Si f(x)=ax alors f(2x)=2ax et 2f(x)=2ax. Par exemple f(x)=9x donne f(2x)=18x=2f(x). On est d'accord, les fonctions du type f(x)=ax vérifient bien cette équation fonctionnelle. Mais alors pourquoi on obtient une absurdité en dérivant l'équation?
Pour tout f(x)=ax où a non nul, obtient f'(2x)=2a et f'(x)=a. Or f'(2x)=f'(x)! D'où encore 1=2!
A+
Il suffit de bien voir quelle est la différence entre
"la dérivée de la fonction x -> f(2x)"
et "la fonction x -> f'(2x)"
Ce n'est pas la même chose, l'absurdité vient d'un conflit de notations entre ces deux notions...
Je n'ai pas tres bien compris cet exemple mais voici un contre-xemple plus simple : f(x)=x si x est rationel, f(x)=2x si x n'est pas rationnel. Cette fonction n'est pas continue mais il est facile de montrer qu'il n'y a pas de contre-exemple continu (il n'y en a pas non plus de monotone je crois).Envoyé par BS
Arf non désolé tu confonds !Pour tout f(x)=ax où a non nul, obtient f'(2x)=2a et f'(x)=a. Or f'(2x)=f'(x)! D'où encore 1=2!
Le f'(2x) donc tu parles, ce n'est pas [f(2x)]' mais bien f'(2x).
Donc en gros, on a
f'=a
Donc
f'(2x)=a et f'(x)=a (f' ne dépend pas de x)
Je te refais la démo, tu y verras surement plus clair :
f(x)=ax
2f(x)=2ax
f(2x)=2ax
[2f(x)]'=[f(2x)]' (je fais bien la dérivée de TOUTE l'expression)
2f'(x)=f'(2x)*2
(ici donc, c'est le f'(2x) dont tu parlais, il signifie que tu prends la dérivée de f et que tu calcules son image en 2x, pas que tu calcules la dérivée de [f(2x)] car cette dérivée, je l'ai déja calculée juste avant.)
Donc finalement,
f'(x)=f'(2x)
Ce qui est vrai puisque la fonction f' ne dépend pas de x
Salut,
je prends le sujet en route... Pour info, une relation du type f(2x)=2f(x) s'appelle une équation fonctionnelle: on cherche les fonctions qui vérifient la relation sur R (ou sur un intervalle ou sur un autre ensemble).
Le problème devient compliqué dès qu'on ne suppose pas a priori que la fonction solution doit être continue ou dérivable...
Mais pour l'équation ci-dessus, on peut déjà sans trop de mal démontrer que soit f(0)=0, soit f est discontinue en 0 (en suposant que l'on travaille sur R ou sur un intervalle contenant 0)... Saurez-vous le faire?
Par la même méthode, on peut montrer que f n'est pas bornée sur R...
Par ailleurs, si on suppose f continûment dérivable, f est nécéssairement une fonction linéaire.
Mais l'hypothèse peut sans doute être allégée.
Vu que tu prends le sujet en route, je me permet de rappeler la conclusion à laquelle je suis arrivé :
Qu'en penses-tu ?si f est développable en série entière sur un voisinage de 0 et si f(ax)=af(x) avec a différent de 0 et 1, alors f est linéaire
Salut,
tu supposes f holomorphe dans un disque (de rayon non nul) centré en 0, ce qui revient à supposer f infiniment dérivable: ça fonctionne mais l'hypothèse est un peu forte, non?
En passant, un exemple de solution sur R non-continue pour a=2: f(0)=1 et f(x)=2x si x différent de 0.
Je me demande s'il peut y avoir des solutions plus compliquées, je chercherai...
En attendant, bon dimanche!
J'avoue que l'hypothèse est forte... mais je ne vois pas comment m'en passer.
A priori, je penserais que la continuité devrait suffire, mais je ne vois ni comment le montrer, ni de contre-exemples.
Mais si tu vois des fonctions pathologiques vérifiant la propriété, je suis preneur.
Ton exemple ne marche pas car on doit avoir f(2*0)=2*f(0)...
En relisant le sujet (que j'ai dû trop survoler ce matin), il y a un très bon exemple de fonction pathologique donné par Vuibert : f(x)=x si x est rationel, f(x)=2x si x n'est pas rationnel.
Par contre Vuibert dit ensuite : "il est facile de montrer qu'il n'y a pas de contre-exemple continu". S'il pouvait nous donner sa démonstration, je serais pas contre
petit post inutil (mon premier meme ca commence bien tiens) mais je confirme : un endomoprphisme de R (lineaire comme définie precedemment de R dans R) est de la forme f(x) = ax , suffit juste de vérifier que la fonction proposée l'est bien (et ca marche pas mal
)
petite erreur à rectifier : il faut f continue ou monotone pour conclure , ce qui est bien le cas ici .
Re : Un casse-tête sur les fonctions
c'est normal c'est comme tout les canards!cette fois ya pas victoire de canard!!Salut,
Pour les fonctions telles que f(2x)=2f(x), je suis quasiment prêt à parier qu'il s'agit des fonctions linéaires (du type f(x)=ax avec a quelconque), mais je n'arrive pas à trouver de démonstration rigoureuse
Bon comme le problème semble compliqué limitons nous d'abord aux fonctions dériveables: on a toutes les fonction linéaires.
Maitenant je ne sait pas ce qu'est un endomorfisme alors...
Les endormorphismes, çà se complique un peu et j'ai encore du mal à bien comprendre ce que c'est (groupes, ensembles, anneaux et corps...). Enfin bon tu verras çà en math sup
Bon ba donc la solution c'est toutes les fonctions linéaires nan ( justes dans les solutions dériveables), y en a pas d'autres si??
Dans les dérivables je pense aussi que ce sont toutes les fonctions linéaires. Dans les non dérivables, il y a par exemple celle citée plus haut: f(x)=x pour x rationnel, f(x)=2x pour x irrationnel. Mais je ne sais pas comment faire pour trouver l'ensemble des solutions non dérivables...
Alors là j'ai ouvert un vrai débat: je suis fier de moi!
Pour les non dériveables, je crois qu'il y en a une infinité.
Quelqu'un peut-il faire une démonstration rigoureuse pour le cas des fonctions dérivables ? (Personnellement, je suis plus doué pour remettre en cause les démonstrations que pour les proposer
Celle de Sharp. A la première page du topic.
J'ai déjà vu plus rigoureuxDe plus, il faut que b soit nul (trivial, tout le monde l'a remarqué d'ailleurs! ).
Salut,
J'avais proposé ça plus haut (mais je suis pas sûr):Quelqu'un peut-il faire une démonstration rigoureuse pour le cas des fonctions dérivables ? (Personnellement, je suis plus doué pour remettre en cause les démonstrations que pour les proposer
f(ax)=af(x)
[f(ax)]'=af'(x)
af'(ax)=af'(x)
f'(ax)=f'(x)
Cette dernière équation signifie que la dérivée de la fonction doit avoir la même valeur en tout point de la courbe. Par exemple: pour a=2:
f'(2x)=f'(x). Si je prends x=3, le nombrre dérivé doit être le même au point d'abcisse 3 et au point d'abcisse 6. En généralisant, le nombre dérivé doit être le même en tout point. Il me semble que les fonctions qui vérifient cette propriété (dérivée constantes) sont les fonctions affines, et uniquement celles-ci... Donc f(x)=mx+p
De plus, p doit être nul.
En effet, si p n'est pas nul:
f(ax)=amx+p
Et af(x)=amx+ap
Si p est nul ça marche.
Voilà!
La fonction partie entière à une pente nulle en tout point où elle est définie non ?
Je ne suis pas très familier de la foncton partie entière, mais je ne pense pas qu'elle soit continue sur R, et a fortiori pas dérivable...
Je ne suis pas d'accord...Cette dernière équation signifie que la dérivée de la fonction doit avoir la même valeur en tout point de la courbe
Pour reprendre ton exemple, ça veut dire que la pente est la même en x=3 et en x=6, mais ça ne me dit rien de x=2 par rapport à x=3...
Pour ce qui est de l'ordonnée à l'origine, il est évident que si la fonction est définie en 0 alors f(0)=0 car on doit avoir f(2*0)=2*f(0).
Arf, je vais essayer de trouver une généralisation correcte!
Bon courage !
Il faudrait montrer que f'(x) est constante, c'est à dire f'(x)=f'(a)
Je pense que essayer avec a=0 ou a=1 est ce qui se fait le mieux, je vais reflechir à ça.
N'est-ce pas evident puisque f'(ax) = f'(x) pour tout x ?
En effet, on peut supposer a<1 (l'equation fonctionnelle est vraie aussi pour 1/a). Dans ce cas, f'(x) = f'(x.a^n) pour tout n, c'est-a-dire f'(0) a la limite quand n est grand. Bon d'accord j'ai suppose que f' etait continue a droite en 0. Sinon je ne sais pas.
Autre chose : j'ai dit dans un autre post qu'il n'y avait pas de contre-exemple continu, mais en fait je confondais avec un autre probleme.
Contre-exemple continu et derivable sauf en 0 :
f(x) = x.sin(2pi.ln(|x|)/ln(a))
Oups!J'ai été un peu vite! Puisque f(0)=a.f(0), f(0)=0 sauf si a=1, c'est logique.
Bravo vuibert pour ton contre-exemple! C'est astucieux!Contre-exemple continu et derivable sauf en 0 :
f(x) = x.sin(2pi.ln(|x|)/ln(a))
Tu peux même prolonger par continuité la fonction en 0!
J'expose malgré tout les résultats que j'avais annoncés plus haut: si y est un réel,et
On voit donc que f ne peut être bornée sur R, et on n'est pas loin de la continuité en 0. En fait, si on impose à f d'être monotone, alors elle est nécessairement continue en 0.
Il est possible que la monotonie suffise pour que f soit linéaire, mais je n'ai pas encore de démonstration à vous proposer...
