ère du rayonnement/ère de la matière et évolution du facteur d'échelle

[pachacamac]

Bonjour,

D'après mes lectures, le facteur d'échelle a évolue en t^1/2 pendant l' ère du rayonnement et en t ^2/3 pendant l'ère de la matière.
Y a t'il moyen d'expliquer simplement d'où viennent ces résultats ou cela nécessite t'il l'utilisation de mathématiques et concepts avancées ?

Merci
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[yves95210]

Bonjour,

Cela vient de la décroissance de la densité d'énergie causée par l'expansion.

La densité d'énergie du rayonnement est inversement proportionnelle à a⁴ et la densité d'énergie de la matière (sa masse volumique) est inversement proportionnelle à a³, où a(t) est le facteur d'échelle de l'univers dans le modèle de Friedmann-Lemaître, solution de l'équation d'Einstein pour un univers spatialement homogène et isotrope. L'expansion a pour effet de faire croître a(t) et avec lui, les distances entre les grandes structures de l'univers.
Un volume d'espace (contenant une quantité de matière de masse M constante) augmente proportionnellement à a³, donc la densité d'énergie de la matière diminue comme 1/a³ = a^-3
Pour le rayonnement, il faut tenir compte non seulement de l'augmentation du volume, mais aussi du fait que la longueur d'onde des photons augmente proportionnellement à a(t), et donc leur énergie diminue comme 1/a = a^-1. Au total la densité d'énergie du rayonnement diminue donc comme a^-3. a^-1 = a^-4, plus rapidement que la densité d'énergie de la matière.
Donc même si initialement c'est la densité d'énergie du rayonnement qui domine, la densité d'énergie de la matière prend ensuite le dessus.

Avec un peu de maths :

L'équation de Friedmann relie le taux d'expansion H(t) aux densités d'énergie et à la courbure spatiale (mais celle-ci est considérée comme nulle dans notre univers d'après les observations du CMB; et pour simplifier je ne tiens pas compte de la constante cosmologique, dont l'effet est négligeable durant les premiers millions d'années de l'univers) :

où et sont les densités d'énergie de la matière et du rayonnement.

En partant de densités initiales et à une date , on peut écrire cette équation


En multipliant les deux membres de l'équation par on obtient


Pendant la période où la densité d'énergie du rayonnement est très supérieure à celle de la matière, l'équation donne approximativement

d'où

A gauche on reconnaît la dérivée par rapport à de , à droite on a une valeur constante, donc l'équation s'intègre simplement en

et finalement


A partir du moment où la densité d'énergie du rayonnement devient très inférieure à celle de la matière, l'équation de Friedmann devient approximativement

d'où

A gauche on reconnaît la dérivée par rapport à de , et l'équation s'intègre en

et finalement


Ouf...

[yves95210]

Un petit ajout concernant les ordres de grandeur :
Aujourd'hui, en utilisant les densités réduites d'énergie , telles que la somme des vaut 1 dans un modèle d'espace-temps de courbure spatiale nulle,




Il faut donc remonter à une époque où le facteur d'échelle était 3000 fois plus petit (z ~ 3000, avant l'émission du CMB à z ~ 1100) pour que la densité d'énergie du rayonnement soit du même ordre que celle de la matière.

[pachacamac]

Merci beaucoup pour votre réponse détaillée.

J'ai presque réussi à suivre le développement mathématique.(bien que je me demande d'où sort le 8 Pi/3 mais c'est pas grave.)

En bonus suite à votre ajout je sais maintenant à quel Z et donc à quel temps se situe l'équivalence rayonnement matière . (comme j'ai pas trouvé de tableau d’équivalence entre Z et t pour les grands redshift je vais situer cette égalité de la densité rayonnement/matière à la louche environ 100 000 ans "après le big-bang"

[A voir en vidéo sur Futura]

[yves95210]

(bien que je me demande d'où sort le 8 Pi/3 mais c'est pas grave.)

de l'équation d'Einstein, via la solution de Friedmann
Mais plus simplement : le volume d'une boule de rayon r est (4 pi/3)r³. Donc multiplié par la densité d'énergie rho, ça donne la quantité d'énergie contenue dans cette boule (sous forme de masse pour la matière).

Et pour faire le lien avec la mécanique classique, on retrouve dans l'équation de Friedmann (complète, avec courbure spatiale éventuellement non nulle) l'énergie totale (constante) d'une particule de masse unité dans un champ gravitationnel de symétrie sphérique, où M est la masse contenue à l'intérieur de la sphère de rayon r (et où, selon le premier théorème de Newton, un corps qui se trouve à l'intérieur d'une couche sphérique de matière de densité uniforme ne ressent aucune force gravitationnelle nette de cette couche) :
E = E_c + E_p = 1/2 (dr/dt)² - GM/r
Il suffit de remplacer r par a et de diviser tous les termes par a²(t) et de les multiplier par 2 pour trouver
2 E/a² = (da/dt)²/a² - 2 GM/a³ = H² - (8 pi/3) G rho(t)
qu'on peut écrire sous la forme usuelle
H² = (8 pi/3) G rho(t) - k c²/a² avec k = -1, 0, 1 suivant que la courbure spatiale est négative, nulle ou positive.

je vais situer cette égalité de la densité rayonnement/matière à la louche environ 100 000 ans "après le big-bang"

C'est à peu près ça.

[Gilgamesh]

La transition ère de rayonnement - ère de matière c'est vers 50 ka après le début de l'expansion.

[yves95210]

La transition ère de rayonnement - ère de matière c'est vers 50 ka après le début de l'expansion.

J'avais vu 70 ka ailleurs, et 80 ka encore ailleurs (je ne trouve plus où)...
Mais ça n'a pas beaucoup d'importance, l'ordre de grandeur est proche et l'essentiel est d'avoir compris le principe.

[pachacamac]

Merci pour vos réponses.

Dans ce document de cosmo_seb* il y a page 23/68 un tableau des paramètres cosmologiques réalisé après WMAP qui indique que le redshift à l'équivalence rayonnement matière est de Zeq = 3259 +/-92

On y retrouve aussi souvent dans des relations faisant intervenir le facteur d'échelle , le coefficient 8Pi/3. Maintenant je sais que c'est lié au volume d'une boule mais pourquoi c'est multiplié par deux ?

cosmo_seb, astrophysicien, fût un des membres de l'équipe pédagogique du fameux FLOT/MOOC "Gravité! du Big- Bang aux trous noirs " réalisé par l'APC et le regretté Pierre Binétruy.

[pachacamac]

rectification : j'annule le "pourquoi c'est multiplié par deux ?" c'est écrit au dessus.

rem :

[physeb2]

Bonjour pachacamac,

il y a une petite erreur dans la premiere equation de Friedman:



où est la densité d'énergie qui domine dans l'Univers.

[pachacamac]

Bonjour physeb2 et les autres,

Je comprend pas ton message. Tu dis qu'il y a une petite erreur dans l'équation de Friedmann et tu écris une formule identique à celle au dessus.
La seule différence que je vois entre les deux c'est que dans la première le H au carré ( le carré du taux d'expansion) est suivi d'un signe proportionnel et dans ta formulation c'est une égalité avec le membre de droite de l'équation)

[mach3]

La différence est la position du carré sur .

Par ailleurs n'est pas le symbole de proportionnalité qui est . c'est le symbole d'une équivalence, d'une identité ou d'une congruence :
https://wumbo.net/symbols/equivalent/

m@ch3

[Deedee81]

Salut,

tu écris une formule identique à celle au dessus.

Non, regarde bien :, adot dans la première, adot au carré dans la deuxième.

EDIT zut grillé par mach3

[pachacamac]

Merci. ça m'avais échappé. je dois pas être doué pour le jeux des 7 erreurs avec des formules mathématiques et merci aussi pour le symbole de l 'équivalence.