Salut,
Je n'ai pas trop compris ta démo, mais par exemple, comment fais-tu pour démontrer que f'(ax)=f'(x) implique que la dérivée soit constante pour un a donné, par exemple comment montres-tu que f'(2x)=f'(x) implique que la dérivée de f soit constante?Envoyé par vuibert
Salut,
si f '(2x)=f '(x), on peut écrire que f '(4)=f '(2)=f '(1)=f '(1/2)=f '(1/4)=... Ca te met sur la voie?
Ouais mais tu sautes pas mal de valeur de x en faisant çà quand même :/
Bien sûr, mais je peux recommencer avec f '(1+epsilon) au lieu de f '(1)...
Oui d'accord, mais de cette manière tu vas savoir que le nombre dérivé est le même pour deux points dont l'abcisse est la même à un facteur 2n près (pour n dans N), mais tu n'auras pas de relation entre le point d'abcisse 1 et celui d'abcisse 1,5...
Tu sauras que f'(1,5)=f'(3) et que f'(2)=f'(4), mais tu ne pourras pas dire que f'(1,5)=f'(4). Ou alors, tu fais une généralisation, mais justement, je ne sais pas comment faire, donc si tu as une idée...
En fait, tout se passe en 0: prenons un réel x: f '(x)=f '(x/2)=f '(x/4)=...=f '(x/2^n) pour n aussi grand que l'on veut. Si la fonction est continue en 0 la suite f '(x/2^n) tend vers f '(0): mais alors puisque cette suite est constante, tous ses termes valent f '(0) et ainsi f '(x)=f '(0). Comme x a été choisi quelconque, f '(x)=f '(0) pour tout x.
D'accord merci pour cette démonstration!
Bien joué Martini_bird!
Je disais plus haut que la continuité en 0 et la monotonie devaient suffir pour que la solution soit linéaire... Mais je crois que c'est faux: supposons donnée entre 1 et a une fonction continue monotone affine par morceaux telle que f(a)=af(1): on peut étendre cette fontion entre a et a² par l'équation fonctionnelle... puis entre a² et a^3 ou entre a^(-1) et a, etc... cette fonction vérifie l'équation fontionnelle par construction, elle est continue monotone, mais elle n'est pas linéaire!
Qu'en pensez-vous?
Mais elle n'est pas dérivable si?
Par morceaux...
Le but est d'alléger les hypothéses: on a vu que si la solution est dérivable et de dérivée continue en 0, elle est linéaire. Est-ce qu'elle l'est encore en supprimant la dérivabilité?
Oui mais ta fonction a une équation différent sur chaque intervalle.
Ce n'est pas gênant, puisque l'on conserve la continuité...
Une fonction n'est pas toujours donnée par une seule équation (d'ailleurs la majorité des fonctions est plus compliquée que x->3x+4 ou x->x²).
Je connaissais les fonctions définies par plusieus équations mais je ne les ai jamais étudiés.
C'est pas très compliqué: tu peux dire f(x)=1 sur [0;1[ et f(x)=x sur[1; 2]; tu as bien défini une fonction sur [1; 2]...
Ouais ça a pas l'air mais bon comme on y touche pas qu lycée...
Bonjour à tous
En fait ce problème est très analogue au suivant
trouver f tel que f( x+y)=f(x)+f(y).
Si f est continue pas de problème les fonctions linéaires sont les seules solutions. Mais continue est une hypothèse très forte , on montre que supposer f mesurable suffit à obtenir le même résultat.
Evidemment si f n 'est pas mesurable ( obligation de considérer l' axiome du choix comme vrai) alors il existe d 'autres fonctions satisfaisant cette équation fonctionnelle.
Pour votre problème très analogue je pense que le résultat est le même ( je vais y réfléchir.
Pour coin-coin , il me semble que tu as dit qu' holomorphe était la même chose que dérivable à tout ordre , ce n'est pas le cas...
Excusez moi si je répéte ce que d 'autres ont dit car je n' est pas lu ce post en entier.
Amicalement,
Pardon ma remarque était pour Martini Bird et non pour coin coin toutes mes excuses
Non, mais on en a un qui implique l'autre...
oui bien sur holomorphe implique dérivable à tous ordres, la réciproque n'est pas vraie avec le célébre contre exmple f(x)=exp(-1/x^2) et f(0)=0 la fonction est C infini mais pas holomorphe en 0!
A première vue, je ne vois pas le rapport avec les logarithmes (sinon dans la démarche pour résoudre un équation fonctionnelle, bien sûr). On peut effectivement se restreindre aux fonctions mesurables, mais si l'exemple que j'ai donné en #69 est juste, la continuité est trop faible pour assurer la linéarité des solutions de f(ax)=af(x). Qu'en penses-tu Pilzenbir?
D'après Cauchy, si f est holomorphe, f est analytique (i.e. développable en série entière), et c'est pour ça que je disais que f est dérivable à tout ordre... je dit des bêtises?
Mais en fait il n'est pas question de dérivée à tout ordre, il est question de développabilité en série entière, et la c'est pareil qu'etre holomorphe ...
sinon ta fonction n'est pas continue en 0
Mais c'est quoi holomorphe??
Et pourquoi voulez-vous développer la fonction en série entière?
Quelle fonction? :confused:sinon ta fonction n'est pas continue en 0
Moi, tout ce que j'ai dit, c'est qu'une fonction holomorphe (disons dans un disque ouvert) est développable en série entière (dans un disque ouvert de rayon>0). Ensuite, étant donnée l'inégalité de Cauchy sur les coefficients de cette série entière, on peut dériver sans crainte autant de fois que l'on souhaite.
Supposer une fonction analytique, c'est donc a fortiori la supposer. On est d'accord?
Je voulais juste dire qu être holomorphe ne revient pas exactement à être indéfiniment dérivable. Mais ce n'est pas très important j' ai compris ce que tu voulais dire c'est juste pour être tout à fait précis.
Sinon je suis tout à fait d 'accord avec ton contre exemple, là je n' ai pas trop le temps mais je chercherai ce soir ce problème qui me semble intéressant
( ma fonction n' est pas continue en 0??)
On est d'accord!
Il me semble bien que si l'on pose f(0)=0 et f(x)=exp(1/x²) alors son prolongement à C ne peut pas etre continu. De mémoire ....
Tu as raison Quinto, mais je ne vois le rapport? :confused:
Bein non rien, pas continue donc forcement pas holomorphe. mais comme ca fait un bout de temps que j'en ai parlé, il n'y a plus de rapport c'est sur...
il y a un moins dans l' exponentielle!
