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Casse tête sur Pythagore



  1. #1
    xxxxxxxx

    Casse tête sur Pythagore


    ------

    Bonjour,

    Je vous propose de chercher à définir tous les triplets de nombres entiers (A,B,C) vérifiant le théorème de pythagore : A² + B² = C².

    C'est pas trop dur.

    -----

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  4. #2
    Goran

    Re : Casse tête sur Pythagore

    J'en ai trouvé mais il doit être plus simple avec une formule.
    donc
    3²+4²=5² (9+16=25)
    6²+8²=10² (36+64=100)
    9²+12²=15² (81+144=225)
    12²+16²=20² (144+256=400)

    Etc...
    Si A=multiple de 3
    Et B=multiple de 4
    Alors C=Multiple de 5
    J'espère que je ne suis pas trop loin de la réponse.
    A bientôt.

  5. #3
    xxxxxxxx

    Re : Casse tête sur Pythagore

    C'est une bonne première analyse, mais elle coince par exemple avec le triplet (28,45,53).

    La réponse est l'ensemble des y entiers vérifiant l'égalité :

    B² = (2A+y) y

    Permettent de définir tous les triplet (A,B,C) tels que A² + B² = C²
    avec A, B, C entiers.

    Sauf erreur cela devrait permettre de contruire des triplets comme :

    28,45,53 (déja connu)
    ou
    96,28,100 qui se consruit pour B=28 et y=4.

    Sauf erreur de ma part, on doit couvrir tous les triplets.

    Cordialement,

    S.W.
    Dernière modification par xxxxxxxx ; 22/02/2007 à 15h43. Motif: oubli

  6. #4
    yat

    Re : Casse tête sur Pythagore

    Citation Envoyé par xxxxxxxx Voir le message
    La réponse est l'ensemble des y entiers vérifiant l'égalité :

    B² = (2A+y) y

    Permettent de définir tous les triplet (A,B,C) tels que A² + B² = C²
    avec A, B, C entiers.
    J'ai peur de ne pas bien saisir l'intérêt de cette formule... ça revient au même de dire :
    La réponse est l'ensemble des y entiers vérifiant l'égalité : A²+B² = (A+y)²
    Et donc, avec C=A+y, on se retrouve tout simplement avec l'énoncé initial, et il n'y a toujours pas d'autre solution que de mouliner sur les B et les y exactement de la même manière qu'on mouline sur les A et les B dans l'énoncé brut.

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  8. #5
    martini_bird

    Re : Casse tête sur Pythagore

    Salut,

    le triplet (p2-q2, 2pq, p2+q2) est un triplet pythagoricien.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  9. #6
    _Goel_

    Re : Casse tête sur Pythagore

    le triplet (p²-q², 2pq, p²+q²) est un triplet pythagoricien.
    lol !
    (nota : ca marche uniquement pour p>q !)

    PS : c'est évident une fois énoncé...
    par contre c'est un peu plus compliqué à trouver quand on sait pas !
    Le succès c'est d'être capable d'aller d'échec en échec sans perdre son enthousiasme

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  11. #7
    martini_bird

    Re : Casse tête sur Pythagore

    Salut,

    (nota : ca marche uniquement pour p>q !)
    Ah bon? Pourquoi ?

    par contre c'est un peu plus compliqué à trouver quand on sait pas !
    je n'ai jamais dit le contraire. J'ai mis cette formule (qui est quand même bien connue) surtout parce que xxxxxxxx donne l'impression de se fourvoyer (comme l'a remarqué yat).

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  12. #8
    _Goel_

    Re : Casse tête sur Pythagore

    Ah bon? Pourquoi ?
    ouais..... !!!!
    j'étais vachement réveillé, ce coup là !

    Le succès c'est d'être capable d'aller d'échec en échec sans perdre son enthousiasme

  13. #9
    xxxxxxxx

    Re : Casse tête sur Pythagore

    Citation Envoyé par yat Voir le message
    Citation:
    Posté par xxxxxxxx
    La réponse est l'ensemble des y entiers vérifiant l'égalité :

    B² = (2A+y) y

    Permettent de définir tous les triplet (A,B,C) tels que A² + B² = C²
    avec A, B, C entiers.

    J'ai peur de ne pas bien saisir l'intérêt de cette formule... ça revient au même de dire :
    La réponse est l'ensemble des y entiers vérifiant l'égalité : A²+B² = (A+y)²
    Et donc, avec C=A+y, on se retrouve tout simplement avec l'énoncé initial, et il n'y a toujours pas d'autre solution que de mouliner sur les B et les y exactement de la même manière qu'on mouline sur les A et les B dans l'énoncé brut.
    En effet... quel intérêt? Cette question m'a incité à pousser plus avant mes recherches sur les triplets pytagoriciens et j'ai trouvé un truc sympa mais je n'en ai pas la démonstration mathématique... alors à vos crayons pour m'éclairer si le coeur vous en dit...

    Ce que j'ai trouvé :

    On veut
    A² + B² = C²
    A, B, C entiers
    si on ne retient que les cas où PGCD(A, B, C)=1, c'est à dire qu'on ne retient pas les formules nA² + nB² = nC²


    Pour B impair

    (on peut faire une présentation comparable pour B pair mais elle est légèrement plus compliquée)

    on pose x impair tel que x² < B

    On défini A par B²=(2A+x²)*x²
    (je remplace la valeur de y : y=x²)

    soit A=( (B²/x²) - x²) /2

    les valeurs de x à utiliser pour que A soit entier seront telles que :
    (B - x²)/x soit un entier

    exemple :

    B = 217
    sqr(B) = 14,....
    max(x) = 13 < sqr(B)
    valeurs possibles de
    x x²
    1 1
    3 9
    5 25
    7 49
    9 81
    11 121
    13 169

    on teste les 7 valeurs de x pour (B - x²)/x

    pour (B - x²)/x entier on trouve x=1 et x=7

    on reporte la valeur de x dans A = ( ( 47089/x²) - x²)/2

    A sera nécessairement entier pour x=1 et x=7 (il ne le sera pas pour les autres valeurs de x)

    A = 23544 et A= 456

    on aura immédiatement C = A + x

    autrement dit et pour résumer :

    B impair (on peut faire une présentation très proche pour B pair)
    x impair tel que x²<B
    si (B²-x²)/x entier,
    je sais immédiatement définir A et C en fonction de la variable x

    Cette présentation résulte de tests comparatifs empiriques réalisés avec Qbasic (jusqu'à B = 4450 ) , je n'ai pas la démonstration.

    Il me semble cependant que l'on "mouline" sur un nombre fini et réduit de valeurs de x pour trouver les triplets pythagoriciens premiers. (pour B= 3197 on moulinera sur 57 valeurs de x)
    Dernière modification par xxxxxxxx ; 01/03/2007 à 08h41. Motif: erreur

  14. #10
    xxxxxxxx

    Re : Casse tête sur Pythagore

    Citation Envoyé par xxxxxxxx Voir le message
    autrement dit et pour résumer :

    B impair (on peut faire une présentation très proche pour B pair)
    x impair tel que x²<B
    si (B²-x²)/x entier,
    je sais immédiatement définir A et C en fonction de la variable x
    milles excuses une coquille m'a échappé

    lire si (B-x²)/x entier, et non (B²-x²)/x entier

  15. #11
    xxxxxxxx

    Re : Casse tête sur Pythagore

    Citation Envoyé par xxxxxxxx Voir le message
    on aura immédiatement C = A + x
    décidément...

    lire C = A + x²

  16. #12
    xxxxxxxx

    Re : Casse tête sur Pythagore

    désolé encore une fois, petite modification pour éliminer certains triplets de la forme n A² + n B² = n C²

    Citation Envoyé par xxxxxxxx Voir le message
    ...

    les valeurs de x à utiliser pour que A soit entier seront telles que :
    Y= (B - x²)/x soit un entier
    de plus, Y ne doit pas être un multiple de x,
    ( pour x>1, si Y = x Y' ma condition deviendrait B - x² entier, ce qui ne marche pas car toujours vrai)

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  18. #13
    xxxxxxxx

    Re : Casse tête sur Pythagore

    encore une erreur mais je normalement après il n'y en a plus à l'aide de cette contrainte supplémentaire j'ai fait une démonstration

    la condition devient Y et x premiers entre eux.

    Je demande l'autorisation de poster l'énoncé propre et la démonstration pour demande de vérification dans le forum math parce que ça ne répond pas à la règle du double post.

  19. #14
    martini_bird

    Re : Casse tête sur Pythagore

    Salut,

    voir la suite du sujet ici.
    (Fermeture vue avec l'auteur afin d'éviter de disperser les messages)

    Pour la modération.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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