Casse tête sur Pythagore

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Bonjour,

Je vous propose de chercher à définir tous les triplets de nombres entiers (A,B,C) vérifiant le théorème de pythagore : A² + B² = C².

C'est pas trop dur.
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[Goran]

J'en ai trouvé mais il doit être plus simple avec une formule.
donc
3²+4²=5² (9+16=25)
6²+8²=10² (36+64=100)
9²+12²=15² (81+144=225)
12²+16²=20² (144+256=400)

Etc...
Si A=multiple de 3
Et B=multiple de 4
Alors C=Multiple de 5
J'espère que je ne suis pas trop loin de la réponse.
A bientôt.

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C'est une bonne première analyse, mais elle coince par exemple avec le triplet (28,45,53).

La réponse est l'ensemble des y entiers vérifiant l'égalité :

B² = (2A+y) y

Permettent de définir tous les triplet (A,B,C) tels que A² + B² = C²
avec A, B, C entiers.

Sauf erreur cela devrait permettre de contruire des triplets comme :

28,45,53 (déja connu)
ou
96,28,100 qui se consruit pour B=28 et y=4.

Sauf erreur de ma part, on doit couvrir tous les triplets.

Cordialement,

S.W.

[yat]

La réponse est l'ensemble des y entiers vérifiant l'égalité :

B² = (2A+y) y

Permettent de définir tous les triplet (A,B,C) tels que A² + B² = C²
avec A, B, C entiers.

J'ai peur de ne pas bien saisir l'intérêt de cette formule... ça revient au même de dire :
La réponse est l'ensemble des y entiers vérifiant l'égalité : A²+B² = (A+y)²
Et donc, avec C=A+y, on se retrouve tout simplement avec l'énoncé initial, et il n'y a toujours pas d'autre solution que de mouliner sur les B et les y exactement de la même manière qu'on mouline sur les A et les B dans l'énoncé brut.

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

le triplet (p²-q², 2pq, p²+q²) est un triplet pythagoricien.

Cordialement.

[_Goel_]

le triplet (p²-q², 2pq, p²+q²) est un triplet pythagoricien.

lol !
(nota : ca marche uniquement pour p>q !)

PS : c'est évident une fois énoncé...
par contre c'est un peu plus compliqué à trouver quand on sait pas !

[martini_bird]

Salut,

(nota : ca marche uniquement pour p>q !)

Ah bon? Pourquoi ?

par contre c'est un peu plus compliqué à trouver quand on sait pas !

je n'ai jamais dit le contraire. J'ai mis cette formule (qui est quand même bien connue) surtout parce que xxxxxxxx donne l'impression de se fourvoyer (comme l'a remarqué yat).

Cordialement.

[_Goel_]

Ah bon? Pourquoi ?

ouais..... !!!!
j'étais vachement réveillé, ce coup là !

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Citation:
Posté par xxxxxxxx
La réponse est l'ensemble des y entiers vérifiant l'égalité :

B² = (2A+y) y

Permettent de définir tous les triplet (A,B,C) tels que A² + B² = C²
avec A, B, C entiers.

J'ai peur de ne pas bien saisir l'intérêt de cette formule... ça revient au même de dire :
La réponse est l'ensemble des y entiers vérifiant l'égalité : A²+B² = (A+y)²
Et donc, avec C=A+y, on se retrouve tout simplement avec l'énoncé initial, et il n'y a toujours pas d'autre solution que de mouliner sur les B et les y exactement de la même manière qu'on mouline sur les A et les B dans l'énoncé brut.

En effet... quel intérêt? Cette question m'a incité à pousser plus avant mes recherches sur les triplets pytagoriciens et j'ai trouvé un truc sympa mais je n'en ai pas la démonstration mathématique... alors à vos crayons pour m'éclairer si le coeur vous en dit...

Ce que j'ai trouvé :

On veut
A² + B² = C²
A, B, C entiers
si on ne retient que les cas où PGCD(A, B, C)=1, c'est à dire qu'on ne retient pas les formules nA² + nB² = nC²


Pour B impair

(on peut faire une présentation comparable pour B pair mais elle est légèrement plus compliquée)

on pose x impair tel que x² < B

On défini A par B²=(2A+x²)*x²
(je remplace la valeur de y : y=x²)

soit A=( (B²/x²) - x²) /2

les valeurs de x à utiliser pour que A soit entier seront telles que :
(B - x²)/x soit un entier

exemple :

B = 217
sqr(B) = 14,....
max(x) = 13 < sqr(B)
valeurs possibles de
x x²
1 1
3 9
5 25
7 49
9 81
11 121
13 169

on teste les 7 valeurs de x pour (B - x²)/x

pour (B - x²)/x entier on trouve x=1 et x=7

on reporte la valeur de x dans A = ( ( 47089/x²) - x²)/2

A sera nécessairement entier pour x=1 et x=7 (il ne le sera pas pour les autres valeurs de x)

A = 23544 et A= 456

on aura immédiatement C = A + x

autrement dit et pour résumer :

B impair (on peut faire une présentation très proche pour B pair)
x impair tel que x²<B
si (B²-x²)/x entier,
je sais immédiatement définir A et C en fonction de la variable x

Cette présentation résulte de tests comparatifs empiriques réalisés avec Qbasic (jusqu'à B = 4450 ) , je n'ai pas la démonstration.

Il me semble cependant que l'on "mouline" sur un nombre fini et réduit de valeurs de x pour trouver les triplets pythagoriciens premiers. (pour B= 3197 on moulinera sur 57 valeurs de x)

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autrement dit et pour résumer :

B impair (on peut faire une présentation très proche pour B pair)
x impair tel que x²<B
si (B²-x²)/x entier,
je sais immédiatement définir A et C en fonction de la variable x

milles excuses une coquille m'a échappé

lire si (B-x²)/x entier, et non (B²-x²)/x entier

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on aura immédiatement C = A + x

décidément...

lire C = A + x²

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désolé encore une fois, petite modification pour éliminer certains triplets de la forme n A² + n B² = n C²

...

les valeurs de x à utiliser pour que A soit entier seront telles que :
Y= (B - x²)/x soit un entier

de plus, Y ne doit pas être un multiple de x,
( pour x>1, si Y = x Y' ma condition deviendrait B - x² entier, ce qui ne marche pas car toujours vrai)

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encore une erreur mais je normalement après il n'y en a plus à l'aide de cette contrainte supplémentaire j'ai fait une démonstration

la condition devient Y et x premiers entre eux.

Je demande l'autorisation de poster l'énoncé propre et la démonstration pour demande de vérification dans le forum math parce que ça ne répond pas à la règle du double post.

[martini_bird]

Salut,

voir la suite du sujet ici.
(Fermeture vue avec l'auteur afin d'éviter de disperser les messages)

Pour la modération.