Ceci est mon premier post sur ce forum, donc je vous dis bonjour à tous !
Je ne suis pas sûr de bien comprendre la composante accélératrice de l'effet de la gravité.
1 - Cette accélération est-elle une constatation sans explication de son mécanisme ?
2 - Le mécanisme de cette accélération s'explique-t-il par la courbure de la dimension temporelle de l'espace-temps ?
3- Un autre mécanisme ?
dans le cadre newtonnien, c'est un peu ça. Les masses génèrent un champ de gravitation, on n'explique pas comment, et ce champ de gravitation en un point donne l'accélération (par rapport à un référentiel galiléen) d'un corps ne subissant que la gravitation en ce point (corps en chute libre).1 - Cette accélération est-elle une constatation sans explication de son mécanisme ?
L'expression "courbure de la dimension temporelle de l'espace-temps" ne fait pas sens. Néanmoins, dans le cadre de la relativité générale (mais aussi dans le cadre newtonien, moyennant une reformulation, dite de Newton-Cartan), la gravitation s'explique par la courbure intrinsèque de l'espace-temps (pas celle de l'espace seul, parce qu'elle dépend de comment on définit l'espace, et pas celle du temps seul, parce qu'un ligne n'a pas de courbure intrinsèque, mais bien celle de l'espace-temps).2 - Le mécanisme de cette accélération s'explique-t-il par la courbure de la dimension temporelle de l'espace-temps ?
Repost :
Le contenu en énergie et en quantité de mouvement (majoritairement la masse, mais pas que) courbe l'espace-temps, et l'espace-temps dicte les mouvements de chute libre. On va un cran plus loin dans l'explication, mais on n'explique cependant pas comment le contenu génère la courbure.Envoyé par mach3
m@ch3
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Merci mach3 pour cette réponse.
J'ai effectivement oublié de préciser que ma question est posé dans la cadre de la relativité générale que j'essaye de comprendre.
Pour un néophyte, non mathématicien comme moi, la difficulté est d'arrivé à ce représenter l'espace-temps. Je pense comprendre la courbure de l'espace, mais j'ai plus de doute sur ma compréhension de la courbure du temps. Du coup, j'essaye de comprendre les conséquences de la dimension temporelle dans la représentation à 4 dimensions de l'espace-temps. D'où ma formulation apparemment maladroite de "courbure de la dimension temporelle de l'espace-temps".
Je me permet une question complémentaire qui me permettra peut-être de clarifier ce que je cherche à comprendre :
Si la gravité (par exemple d'une planète) ne courbais que l'espace , alors la trajectoire des corps ne serait dévié que de la même manière que les rayons lumineux et sans modification de leur vitesse. (dévié par rapport à un espace plat, s'entend)
Cette affirmation est-elle exacte ?
L'aspect le plus important à comprendre est la déviation des géodésiques.
Il faut d'abord parler des géodésiques :
Dans un espace(-temps) plat, on a des lignes droites et des lignes courbes. Une des différences entre les deux est que si je prend un morceau arbitrairement petit de la ligne et que je la déplace arbitrairement peu le long de la ligne, alors le petit morceau reste superposé à la ligne si elle est droite mais s'écarte si elle est courbe. En terme technique, on calcule une dérivée covariante qui est nulle pour la ligne droite et non nulle pour la ligne courbe.
Dans un espace(-temps) courbe, il n'y a plus de ligne droites, seulement des lignes courbes, cependant, il y a toujours deux sortes de courbes qui se différencient de la même manière que les lignes droites et courbes dans le cas plat : certaines ont une dérivée covariante partout nulle et sont appelées des géodésiques et les autres sont des courbes "quelconques". Notons que les droites d'un espace(-temps) plat sont ses géodésiques. Le concept de géodésique inclut celui de droite.
Dans le cas d'un espace, on peut relier physiquement la dérivée covariante à la notion de changement de direction.
Par exemple si je pilote un véhicule sur une surface courbe, alors quand je ne tourne pas le volant (pas de changement de direction), je me déplace le long d'une géodésique de la surface, et au contraire si je tourne le volant (changement de direction), je ne me déplace pas le long d'une géodésique. Exemple concret : pour suivre un méridien ou l'équateur de la Terre, qui sont des géodésiques de sa surface (si on la considère comme une sphère parfaite), il suffit d'aller tout droit tout en restant à sa surface, alors que pour suivre un parallèle, qui n'est pas une géodésique, il faut tourner continuellement.
Dans le cas d'un espace-temps, un changement de direction peut prendre deux significations. La signification spatiale usuelle, et une signification spatio-temporelle (*) qui correspond à un changement de vitesse, c'est à dire une accélération. En effet, dans le cas plat, on tracera une ligne droite dans l'espace-temps pour indiquer un mouvement à vitesse constante. Une ligne droite formant un angle avec la première va à une vitesse différente (tracer un axe vertical pour le temps, un axe horizontal pour l'espace, puis diverses droites pour constater ensuite à quelles vitesse elles correspondent). Une ligne courbe est un mouvement durant lequel la vitesse change.
On peut donc faire le lien avec ce qui précède :
-pour une ligne droite de l'espace-temps plat, vitesse constante, dérivée covariante nulle
-pour une ligne courbe de l'espace-temps plat, vitesse changeante, dérivée covariante non nulle
La dérivée covariante est égale à une quantité physiquement mesurable localement qui s'appelle accélération propre. C'est ce que mesure un accéléromètre. Dans un espace-temps plat, si je me promène avec un accéléromètre, alors il indiquera zéro si mon mouvement est une ligne droite de l'espace-temps (=un mouvement rectiligne uniforme), et une valeur non nulle si mon mouvement est une courbe de l'espace-temps (=mouvement quelconque, curviligne, accéléré, etc). Notons que cette accélération propre n'est pas forcément égale à l'accélération cinématique (=la variation de la vitesse au cours du temps), on pourra y revenir
Si l'espace-temps est courbe, alors on bascule de la notion de droite à la notion de géodésique. La dérivée covariante continue de donner l'accélération propre. Dans un espace-temps courbe, si je me promène avec un accéléromètre, alors il indiquera zéro si mon mouvement est une géodésique de l'espace-temps (=un mouvement dit "libre" ou de "chute libre"), et une valeur non nulle si mon mouvement n'est pas une géodésique de l'espace-temps (=mouvement non-libre).
Une géodésique de l'espace-temps est donc un mouvement dans l'espace-temps (suite de points de l'espace occupés à des dates successives) sans accélération propre.
Exemples concrets :
-si je flotte à vitesse constante en norme et en direction loin de toutes masses, l'accélération propre est nulle, mon mouvement est une géodésique de l'espace-temps
-si je suis dans un avion zero G en phase de vol parabolique, ou si j'effectue un petit saut sur Terre, l'accélération propre est nulle, mon mouvement est une géodésique de l'espace-temps
-si je suis dans l'ISS en orbite circulaire, l'accélération propre est nulle, mon mouvement est une géodésique de l'espace-temps
-si je suis dans une fusée qui accélère plein gaz loin de toutes masses, l'accélération propre est non nulle, mon mouvement n'est pas une géodésique
-si je suis assis sur une chaise immobile sur Terre, l'accélération propre est non nulle (et vaut 10m/s² vers le haut), mon mouvement n'est pas une géodésique
-si je suis assis dans un avion volant à vitesse constante, l'accélération propre est non nulle (et vaut encore 10m/s² vers le haut), mon mouvement n'est pas une géodésique
Intéressons nous maintenant à la déviation des géodésiques.
Dans le cas d'un espace(-temps) plat, deux droites parallèles (=deux mouvement rectilignes uniformes de même vitesse, sans accélération propre s'il s'agit de l'espace-temps) ne se croisent jamais, elles restent continuellement à la même distance l'une de l'autre.
Dans le cas d'un espace(-temps) courbe, il n'y a plus que du parallélisme local : deux géodésiques localement parallèles (=deux mouvements de chute libre momentanément de même vitesse, s'il s'agit de l'espace-temps) vont forcément se rapprocher ou s'éloigner. Ca se voit bien sur une sphère par exemple : les méridiens sont parallèles au niveau de l'équateur, mais se rapprochent à mesure qu'on va vers le nord, où ils se coupent.
Cette incapacité des géodésiques à rester parallèles est appelée la déviation des géodésiques et elle est directement liée à ce qu'on appelle la courbure intrinsèque (**) qui est quantifiée par un objet un peu velu : le tenseur de Riemann-Christofell. Dans le cas d'une surface (2 dimensions), il se ramène à un simple nombre qui peut être positif, négatif ou nul. On parle alors de surfaces à courbure positive (les géodésiques localement parallèles se rapprochent et se coupent), négative (les géodésiques localement parallèles s'éloignent sans arrêt), ou nulle (les géodésiques sont des droites).
Dans le cas d'une variété avec plus de dimensions, cela devient par contre nettement plus compliqué car on peut très bien avoir rapprochement des géodésiques localement parallèles si elles vont dans une certaine direction (=ressemble à de la courbure positive) et un éloignement dans une autre direction (=ressemble à une courbure négative).
C'est vraiment l'aspect le plus concret et palpable de la courbure de l'espace-temps : si je lâche deux corps simultanément, de sorte qu'ils sont initialement immobiles l'un par rapport à l'autre, et qu'ils sont libres de toute influence autre que gravitationnelle, alors, sauf cas particulier, ils vont se rapprocher ou s'éloigner sans qu'aucun des deux n'ait d'accélération propre.
En effet, s'il n'y a pas de courbure, alors deux tels objets lâchés simultanément de sorte qu'ils soient initialement immobiles l'un par rapport à l'autre libre de toute influence vont demeurer immobiles l'un par rapport à l'autre. Il faut qu'au moins l'un des deux possède un accélération propre (subisse une force qui le pousse, le tire...) pour qu'ils se mettent à se rapprocher ou s'éloigner.
A l'inverse pour demeurer immobiles l'un par rapport à l'autre, l'un des deux objets devra avoir une accélération propre s'il y a une courbure de l'espace-temps.
Pour séparer le temps et l'espace, on doit choisir un système de coordonnées. Quand on fait ce choix, totalement arbitraire, le tenseur de Riemann peut se représenter par un total de 256 composantes, notées Rijkl (i, j, k et l allant de 0 à 3). Choisir un système de coordonnées, c'est choisir des vecteurs de base, numérotés de 0 à 3 (généralement 0 pour le temps et 1,2,3 pour l'espace). Rijkl est un nombre qui indique comment la i-eme coordonnée du j-eme vecteur de base change quand on fait parcourir à ce vecteur le parallélogramme formé par le k-ieme et le l-ieme vecteurs de base. Exemple, R0123, c'est comment varie la coordonnée temporelle du vecteur de base parallèle à l'axe x quand on lui fait parcourir un carré d'arête unité dans le plan yz (***).Du coup, j'essaye de comprendre les conséquences de la dimension temporelle dans la représentation à 4 dimensions de l'espace-temps. D'où ma formulation apparemment maladroite de "courbure de la dimension temporelle de l'espace-temps".
Essayer de séparer une courbure spatiale d'une courbure temporelle ne fait pas sens : tout est entrelacé et dépend du système de coordonnées qu'on a choisi (et donc du découpage entre l'espace et le temps)
Il y a de l'idée, mais c'est à nuancer. En relativité générale, les mouvements libres sont des géodésiques de l'espace-temps. Partant d'un même évènement (même endroit, même date), deux corps en chute libre ayant une vitesse différente en norme mais identique en direction auront une trajectoire différente, car les géodésiques sont différentes. Il n'est pas possible cependant de considérer seulement de la courbure de l'espace en relativité générale, car sauf cas particulier avec des symétries (par exemple ce qu'on appelle espace et dont on s'intéresse à la courbure en cosmologie), celle-ci dépend de ce qu'on définit arbitrairement comme étant l'espace.Je me permet une question complémentaire qui me permettra peut-être de clarifier ce que je cherche à comprendre :
Si la gravité (par exemple d'une planète) ne courbais que l'espace , alors la trajectoire des corps ne serait dévié que de la même manière que les rayons lumineux et sans modification de leur vitesse. (dévié par rapport à un espace plat, s'entend)
Cette affirmation est-elle exacte ?
On peut par contre imaginer une théorie alternative, où on a un espace absolu courbe (qui varie ou non au cours d'un temps absolu) et dans laquelle les mouvements libres se font suivant les géodésiques de cet espace absolu courbe (un peu comme l'exemple du véhicule sur une surface courbe donné plus haut qui serait en mouvement libre si on ne tourne pas le volant). Dans cette théorie, deux corps en chute libre ayant une vitesse différente en norme mais identique en direction auront la même trajectoire dans le cas ou la courbure de l'espace ne varie pas au cours du temps. Cette théorie alternative est immédiatement invalidée par l'observation (****).
m@ch3
* : je ne détaille pas ici la nuance entre lignes de genre temps et lignes de genre espace pour ne pas alourdir, on pourra y revenir
** : il y a une autre courbure, dite extrinsèque, mais elle n'intervient pas ici. Par exemple un cylindre possède une courbure extrinsèque mais sa courbure intrinsèque est nulle : deux géodésiques localement parallèles du cylindre resteront toujours à la même distance l'une de l'autre et restent parallèles, il n'y a pas de déviation géodésique.
*** : en toute rigueur, ce n'est pas le j-eme vecteur de base, mais ce j-eme vecteur divisé par h^2 et on lui fait parcourir un carré d'arête h, en prenant la limite pour h=0
**** : En passant, quand on voit dans la vulgarisation des histoires de toiles de tendues courbées par une masse centrale et sur laquelle circule des corps en orbite, c'est plutôt cette théorie alternative invalide qui est représentée et pas la relativité générale...
Dernière modification par mach3 ; 03/08/2023 à 10h01. Motif: coquilles
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Merci pour cette réponse généreuse, elle répond à ma question initiale et même au-delà.
Et notamment, pourquoi ma question est mal posée avec des aprioris non définis.
Je me rends compte que de dire que "l'effet de la gravitation est une accélération" est faux dans l'espace-temps de la relativité générale.
Comme vous le dites :
etUne géodésique de l'espace-temps est un mouvement dans l'espace-temps sans accélération propre.
Cette interprétation d'une accélération est due au fait de choisir comme référentiel un observateur à la surface terrestre qui n'est immobile que pour lui-même, puisque :dans un espace-temps courbe, si je me promène avec un accéléromètre, alors il indiquera zéro si mon mouvement est une géodésique de l'espace-temps (=un mouvement dit "libre" ou de "chute libre"), et une valeur non nulle si mon mouvement n'est pas une géodésique de l'espace-temps (=mouvement non-libre).
-si je suis assis sur une chaise immobile sur Terre, l'accélération propre est non nulle (et vaut 10m/s² vers le haut), mon mouvement n'est pas une géodésique
Il y a un détail que je ne suis pas sûr de comprendre :
Pourquoi préciser un "petit" saut ?-si je suis dans un avion zero G en phase de vol parabolique, ou si j'effectue un petit saut sur Terre, l'accélération propre est nulle, mon mouvement est une géodésique de l'espace-temps.
Est-ce un saut d'une durée et d'une distance courte parce qu'un saut plus "grand" impliquerais la résistance de l'air et une décélération ?
Est-ce un saut dans le sens poussé vers le haut, puis chute (en langage courant sauter sur place)?
Avec votre réponse à ma deuxième question, je me rends compte que la représentation que je me fais des lignes de la trame de l'espace-temps, même si j'arrive à en saisir la "courbure" (au sens de la relation qui existe entre ces lignes), est celle d'un espace-temps absolu.
Si je veux comprendre l'espace-temps de la relativité générale, je dois approfondir ma connaissance de la relativité restreinte.
Note : Pour comprendre votre réponse, j'ai dû vérifier la définition des mots "intrinsèques", "extrinsèques" et "covariance". Et autant leur définition me permet de comprendre ta réponse, autant leur utilisation dans votre réponse me permet de mieux comprendre leur définition.
À défaut de maîtrise mathématique, la maîtrise du vocabulaire adapté est nécessaire à transmettre ces idées.
Alors attention, tout observateur est "immobile pour lui-même". Mais le point est bien dans la différence entre accélération propre (ce que mesure l'accéléromètre), qui est un invariant, et accélération cinématique (la variation de la vitesse par rapport à un référentiel en fonction du temps de ce référentiel) qui dépend du référentiel. Elles ne sont égales que dans un référentiel de chute libre (et au moment où l'objet dont on étudie l'accélération est momentanément immobile par rapport à ce référentiel, ça ça vient de la relativité restreinte).
Il faut que la vitesse par rapport à l'air reste faible pour pouvoir négliger sa résistance, donc ça implique forcément une durée courte (la vitesse par rapport au sol, et donc à l'air, augmente de 10m/s vers le bas à chaque seconde, donc on arrive très vite à des vitesses où on ne peut plus négliger). Toute force autre que la gravitation ou des forces d'entrainement vont générer de l'accélération propre (sauf si elles se compensent exactement, on joue la-dessus pour les vols zero G). Ca peut être sauter sur place ou sauter d'une hauteur, pas de différence, du moment que la vitesse par rapport à l'air reste faible. L'accélération propre sera quasi-nulle sur la portion où la trajectoire est une parabole quasi-parfaite.
Il y a des expériences marrantes où on enferme des petits objets dans une boite à l'intérieur de laquelle on fixe un smartphone pour filmer. On lance la boite en l'air et quand on regarde la vidéo, on constate que les petits objets flottent en apesanteur dans la boite durant le "vol" (prévoir une bonne réception de la boîte pour ne pas tuer le smartphone au passage...). Voir par exemple : https://www.youtube.com/watch?v=P147rkjC2HY (aller vers 5:00 pour voir directement le résultat).
m@ch3
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Merci pour toutes ces précisions.
