Un casse-tête sur les fonctions

[invite4910fcda]

Bonjour, alors que je révassais devant mon pc, en train de lire sur ce site avec un bouquin de fac des années 80 à mes côtés, je tombe sur l'idée de me renseigner sur les équations différentielles. C'est au programme de treminal et ça n'a pas l'aire très compliqué, et pis tout à coup je me suis posé la question: si j'avais l'équation f(ax)=af(x) avec a appartenant à R??
J'ai commencé par les cas f(0)=0 mais ça m'a l'ai trop vaste le cas f(x)=f(x) est une évident et le cas qui m'intéresse car il me permet résolvable est f(2x)=2f(x).
Bon les solutions évidentes sont les fonctions tel que x->2ax avec a appartenant à R (je ne connais pas assez C mais je crois que c'est pareil). Mais je pense que ce ne sont pas les seules fonctions. Je sais uniquement que f(0)=0 car il doit être égal à son double.
D'autre part j'aimerais ( en restant sur f(2x)=2f(x)) savoir si cela peut avoir des répercussions au niveau de la dérivée?? Je demande ça parce-qu'un gars de ma classe à qui j'ai parlé de ça dit qu'il a démontré que f'(2x)=f'(x) mais il ne m'as pas donné la demonstration et j'aimerais l'avoir.
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[invitebb921944]

Ben
Si f(2x)=2f(x)
En dérivant tu obtiens :
2*f'(2x)=2*f'(x)
Donc f'(2x)=f'(x)
Je te rappelle comment on dérive une fonction composée parce que tu n'as pas l'air d'y attacher une grande importance :
Soit la fonction
g[u(x)]
La dérivée de cette fonction est :
g'[u(x)]*u'(x)

Sinon, une équation différentielle est une équation qui fait apparaitre une fonction et ses dérivées. Les équations que tu donnes ne sont pas différentielles. Un exemple d'équadiff :
y'+y=2

[invite4910fcda]

Ah oui tu a raison, j'aviais pas pensé à ça, d'où le fait qu'il ai mis 5 minutes mon pote!
Merci Ganash, j'apprendrais la formule par coeur!
Mais sinon pour l'ensembles des fonction vérifiant f(2x)=2f(x) c'est quoi??

[invitebb921944]

J'en sais rien du tout mais çà n'a aucun rapport avec les équations différentielles :/

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4910fcda]

Ba c'est en fait que ça m'a fait penser à ça les équations différentielles mais en effet ça n'a rien à voire. C'est juste un truc que je me demandais.

[invite88ef51f0]

Salut,
Pour les fonctions telles que f(2x)=2f(x), je suis quasiment prêt à parier qu'il s'agit des fonctions linéaires (du type f(x)=ax avec a quelconque), mais je n'arrive pas à trouver de démonstration rigoureuse

[invite4910fcda]

C'est également mon cas d'où l'éxistence de ce sujet ( sinon j'aurais donné la réponse plutôt que de poser la question).
Si on appelle A l'ensemble solution cherché et L celui des fonction linéraires, je peux démontrer que La appartien à A mais pas que A appartien à L.

[invite9e95248d]

tu as toutes les fonctions linéaires qui vérifie f(2x)=f(x)
c'est a dire tu type: f(x)=bx, il me semble que ce sont les seuls mais je ne suis pas sur.
Pour f(ax)=af(x), si a est entier, ce sont encore les fonctions linéaires.
Si a n'est pas entier ben ça se complique

[invite4910fcda]

Mais sais-tu le démontrer??

[invite9e95248d]

le fait que totues les fonction linéaires vérifies cette propriété, c'est immédiat, ensuite le fait que ce soit les seuls (si c'est bien le cas), j'y réfléchis et je reviens dans 10 mn

[invite88ef51f0]

Ce qu'on peut voir, c'est que si on a une fonction qui est linéaire sur un intervalle [0,m] et qui vérifie la condition f(2x)=2f(x), alors elle est linéaire sur tout R, et ce pour m aussi petit que tu veux !

Si a n'est pas entier ben ça se complique

Je ne vois pas ce qui complique... A mon avis, quel que soit a (différent de 0 et 1 quand même), ça marche.

[invite4910fcda]

Comment peut-on affiremer cela avec l'intervalle ]0;m[?

[invite88ef51f0]

Si tu supposes que f(x)=ax sur [0,m], alors pour un point x₀ de [m,2m], tu peux définir x₁=x₀/2. Et alors tu sais que f(x₀) = f(2x₁) = 2f(x₁) = 2ax₁ = ax₀.
Donc si f est linéaire sur [0,m] alors elle l'est sur [0,2m], et donc par récurrence sur [0,[
Et là, je me rend compte qu'il faut en fait que ça marche sur [-m,m] pour pas oublier les x négatifs

[invite4910fcda]

C'est vrai bien joué.

[invite88ef51f0]

Ca ne fait que déplacer le problème...

[invite4910fcda]

Le vrai problème est celui psé dans mon antépénultième post.

[invite4910fcda]

Coincoin, je crois que pour les négatifs c'est pas la peine ta démonstration marche pareil dans les deux sens.

[invite88ef51f0]

Oui, je sais, mais bon je vais éviter la discrimination et considérer aussi les nombres négatifs.

Du coup, on peut dire que si f est développable en série entière sur un voisinage de 0 (c'est-à-dire qu'on peut écire pour ) et si f(ax)=af(x) avec a différent de 0 et 1, alors f est linéaire. On a déjà réduit le problème...

[invite4910fcda]

Oulà c'est de l'algèbre ou de l'analyse poussé, j'en suis pas encore aux séries entières moi, j'ai juste vu celles de cos et sin.

[invite980a875f]

Salut,
on a vu plus haut que:
f'(ax)=f'(x)
Quand a parcourt R (privé de 0), cette équation signifie que la pente de la courbe représentative de f doit être la même en tout point. Est-ce que ce ne serait pas significatif des droites ax+b? De plus, il faut que b soit nul (trivial, tout le monde l'a remarqué d'ailleurs! ). Donc il faut que ce soit les fonction f(x)=ax.
Ca me parait un peu simple, mais qu'est-ce que vous en pensez?

[invite4910fcda]

Tu a raison par ma barbe (peu fleurie) !!!!
Mais c'est super c'est la solution!

[invite980a875f]

Oui j'espère que c'est ça!
Mais je me rends compte en fait que a peut valoir 0, puisque sinon on ne considère pas la pente en 0.

[invite4910fcda]

Je ne vois pas en quoi le 0 te gène si a=0 la courbe est l'axe des abscices.

[invite980a875f]

Oui oui tu as raison, je me suis juste un peu embrouillé!

[invite4910fcda]

Alors comment on appelle cette propriété?
( Pythagore en a une à son nom alors pourquoi se géner?)

[invitebb921944]

Quelle propriété ?

[invite8f53295a]

Bon alors si tu ne fais pas d'hypothèses sur la fonction f, je pense qu'il peut y avoir beaucoup d'autres solutions que les fonctions linéaires. Si ça t'intéresse une discussion semblable a déjà eu lien ici (http://forsv.forum-gratuit.com/viewtopic.php?t=6518) sur un cas différent mais un peu similaire, les fonctions vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y) (ce qui est un cas particulier si a est entier).

[invite8f53295a]

Bon voici un exemple de fonction qui devrait vérifier cette équation mais qui n'est pas continue (ou tout au moins dérivable).
Si x est dans R, on peut l'écrire somme des a_n10^n pour les n variant dans Z et a_n nul pour n assez grand, alors on pose f(x)=somme des a_n 10^n (lorsque n'est pas congru à 2 modulo 10) et 2a_n 10^n (si n congru à 2 modulo 10).

[invitec9750284]

pfffffffffffffff il est tard..... bonsoir à tous quand même!
Mais bon votre problème m'intéresse et en y réfléchissant je suis tombé sur une absurdité et je ne sais pas comment l'interpréter :

f(2x)=2f(x)
d'où en dérivant : f'(2x)=2f'(x)
2f'(2x)=2f'(x)
d'où, pour tout f vérifiant cette équation, on a f'(2x)=f'(x)
Mais alors, si on choisit f(x)=ax+b (fonction linéaire) avec a non nul, on obtient f'(2x)=2a et f'(x)=a.
Ainsi, 2a=a d'où 1=2 !!! WAS PASSIERT ???

[invitebb921944]

Sauf que ax+b ne marche pas dans notre cas.
On cherche les fonctions qui vérifient :
2f(x)=f(2x)
Or, si f(x)=ax+b, on a :
2f(x)=2ax+2b
f(2x)=2ax+b
Or, pour que 2ax+b=2ax+2b, il faut b=0.
Donc, les fonctions du types ax+b avec b non nul ne vérifient pas l'équation initiale, donc leurs dérivées ne vérifient pas l'équation qui découle de l'équation initiale (on scomprend)