Un casse-tête sur les fonctions

[Quinto]

Oui peut etre
Mais il doit y avoir une singularité essentielle, ce qui fait qu'elle est non prolongeable de toute facon.
bref, tout le monde aura compris, la discution est close a ce sujet
-----

[invite03056aa2]

oui bien sur holomorphe implique dérivable à tous ordres, la réciproque n'est pas vraie avec le célébre contre exmple f(x)=exp(-1/x^2) et f(0)=0 la fonction est C infini mais pas holomorphe en 0!

Comme tu le vois il y avait un moins dans mon exemple la singularité n'est pas du tout essentielle mais effaçable ( la fonction est bornée au voisinage de 0!!!). La fonction est donc évidemment prolongeable en 0, ou est le problème??!!!!

[Quinto]

Salut,
je parlais de fonction sur C. Elle ne doit pas pouvoir se prolonger sur C.

Mais c'est pas grave, meme si j'ai tort, revenons au sujet de base.

[martini_bird]

Salut à tous!
Prendriez-vous la peine d'examiner ma proposition en #69? J'ai besoin de vous pour savoir quel chemin emprunter pour continuer l'examen de cette équation fonctionnelle...

[invite206bb45f]

Salut à tous!
Prendriez-vous la peine d'examiner ma proposition en #69? J'ai besoin de vous pour savoir quel chemin emprunter pour continuer l'examen de cette équation fonctionnelle...

1) Je pense que ta construction decrit l'ensemble des solutions. Sauf erreur, tu dis que pour connaitre f, il suffit de la connaitre sur [1,a]. Soit G0 le morceau de graphe correspondant : G0={(x,f(x)|1<=x<=a}. Pour que f verifie la condition, il faut que f(a)=af(1). Maintenant si c'est vrai, on sait que le graphe de f est la reunion sur n entier relatif de a^n.G0. Reciproquement, tout graphe partiel G0 verifiant af(1)=f(a) donne lieu a un graphe qui marche quand on fait l'union des dilates de G0. Les solutions sont donc parametrees par l'ensemble de ces graphes G0, c'est-a-dire l'ensemble des fonctions definies sur [1,a] verifiant f(a)=af(1).

2) Il me semble que parmi les solutions de l'equation fonctionnelle, celles qui sont lineaires sont exactement celles qui sont derivables en 0. Pour ca, il suffit de montrer que si f n'est pas lineaire, alors elle n'est pas derivable en 0. Si f n'est pas lineaire, il existe x et y tels que f(x)/x est different de f(y)/y. Maintenant pour tout n et pour tout u, f(a^n.u)/(a^n.u) = f(u)/u. On peut supposer a<1, quitte a prendre 1/a. Si f etait derivable en 0, la limite de f(a^n.u)/(a^n.u) quand n est grand devrait etre f'(0) puisque f(0)=0. Mais en faisant u=x ou u=y on obtient deux resultats differents, ce qui est une contradiction.

3) Pour resumer, derivable en 0 implique lineaire. Mais continu sur R et derivable partout sauf en 0 n'est pas suffisant, comme le montre un exemple que j'ai donne plus haut :
f(x) = x.sin(2pi.ln(|x|)/ln(a)) sur R*, f(0)=0.

[martini_bird]

Bravo Vuibert!

[invite4910fcda]

Ouais même si j'ai pas tout compris j'ai au moins compris les grandes lignes.

[invitec31373f9]

Ben
Si f(2x)=2f(x)
En dérivant tu obtiens :
2*f'(2x)=2*f'(x)
Donc f'(2x)=f'(x)
Je te rappelle comment on dérive une fonction composée parce que tu n'as pas l'air d'y attacher une grande importance :
Soit la fonction
g[u(x)]
La dérivée de cette fonction est :
g'[u(x)]*u'(x)

Sinon, une équation différentielle est une équation qui fait apparaitre une fonction et ses dérivées. Les équations que tu donnes ne sont pas différentielles. Un exemple d'équadiff :
y'+y=2

Ce ne serait pas la même formule que :

f ( ax + b) dérivée : a * f ' ( ax + b)

Merci de me répondre car je viens de voir cela je suis en 1er S et mon prof de maths nous a fait noter cette formule..
J'ai vérifié le raisonnement est le même que le tien

[GuYem]

En effet, l'application de la formule de la dérivée d'une composition à une fonction de la forme x -> f(ax+b) donne a*f'(ax+b).

[invitec053041c]

J'avais fait un exo qui donnait f(x+y)=f(x)+f(y)
Et je me souviens que pour la déterminer,il fallait passer par N,puis Z,Q et enfin R (le passage à R supposait continuité). On en déduisait que f etait lineaire.

[ericcc]

Il y a un post très complet là dessus dans "les grands classiques" sur ce forum. C'est une question récurrente, et je crois que la réponse qui est postée traite le problème de façon exhaustive.