait que le corps en chute libre semble se figer sur l'horizon n'est pas dû à un ralentissement des rayons lumineux (ils restent à c comme il se doit), mais au fait que le ratio entre le temps propre du chuteur et celui de l'observateur Δt'/Δt tend vers l'infini. Pour les rayons lumineux ça se traduit par un redshift qui tend vers l'infini.

source du graphique : Schwarzschild Black Holes

[Hapei]

Bonjour,

Merci pour la réponse, effectivement c'était trivial, quoique contre intuitif avec la représentation naïve que l'on se fait d'un trou noir en tant que profane.

Mais du coup, si les rayons lumineux ne sont pas ralentis, ceux émis depuis l'intérieur du rayon de Schwarzschild doivent pouvoir s'échapper, non ? Pourquoi le trou noir apparait noir ?

[Gilgamesh]

Bonjour,

Merci pour la réponse, effectivement c'était trivial, quoique contre intuitif avec la représentation naïve que l'on se fait d'un trou noir en tant que profane.

Mais du coup, si les rayons lumineux ne sont pas ralentis, ceux émis depuis l'intérieur du rayon de Schwarzschild doivent pouvoir s'échapper, non ? Pourquoi le trou noir apparait noir ?

Une image qui aide à la compréhension est celle des poissons dans la chute d'eau. On imagine une rivière au sein de laquelle nagent des poissons à vitesse invariable (analogues des photons). Quand la pente est faible, les poissons peuvent descendre et remonter le courant. On imagine que la pente augmente progressivement et avec elle la vitesse du courant. En un point donné, les poissons n'ont plus assez de vitesse pour remonter le courant. Pour le poisson qui franchit cette limite (analogue de l'horizon des événements), il ne se passe rien de particulier : sa vitesse relative vis-à-vis de l'eau est toujours la même. Mais il est entrainé inexorablement vers la chute d'eau (le "centre" du trou noir).

Ce que raconte cette image, c'est que l'espace-temps est de plus en plus dynamique quand on s'approche d'un trou noir, et on peut se représenter que le trou noir engouffre un flux constant l'espace temps à travers l'horizon.

source de l'image

[A voir en vidéo sur Futura]

[Hapei]

J'essaye de bien comprendre l'analogie, mais j'ai du mal à voir encore une fois comme elle est compatible avec les postulats de la relativité restreinte. C'est à dire que pour un observateur immobile au bord de la rivière, la vitesse d'un poisson par rapport à lui dépendra de l'abscisse à laquelle se situe ce poisson (autrement dit, cela revient à dire que la vitesse des photons mesurée par l'observateur dépend de la vitesse qu'a l'objet qui les émet par rapport à lui).

J'essaye vraiment de comprendre mais j'y arrive pas ... Si la vitesse de la lumière mesurée dans un référentiel inertiel est indépendante de la vitesse de l'objet qui l'émet par rapport à ce référentiel, comment la lumière pourrait se retrouver "piéger" lorsque la courbure de l'espace-temps dépasse un certain seuil ?

[Gilgamesh]

J'essaye de bien comprendre l'analogie, mais j'ai du mal à voir encore une fois comme elle est compatible avec les postulats de la relativité restreinte. C'est à dire que pour un observateur immobile au bord de la rivière, la vitesse d'un poisson par rapport à lui dépendra de l'abscisse à laquelle se situe ce poisson (autrement dit, cela revient à dire que la vitesse des photons mesurée par l'observateur dépend de la vitesse qu'a l'objet qui les émet par rapport à lui).

J'essaye vraiment de comprendre mais j'y arrive pas ... Si la vitesse de la lumière mesurée dans un référentiel inertiel est indépendante de la vitesse de l'objet qui l'émet par rapport à ce référentiel, comment la lumière pourrait se retrouver "piéger" lorsque la courbure de l'espace-temps dépasse un certain seuil ?

Il ne peut pas y avoir d'observateur sur la rive car elle n'existe pas. L'observateur ne peut être qu'en amont ou en aval, dans l'eau (qui représente l'espace-temps). Pour cet observateur, quand il croise un poisson, celui-ci nage toujours à la même vitesse.

[Pio2001]

Un point crucial à comprendre, c'est que la vitesse de la lumière doit être mesurée sur place. La vitesse de la lumière à une certaine distance de moi-même n'est pas définie.

[mach3]

Les analogies ont leurs limites, on ne peut hélas pas les pousser trop loin sans précaution sous peine de conclure des âneries.

Une manière de comprendre passe par la géométrie.
Le plan ou l'espace euclidien sont dotés d'une géométrie (celle qu'on apprend dans les petites classes), avec des longueurs, des angles et théorèmes qui les relient entre eux (sommes des angles d'un triangle, rapport périmètre/diamètre d'un cercle, pythagore, al-kashi...), théorèmes qui dérivent pour la plupart d'un élément central de la géométrie euclidienne : la métrique d'Euclide.
Quand on veut travailler sur des surfaces ou des espaces courbes, la géométrie n'est plus celle d'Euclide mais une géométrie dite Riemannienne : les théorèmes habituels de la géométrie d'Euclide sont violés. Néanmoins si on travaille sur un tout petit morceau de surface ou d'espace courbe, on voit que l'écart avec les théorèmes de la géométrie d'Euclide s’affaiblit et cela d'autant plus que le morceau sur lequel on travaille est petit : sur un morceau arbitrairement petit, la géométrie d'Euclide s'applique en bonne approximation.
Exemple concrêt : la surface de la Terre est une sphère, une surface courbe donc, sur laquelle la géométrie d'Euclide ne s'applique pas, par exemple on peut y tracer des triangles à deux angles droits (un point au pôle nord, les deux autres sur l'équateur), et un cercle de diamètre 20 000km (=l'équateur) possède un périmètre de 40000km... Pourtant une carte IGN (un tout petit morceau de la surface de la Terre) va s'utiliser sans problème avec la géométrie d'Euclide !

En relativité c'est le même principe.
En relativité restreinte, il y a une géométrie de l'espace-temps plat, dite de Minkowski, avec des longueurs et des angles comme chez Euclide, mais plus riche, car il y a en plus des durées et une nouvelle espèce d'angle (nommé rapidité) lié à la vitesse relative entre particules (tout comme l'angle est lié à la pente relative entre deux droites chez Euclide). Et comme chez Euclide, il y a plein de théorèmes qui relient entre eux ces grandeurs et qui dérivent cette fois de la métrique de Minkowski. La constance de la vitesse de la lumière est une propriété de cette géométrie.
Quand on veut faire de la relativité générale, on travaille avec un espace-temps courbe où les théorèmes de la géométrie de Minkowski sont violés : la géométrie est dite "Lorentzienne". Néanmoins si on travaille sur un tout petit morceau d'espace-temps, la géométrie de Minkowski s'applique en bonne approximation.
Physiquement cela se manifeste par le principe d'équivalence : être en mouvement rectiligne uniforme loin de toutes masses ne peut pas être différencié d'une chute libre dans un champ de gravitation si on ne se limite qu'à des mesures locales.
Ainsi, quelque soit la situation, même aux abords de ou dans un trou noir, la vitesse de la lumière est toujours la même localement.

Mais alors, pourquoi l'horizon d'un trou noir est à sens unique ? C'est une question de géométrie. En géométrie de Minkowski, il y a trois sortes de droites, celle de genre temps, qui représentent les mouvements rectilignes uniformes autorisés pour les particules possédant une masse, celle de genre nul, qui représentent les mouvements rectilignes uniformes à la vitesse de la lumière (réservés aux particules de masse nulle) et celles de genre espace, qui ne sont pas des mouvements (ou alors ce serait des mouvements supraluminiques). Il est très facile, en géométrie de Minkowski, d'exhiber des régions en forme de cônes dans lesquels les lignes de genre temps ou genre nul peuvent entrer mais ne ressortent jamais, on les appelle cône de lumière futur. Cependant ces régions n'ont pas forcément grand chose de particulier physiquement ou géométriquement parlant, il y en a une infinité, partout et tout le temps : à tout instant ma propre ligne d'univers entre dans une infinité de cônes futurs dont elles ne sortira plus jamais.
En relativité générale, l'espace-temps est courbé et cette courbure varie de place en place. Physiquement, elle est liée à ce qu'on appelle l'effet de marée : deux particules, initialement immobile l'une par rapport à l'autre, vont spontanément se mettre en mouvement l'une par rapport à l'autre sans pour autant subir la moindre accélération propre (c'est ce que mesure un accéléromètre), c'est à dire qu'elles vont s'approcher ou s'éloigner (suivant les cas) de plus en plus vite tout en se croyant en mouvement rectiligne uniforme (c'est impossible en espace-temps plat). La courbure augmente quand on s'approche d'un corps massif, il y a donc des régions de l'espace-temps avec des courbures plus ou moins fortes. Une particule, le long de sa ligne d'univers, traversera diverses régions, la courbure augmentant, puis diminuant, puis augmentant de nouveau, au fur et à mesure de son histoire, par exemple en s'approchant, s'éloignant puis s'approchant à nouveau d'un astre, car la plupart du temps, la courbure autour d'un astre augmente strictement de façon centripète jusqu'à atteindre sa surface.
La particularité avec un trou noir, c'est qu'il s'agit d'une région de l'espace-temps où la courbure augmente strictement vers le futur (jusqu'à la singularité où la courbure tend vers l'infini). A l'extérieur du trou noir, on peut choisir de s'approcher ou de s'éloigner pour augmenter ou diminuer la courbure : il y a une partie du cône de lumière future où la courbure croit, l'autre où elle décroit et on peut choisir entre les deux en choisissant notre mouvement. A l'intérieur on ne peut pas car la courbure croit dans tout le cône futur : toutes les lignes d'univers possible ne peuvent se poursuivre que vers une région de courbure plus forte et elles finissent toutes à la singularité. Peu importe le mouvement qu'on choisira, comme une ligne de genre temps ou de genre nul ne peut pas sortir d'un cône futur, il est impossible de sortir de ce cône dans lequel la courbure augmente strictement vers le futur.

m@ch3